27.1 图形的相似（含答案）-2025-2026学年九年级下册数学人教版
文档属性
| 名称 | 27.1 图形的相似（含答案）-2025-2026学年九年级下册数学人教版 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 130.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-02 00:00:00 | ||
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文档简介
27.1 图形的相似
一、选择题（共10小题）
1．（2025秋 宣城期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025秋 中原区校级期末）河南非遗叶雕，以刀为笔，以叶为纸，让自然与匠心碰撞出千年中原的别样风华．实际上，很多叶片都蕴含着黄金分割的比例．如图，点P大致是AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长为6cm，则AB的长约为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025秋 滨江区期末）若线段a＝2，b＝8，则线段a，b的比例中项是（ ）
A．4 B．32 C．±4 D．±32
4．（2025秋 丽水期末）已知线段a＝4，b＝9，则a，b的比例中项线段等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．18 D．36
5．（2025秋 余姚市期末）若线段a＝4，b＝9，则a，b的比例中项线段是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
6．（2025秋 威远县期末）已知3x﹣5y＝0（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025秋 玉环市期末）已知2x﹣5y＝0，下列变形一定正确的是（ ）
A．2x+3＝3﹣5y B． C．5y﹣7＝2x﹣7 D．
8．（2025秋 靖江市期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025秋 顺德区期末）如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．7
10．（2025秋 宜兴市期末）下列图形一定相似的是（ ）
A．两个等边三角形 B．两个直角三角形
C．两个矩形 D．两个菱形
二、填空题（共10小题）
11．（2025秋 广汉市校级期末）若，则 ．
12．（2025秋 江都区期末）已知，则的值为 ．
13．（2025秋 阜宁县期末）已知b是a，c的比例中项，且a＝2，c＝8，则b的值为 ．
14．（2025秋 蚌埠期末）已知线段a，b，c，d依次成比例，其中a＝3cm，c＝6cm，d＝8cm，则线段b的长为 cm．
15．（2025秋 拱墅区期末）若（a+b）：b＝3：2，则a：b＝ ．
16．（2025秋 泗阳县期末）若，则 ．
17．（2025秋 渭南期末）已知两个相似六边形的相似比为3：5，较小的六边形的面积为18cm2，则较大的六边形的面积为 cm2．
18．（2025秋 神木市期末）已知四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'＝1：5，若四边形ABCD的周长为4，则四边形A'B'C'D'的周长为 ．
19．（2025秋 凉州区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，它们的相似比是4：3，已知AB＝12cm，则EF＝ cm．
20．（2025秋 安徽校级期中）在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是 千米．
三、解答题（共4小题）
21．（2025秋 滨江区期末）已知，求．
22．（2025秋 林州市期末）求值：
（1）已知，求的值；
（2）已知，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值．
23．（2025秋 大连期末）【教材呈现】
a，b，c，d都不为0，a≠b，c≠d，若，则．
如下证明这个结论的正确性，设，则a＝bk，c＝dk，所以，同理，，所以．
【类比分析】
（1）若，且b+d+…n≠0，求证．
【学以致用】
（2）若x，y，z都不为0，且，求的值．
24．（2025秋 资阳月考）如图，多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1相似，其中A，B，C，D，E，F的对应点分别为和多边形A1，B1，C1，D1，E1，F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°．
