(共31张PPT)
21.1 四边形及多边形
21.1.2 多边形及其内角和
学习目标
1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.（重点）
2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.（难点）
多边形在生活中也很常见，观察图中的图片，你能从中找出一些几何图形的形象吗？它们都分别是什么图形？
五边形
六边形
八边形
多边形
新课导入
类比三角形、四边形的概念，你能说出什么是多边形吗？
在平面内，由一些线段首尾顺次相接，组成的封闭图形叫作多边形.
B
A
C
D
多边形定义的要素：
①在同一平面内；
②若干条线段；
③首尾顺次连接；
④封闭图形.
新课导入
（一）多边形及其相关概念
在平面内，由 n（n ≥ 3）条线段 A1A2，A2A3，…，An－1An，AnA1
首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
多边形有几条边就叫作几边形.
……
三角形
四边形
五边形
六边形
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
n边形
新知探究
活动
小组探究多边形的边、顶点、角、对角线都有哪些规律。
请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义.
边
顶点
内角
外角
对角线
组成多边形的各条线段
每相邻两条线段的公共端点
多边形相邻两边组成的角
多边形角的一边与另一边的延长线组成的角
连接多边形不相邻的两个顶点的线段
A
B
C
D
E
1
新知探究
观察、思考、归纳：
三角形有____条边，____个内角，_____个外角.
四边形有____条边，____个内角，_____个外角.
五边形有____条边，____个内角，_____个外角.
六边形有____条边，____个内角，_____个外角.
……
n 边形有____条边，____个内角，_____个外角.
3 3 6
4 4 8
5 5 10
6 6 12
n n 2n
新知探究
名称 四边形 五边形 六边形 n 边形
图形
顶点个数
从同一个顶点引出的对角线条数
对角线条数
探究多边形对角线的条数
4
5
6
n
1
2
3
n-3
2
5
9
n(n-3)
2
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
新知探究
A
B
C
D
凸四边形
凸七边形
凸八边形
特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形。
新知探究
你会画凸多边形吗？
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
各个角都相等、各条边都相等
各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.
它们的内角和是多少度，你会求吗？
新知探究
这两个图形有什么特点？
（二）正多边形
下列说法正确的有（ ）
①五个角都相等的五边形是正五边形；
②等边三角形和长方形都是正多边形；
③n边形有n条边，n个顶点，n个内角；
④六边形有9条对角线.
A. ①③④ B. ①④ C. ③④ D. ①②④
C
新知探究
练一练
从五边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于____× 180°.
2
3
3
转化为三角形的内角和.
新知探究
类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？
（三）多边形的内角和
从六边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将六边形分为____个三角形，六边形的内角和等于____× 180°.
3
4
4
由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？
新知探究
多边形的边数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和
3
4
5
6
…… …… …… ……
n
0
1
1×180°=180°
1
2
2×180°=180°
2
3
3×180°=180°
3
4
4×180°=180°
(n-3)
(n-2)
(n-2)×180°
新知探究
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
一般地，从 n 边形的一个顶点出发，
可以作 (n－3) 条对角线，它们将 n 边形
分为 (n－2) 个三角形，n 边形的内角和
等于 (n－2)× 180°.
n 边形的内角和等于 (n－2)× 180°.
正多边形的每个外角的度数等于
(n－2)× 180°
n
新知探究
A1
A2
A3
A4
A5
A6
An
P
1. 在 n 边形内任取一点 P，连接 PA1，PA2，
…，PAn；
2. 把 n 边形分成 n 个三角形，这 n 个三角形
的内角和为 n ×180°；
3. 减去以 P 为顶点的一个周角的度数；
4. 即得 n 边形的内角和为
n×180°－360°= (n－2)×180°
新知探究
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
A1
A2
A3
A4
A5
A6
An
P
1.在 n 边形的一边上任取一点 P，与各顶点
相连，得 (n－1) 个三角形；
2.n 边形内角和等于这 (n－1)个三角形的
内角和减去以 P 为顶点的一个平角的度数；
3. 即得 n 边形的内角和为
(n－1)×180°－180°= (n－2)×180°
新知探究
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
已知一个正多边形的内角和等于2160°，求这个正多边形的边数以及每个内角的度数.
解：设这个多边形的边数为n.
根据题意，得(n－2)×180°= 2160°.
解得 n = 14.
因此，这个多边形的边数为14，每个内角的度数约为154.29°.
正多边形每个内角的度数是2160°÷14 ≈ 154.29°.
新知探究
练一练
在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.
四边形的外角和等于 360°.