（1）求∠F的度数；
（2）如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，求C1D1的长度．
参考答案
一、选择题（共10小题）
1．【答案】C
根据黄金分割的定义列式计算即可．
【解答】解：由题意可知，C是AB的黄金分割点，AB＝10cm，
∴ACAB10＝（55）（cm），
故选：C．
2．【答案】A
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点P大致是AB的黄金分割点（AP＞PB），AP＝6cm，
∴，
∴AB＝（33）（cm），
故选：A．
3．【答案】A
设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
【解答】解：设线段a、b的比例中项为x，
则x2＝ab，
即x2＝ab＝2×8，∴x＝4或x＝﹣4＜0（舍去）．
故选：A．
4．【答案】B
比例中项线段c满足c2＝a b，且线段长度为正值．
【解答】解：由条件可知c2＝a b＝4×9＝36，
∴c6，
故选：B．
5．【答案】C
比例中项线段c满足c2＝a b，且线段长度为正值．
【解答】解：由条件可知c2＝a b＝4×9＝36，
∴c6，
故选：C．
6．【答案】B
直接利用比例的性质变形得出答案．
【解答】解：∵3x﹣5y＝0（xy≠0），
∴3x＝5y，
则．
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
7．【答案】C
先移项得到2x＝5y，再根据等式的性质对A、C选项进行判断；然后利用内项之积等于外项之积对B、D选项进行判断．
【解答】解：∵2x﹣5y＝0，
∴2x＝5y，
∴2x+3＝5y+3，所以A选项不符合题意，
2x﹣7＝5y﹣7，所以C选项符合题意，
，所以，B选项不符合题意，
xy，所以D选项不符合题意．
故选：C．
8．【答案】A
直接利用合比性质求解．
【解答】解：∵，
，
即．
故选：A．
9．【答案】C
设a＝3k，b＝4k，代入原式即可．
【解答】解：设a＝3k，b＝4k，
则原式．
故选：C．
10．【答案】A
由相似三角形的判定方法，相似多边形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、由三边对应成比例的两个三角形相似判定两个等边三角形相似，故A符合题意；
B、两个直角三角形只有一直角对应相等，不能判定两个直角三角形相似，故B不符合题意；
C、两个矩的长和宽不一定对应成比例，不能判定两个矩形相似，故C不符合题意；
D、两个菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，不能判定两个菱形相似，故D不符合题意．
故选：A．
二、填空题（共10小题）
11．【答案】．
利用设k法进行计算，即可解答．
【解答】解：∵，
∴设b＝3k，a＝2k，
∴，
故答案为：．
12．【答案】．
令，则a＝2k，b＝3k，代入，进行化简即可求值．
【解答】解：∵，
∴令，
∴a＝2k，b＝3k，
∴，
故答案为：．
13．【答案】4或﹣4．
根据比例中项的定义得到b2＝ac，然后根据平方根的定义求解．
【解答】解：∵b是a，c的比例中项，
∴b2＝ac，
即b2＝2×8，
∴b＝4或b＝﹣4．
故答案为：4或﹣4．
14．【答案】4．
根据题意可得．
【解答】解：∵线段a，b，c，d依次成比例，
∴，
∴，
故答案为：4．
15．【答案】1：2
直接利用已知变形进而得出答案．
【解答】解：∵（a+b）：b＝3：2，
∴，
∴2a+2b＝3b，
故2a＝b，
则a：b＝1：2．
故答案为：1：2．
16．【答案】．
由已知比例关系，通过设参数表示变量，代入所求表达式进行化简即可．
【解答】解：设a＝k，b＝5k（其中k≠0），
则：
，
故答案为：．
17．【答案】50．
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：两个相似六边形的相似比为3：5，则面积比为32：52＝9：25．
较小六边形的面积为18cm2，则18÷9×25＝50cm2，即较大六边形的面积为50cm2．
故答案为：50．
18．【答案】20．
根据相似多边形的周长比等于相似比计算．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'＝1：5，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比1：5，
∵四边形ABCD的周长为4，
∴四边形A'B'C'D'的周长20，
故答案为：20．
19．【答案】9．
已知两个四边形的相似比为4：3，即，将AB代入求值即可．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH且相似比为4：3，AB＝12cm，
∴，
∴EF＝129（cm），
故答案为：9．
20．【答案】20．
根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．
【解答】解：设实际距离为xcm，则：
1：500000＝4：x，
解得x＝2000000．
2000000cm＝20km．
故答案为：20．
三、解答题（共4小题）
21．【答案】．
利用设k法进行计算，即可解答．
【解答】解：∵，
∴设a＝2k，b＝3k，
∴．
22．【答案】见试题解答内容
（1）设a＝4k，b＝3k，代入即可求出答案；
（2）设k，根据比例的性质得出a＝2k，b＝4k，c＝5k，代入a+b+c＝22得出2k+4k+5k＝22，求出k，求出a、b、c，再代入3a﹣b+2c求出即可．
【解答】解：（1）设a＝4k，b＝3k，
则；
（2）设k，
则a＝2k，b＝4k，c＝5k，
∵a+b+c＝22，
∴2k+4k+5k＝22，
解得：k＝2，
∴a＝4，b＝8，c＝10，
∴3a﹣b+2c＝3×4﹣8+2×10＝24．
23．【答案】（1）证明：设若k，则a＝bk，c＝dk，...，m＝nk，
∵b+d+…n≠0，
∴k，
∴；
（2）．
（1）设若k，则a＝bk，c＝dk，...，m＝nk，所以，然后进行分式的化简即可得到结论；
（2）设k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，然后把它们分别代入所求的代数式中，再进行分式的化简计算即可．
【解答】（1）证明：设若k，则a＝bk，c＝dk，...，m＝nk，
∵b+d+…n≠0，
∴k，
∴；
（2）解：设k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，
所以．
24．【答案】（1）115°；
（2）22.5cm．
（1）利用相似多边形的性质对应角相等，把已知角代入可得所求的角的度数；
（2）利用相似多边形的性质对应边的比等于相似比，可得所求的线段的长度．
【解答】解：（1）∵多边形ABCDEF∽多边形A1B1C1D1E1F1，
∴∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，∠E＝∠E1，∠F＝∠F1，
∵∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°，
∴∠A＝135°，∠B＝120°，∠C＝95°，∠D＝135°，∠E＝120°，
∵六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠F＝720°﹣∠A﹣∠B﹣∠C﹣∠D﹣∠E
＝720°﹣135°﹣120°﹣95°﹣135°﹣120°
＝115°；
（2）∵多边形ABCDEF∽多边形A1B1C1D1E1F1，
∴，
∵CD＝15cm，
∴C1D1＝1.5CD＝22.5cm．
一、选择题（共10小题）
1．（2025秋 宣城期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025秋 中原区校级期末）河南非遗叶雕，以刀为笔，以叶为纸，让自然与匠心碰撞出千年中原的别样风华．实际上，很多叶片都蕴含着黄金分割的比例．如图，点P大致是AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长为6cm，则AB的长约为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025秋 滨江区期末）若线段a＝2，b＝8，则线段a，b的比例中项是（ ）
A．4 B．32 C．±4 D．±32
4．（2025秋 丽水期末）已知线段a＝4，b＝9，则a，b的比例中项线段等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．18 D．36
5．（2025秋 余姚市期末）若线段a＝4，b＝9，则a，b的比例中项线段是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
6．（2025秋 威远县期末）已知3x﹣5y＝0（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025秋 玉环市期末）已知2x﹣5y＝0，下列变形一定正确的是（ ）
A．2x+3＝3﹣5y B． C．5y﹣7＝2x﹣7 D．
8．（2025秋 靖江市期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025秋 顺德区期末）如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．7
10．（2025秋 宜兴市期末）下列图形一定相似的是（ ）
A．两个等边三角形 B．两个直角三角形
C．两个矩形 D．两个菱形
二、填空题（共10小题）
11．（2025秋 广汉市校级期末）若，则 ．
12．（2025秋 江都区期末）已知，则的值为 ．