A
B
C
D
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
多边形的外角和等于多少度？
新知探究
你能根据四边形的外角和，说一说什么是多边形的外
角和？
（四）多边形的外角和
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
多边形的每一个内角与和它相邻的外角是_______.
n 边形的内角和与外角和的总和等于__________.
n 边形的内角和等于_____________.
n 边形的外角和的总等于
邻补角
n × 180°
(n－2)×180°
n×180°－(n－2)×180°= 360°
多边形的外角和等于 360°.
新知探究
从多边形的一个顶点 A 出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点 A，然后转向出发时的方向.
在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.
由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于 360°.
新知探究
你还有其他方法帮助理解为什么多边形的外角和等于 360°吗？
解：设这个多边形的边数为 n. 因为它的内角和等于 (n－2)× 180°，外角和等于 360°，所以
(n－2)× 180° = 2 × 360°.
解得 n = 6.
因此这个多边形是六边形.
新知探究
一个多边形，它的内角和比外角和的 3 倍多 180°，求这个多边形的边数及内角和度数．
解:设多边形的边数为 n，
由题意，得 (n－2)×180°＝ 3×360°+ 180°，
解得 n ＝ 9.
内角和度数为 (9－2)×180°＝1260°.
答:这个多边形的边数为 9，内角和度数为 1260°．
新知探究
练一练
1.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原多边形的边数是（ ）
A. 10或11 B. 10或12 C. 11或12 D.10或11或12
思维拓展
(n－2)×180°＝ 1620°
n ＝ 11
新多边形：
原多边形：
n ＝ 11
n ＝ 10
n ＝ 12
D
新知探究
思维拓展
2. 已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为1710°，求这个多边形的边数及这个内角的度数.
思维拓展
解:设多边形的边数为n，则内角和为(n－2) ×180°.
根据题意，得1710°<（n－2）×180°< 1710°＋ 180°.
解得11.5 < n < 12.5.
∵ n 为正整数. ∴ n ＝ 12.
∴ 这个多边形的边数为12.
∴ 这个内角的度数为(12－2)×180°－1710°＝ 90°.
新知探究
多边形及其内角和
内角和计算公式
(n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关.
正多
边形
内角= ，外角=
课堂小结
1.判断．
(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加. ( )
(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加. ( )
(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( )
2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______．
120°
课堂训练
5.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成 个
三角形.
3.九边形的对角线有（ ）
A.25条 B.31条 C.27条 D.30条
C
4.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是 边形.
十三
六
课堂训练
6.一个多边形的内角和不可能是（ ）
A.1800° B.540° C.720° D.810°
D
7.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）
A.360° B.540° C.720° D.900°
B
课堂训练
8.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．
150
课堂训练
9. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
解：∵1800÷180＝10，
∴原多边形边数为10＋2＝12.
∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，
∴新多边形的边数可能是11，12，13，
∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
课堂训练21.1.2 多边形及其内角和
1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.（重点）
2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.（难点）
一、情境导入
多边形在生活中也很常见，观察图中的图片，你能从中找出一些几何图形的形象吗？它们都分别是什么图形？
二、新知探究
（一）多边形及其相关概念
[提问]类比三角形、四边形的概念，你能说出什么是多边形吗？
答：在平面内，由一些线段首尾顺次相接，组成的封闭图形叫作多边形.
[提问]多边形定义的要素有哪些？
答：①在同一平面内；②若干条线段；③首尾顺次连接；④封闭图形.
[归纳]在平面内，由n（n≥3）条线段 A1A2，A2A3，…，An-1An，AnA1首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.多边形有几条边就叫作几边形.
下面让我们类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义.完成下表：
边 组成多边形的各条线段
顶点 每相邻两条线段的公共端点
内角 多边形相邻两边组成的角
外角 多边形角的一边与另一边的延长线组成的角
对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段
[探究]多边形的边、顶点、角、对角线都有哪些规律.
三角形有 3 条边， 3 个内角， 6 个外角.
四边形有 4 条边， 4 个内角， 8 个外角.
五边形有 5 条边， 5 个内角， 10 个外角.
六边形有 6 条边， 6 个内角， 12 个外角.
……
n边形有 n 条边， n 个内角， 2n 个外角.
[探究]多边形对角线的条数.
名称 四边形 五边形 六边形 n 边形
图形
顶点 个数 4 5 6 n
从同一个顶点引出的对角线条数 1 2 3 n-3
对角线条数 2 5 9
特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.
（二）正多边形
多媒体展示下面的图形：
[观察]这两个图形有什么特点？
答：各个角都相等、各条边都相等.
[归纳总结]
各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.