13．（2025秋 阜宁县期末）已知b是a，c的比例中项，且a＝2，c＝8，则b的值为 ．
14．（2025秋 蚌埠期末）已知线段a，b，c，d依次成比例，其中a＝3cm，c＝6cm，d＝8cm，则线段b的长为 cm．
15．（2025秋 拱墅区期末）若（a+b）：b＝3：2，则a：b＝ ．
16．（2025秋 泗阳县期末）若，则 ．
17．（2025秋 渭南期末）已知两个相似六边形的相似比为3：5，较小的六边形的面积为18cm2，则较大的六边形的面积为 cm2．
18．（2025秋 神木市期末）已知四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'＝1：5，若四边形ABCD的周长为4，则四边形A'B'C'D'的周长为 ．
19．（2025秋 凉州区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，它们的相似比是4：3，已知AB＝12cm，则EF＝ cm．
20．（2025秋 安徽校级期中）在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是 千米．
三、解答题（共4小题）
21．（2025秋 滨江区期末）已知，求．
22．（2025秋 林州市期末）求值：
（1）已知，求的值；
（2）已知，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值．
23．（2025秋 大连期末）【教材呈现】
a，b，c，d都不为0，a≠b，c≠d，若，则．
如下证明这个结论的正确性，设，则a＝bk，c＝dk，所以，同理，，所以．
【类比分析】
（1）若，且b+d+…n≠0，求证．
【学以致用】
（2）若x，y，z都不为0，且，求的值．
24．（2025秋 资阳月考）如图，多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1相似，其中A，B，C，D，E，F的对应点分别为和多边形A1，B1，C1，D1，E1，F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°．
（1）求∠F的度数；
（2）如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，求C1D1的长度．
参考答案
一、选择题（共10小题）
1．【答案】C
根据黄金分割的定义列式计算即可．
【解答】解：由题意可知，C是AB的黄金分割点，AB＝10cm，
∴ACAB10＝（55）（cm），
故选：C．
2．【答案】A
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点P大致是AB的黄金分割点（AP＞PB），AP＝6cm，
∴，
∴AB＝（33）（cm），
故选：A．
3．【答案】A
设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
【解答】解：设线段a、b的比例中项为x，
则x2＝ab，
即x2＝ab＝2×8，∴x＝4或x＝﹣4＜0（舍去）．
故选：A．
4．【答案】B
比例中项线段c满足c2＝a b，且线段长度为正值．
【解答】解：由条件可知c2＝a b＝4×9＝36，
∴c6，
故选：B．
5．【答案】C
比例中项线段c满足c2＝a b，且线段长度为正值．
【解答】解：由条件可知c2＝a b＝4×9＝36，
∴c6，
故选：C．
6．【答案】B
直接利用比例的性质变形得出答案．
【解答】解：∵3x﹣5y＝0（xy≠0），
∴3x＝5y，
则．
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
7．【答案】C
先移项得到2x＝5y，再根据等式的性质对A、C选项进行判断；然后利用内项之积等于外项之积对B、D选项进行判断．
【解答】解：∵2x﹣5y＝0，
∴2x＝5y，
∴2x+3＝5y+3，所以A选项不符合题意，
2x﹣7＝5y﹣7，所以C选项符合题意，
，所以，B选项不符合题意，
xy，所以D选项不符合题意．
故选：C．
8．【答案】A
直接利用合比性质求解．
【解答】解：∵，
，
即．
故选：A．
9．【答案】C
设a＝3k，b＝4k，代入原式即可．
【解答】解：设a＝3k，b＝4k，
则原式．
故选：C．
10．【答案】A
由相似三角形的判定方法，相似多边形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、由三边对应成比例的两个三角形相似判定两个等边三角形相似，故A符合题意；
B、两个直角三角形只有一直角对应相等，不能判定两个直角三角形相似，故B不符合题意；
C、两个矩的长和宽不一定对应成比例，不能判定两个矩形相似，故C不符合题意；
D、两个菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，不能判定两个菱形相似，故D不符合题意．
故选：A．
二、填空题（共10小题）