[练一练]
下列说法正确的有（ C ）
①五个角都相等的五边形是正五边形；
②等边三角形和长方形都是正多边形；
③n边形有n条边，n个顶点，n个内角；
④六边形有9条对角线.
A. ①③④ B. ①④ C. ③④ D. ①②④
（三）多边形的内角和
[探究]类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？
引导学生观察上图，将其转化为转化为三角形的内角和问题，完成下面的探究过程.
从五边形的一个顶点出发，可以作 2 条对角
线，它们将五边形分为 2 个三角形，五边形
的内角和等于 3 × 180°.
从六边形的一个顶点出发，可以作 3 条对角
线，它们将六边形分为 4 个三角形，六边形
的内角和等于 4 × 180°.
[提问]由上述推导过程，你能得出多边形的
内角和与边数的关系吗？
多边形的边数 从多边形 的一顶点 引出的对 角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和
3 0 1 1×180°=180°
4 1 2 2×180°=360°
5 2 3 3×180°=540°
6 3 4 4×180°=720°
… … … …
n (n-3) (n-2) (n-2)×180°
[归纳总结]一般地，从 n 边形的一个顶点出发，
可以作 (n-3) 条对角线，它们将 n 边形分为(n-2)个三角形，n 边形的内角和等于 (n-2)×180°.这样就得出了多边形的内角和公式n变形的内角和等于 (n-2)×180°.
[注意]由于正多边形的每个内角都相等，所以正n边形的每个内角的度数都为.
[思考]把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
分法一：
1.在n边形内任取一点P，连接PA1，PA2，…，PAn；
2.把n边形分成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°；
3.减去以P为顶点的一个周角的度数；
4.即得n边形的内角和为n×180°-360°= (n-2)×180°.
分法二：
1.在n边形的一边上任取一点P，与各顶点相连，得(n－1)个三角形；
2.n边形内角和等于这(n－1)个三角形的内角和减去以P为顶点的一个平角的度数；
3. 即得n边形的内角和为(n－1)×180°－180°= (n－2)×180°.
[练一练]
已知一个正多边形的内角和等于2160°，求这个正多边形的边数以及每个内角的度数.
解：设这个多边形的边数为n.
根据题意，得(n－2)×180°= 2160°.
解得n=14.
正多边形每个内角的度数是2160°÷14≈154.29°.因此，这个多边形的边数为14，每个内角的度数约为154.29°.
（四）多边形的外角和
[探究]在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度？请说明理由.
多边形的每一个内角与和它相邻的外角是 邻补角 .
n边形的内角和与外角和的总和等于 n×180°
.
n边形的内角和等于 (n－2)×180° .
n边形的外角和的总等于 n×180°－(n－2)×180°= 360° .
[思考]你还有其他方法帮助理解为什么多边形的外角和等于360°吗？
从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.
[例题讲解]
【例2】一个多边性的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为n. 因为它的内角和等于(n－2)×180°，外角和等于360°，所以
(n－2)×180° =2×360°.
解得n=6.
因此这个多边形是六边形.
[练一练]
一个多边形，它的内角和比外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数．
解：设多边形的边数为n，
由题意，得(n－2)×180°＝3×360°+180°，
解得n＝9.
内角和度数为(9－2)×180°＝1260°.
答：这个多边形的边数为9，内角和度数为1260°．
[思维拓展]
1.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原多边形的边数是（ D ）
A. 10或11 B. 10或12
C. 11或12 D.10或11或12
2.已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为1710°，求这个多边形的边数及这个内角的度数.
解：设多边形的边数为n，则内角和为(n-2)×180°.
根据题意，得1710°<(n-2)×180°<1710°＋180°.
解得11.5∵n为正整数. ∴n＝12.
∴这个多边形的边数为12.
∴这个内角的度数为(12－2)×180°－1710°＝90°.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.判断．
（1）当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加. ( √ )
（2）当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加. ( × )
（3）三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( √ )
2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于 120° ．
3.九边形的对角线有（ C ）
A.25条 B.31条 C.27条 D.30条
4.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是 十三 边形.
5.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成 六 个三角形.
6.一个多边形的内角和不可能是（ D ）
A.1800° B.540° C.720° D.810°
7.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ B ）
A.360° B.540° C.720° D.900°
8.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是 150 米．
9.一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
解：∵1800÷180＝10，
∴原多边形边数为10＋2＝12.
∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，
∴新多边形的边数可能是11，12，13，
∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
五、布置作业
完成对应练习。
本节课类比上节课四边形的内容，学习了多边形的有关知识，采用同样的思路推导了多边形的内角和、外角和.教学中注意思维引导，让学生积极思考，主动参与，较好地培养了学生类比学习的能力.