11．【答案】．
利用设k法进行计算，即可解答．
【解答】解：∵，
∴设b＝3k，a＝2k，
∴，
故答案为：．
12．【答案】．
令，则a＝2k，b＝3k，代入，进行化简即可求值．
【解答】解：∵，
∴令，
∴a＝2k，b＝3k，
∴，
故答案为：．
13．【答案】4或﹣4．
根据比例中项的定义得到b2＝ac，然后根据平方根的定义求解．
【解答】解：∵b是a，c的比例中项，
∴b2＝ac，
即b2＝2×8，
∴b＝4或b＝﹣4．
故答案为：4或﹣4．
14．【答案】4．
根据题意可得．
【解答】解：∵线段a，b，c，d依次成比例，
∴，
∴，
故答案为：4．
15．【答案】1：2
直接利用已知变形进而得出答案．
【解答】解：∵（a+b）：b＝3：2，
∴，
∴2a+2b＝3b，
故2a＝b，
则a：b＝1：2．
故答案为：1：2．
16．【答案】．
由已知比例关系，通过设参数表示变量，代入所求表达式进行化简即可．
【解答】解：设a＝k，b＝5k（其中k≠0），
则：
，
故答案为：．
17．【答案】50．
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：两个相似六边形的相似比为3：5，则面积比为32：52＝9：25．
较小六边形的面积为18cm2，则18÷9×25＝50cm2，即较大六边形的面积为50cm2．
故答案为：50．
18．【答案】20．
根据相似多边形的周长比等于相似比计算．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'＝1：5，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比1：5，
∵四边形ABCD的周长为4，
∴四边形A'B'C'D'的周长20，
故答案为：20．
19．【答案】9．
已知两个四边形的相似比为4：3，即，将AB代入求值即可．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH且相似比为4：3，AB＝12cm，
∴，
∴EF＝129（cm），
故答案为：9．
20．【答案】20．
根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．
【解答】解：设实际距离为xcm，则：
1：500000＝4：x，
解得x＝2000000．
2000000cm＝20km．
故答案为：20．
三、解答题（共4小题）
21．【答案】．
利用设k法进行计算，即可解答．
【解答】解：∵，
∴设a＝2k，b＝3k，
∴．
22．【答案】见试题解答内容
（1）设a＝4k，b＝3k，代入即可求出答案；
（2）设k，根据比例的性质得出a＝2k，b＝4k，c＝5k，代入a+b+c＝22得出2k+4k+5k＝22，求出k，求出a、b、c，再代入3a﹣b+2c求出即可．
【解答】解：（1）设a＝4k，b＝3k，
则；
（2）设k，
则a＝2k，b＝4k，c＝5k，
∵a+b+c＝22，
∴2k+4k+5k＝22，
解得：k＝2，
∴a＝4，b＝8，c＝10，
∴3a﹣b+2c＝3×4﹣8+2×10＝24．
23．【答案】（1）证明：设若k，则a＝bk，c＝dk，...，m＝nk，
∵b+d+…n≠0，
∴k，
∴；
（2）．
（1）设若k，则a＝bk，c＝dk，...，m＝nk，所以，然后进行分式的化简即可得到结论；
（2）设k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，然后把它们分别代入所求的代数式中，再进行分式的化简计算即可．
【解答】（1）证明：设若k，则a＝bk，c＝dk，...，m＝nk，
∵b+d+…n≠0，
∴k，
∴；
（2）解：设k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，
所以．
24．【答案】（1）115°；
（2）22.5cm．
（1）利用相似多边形的性质对应角相等，把已知角代入可得所求的角的度数；
（2）利用相似多边形的性质对应边的比等于相似比，可得所求的线段的长度．
【解答】解：（1）∵多边形ABCDEF∽多边形A1B1C1D1E1F1，
∴∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，∠E＝∠E1，∠F＝∠F1，
∵∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°，
∴∠A＝135°，∠B＝120°，∠C＝95°，∠D＝135°，∠E＝120°，
∵六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠F＝720°﹣∠A﹣∠B﹣∠C﹣∠D﹣∠E
＝720°﹣135°﹣120°﹣95°﹣135°﹣120°
＝115°；
（2）∵多边形ABCDEF∽多边形A1B1C1D1E1F1，
∴，
∵CD＝15cm，
∴C1D1＝1.5CD＝22.5cm．