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21.2 平行四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形的性质（1）
学习目标
1.理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行四边形的定义和对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质.（重点）
2.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.（难点）
3.经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,发展学生的思维水平.
下面图形给我们留下什么图形的形象？
伸缩门
竹篱笆
新课导入
只有一组对边平行
两组对边分别平行
四边形
平行四边形
梯形
新课导入
A
B
C
D
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形用“□ ”表示.
平行四边形 ABCD 记作“□ ABCD”.
注意：表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序.
什么样的图形叫作平行四边形呢？
新知探究
（一）平行四边形的定义
几何语言:
双重 含义
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
A
B
C
D
新知探究
平行四边形的基本元素
基本 元素 主要内容 图示
边 邻边
对边 角 邻角 对角 对角线 四组：AD和AB，DA和DC，CD和CB，BC和BA
两组：AB 和 DC，AD 和 BC
四组：∠BAD和∠ADC，∠ADC 和 ∠DCB，∠DCB 和∠ABC，∠BAD 和 ∠ABC
两组：∠BAD 和 ∠BCD，∠ADC 和 ∠ABC
两条：AC 和 BD
新知探究
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
平行四边形满足两个条件
一、是四边形
二、两组对边分别平行
×
√
×
×
√
新知探究
如图，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD , EF 与GH 交于点O，则图中平行四边形共有（ ）
A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 11个
A
B
C
D
E
G
H
O
F
C
图中EF分出2个，
GH分出2个，
EF和GH分出4个，
加上□ABCD，
共有9个平行四边形 .
练一练
新知探究
根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？你能证明你的猜想吗？把你的结论和同学比较一下.
新知探究
（二）平行四边形边和角的性质
AD = 5.5 cm，
BC = 5.5 cm，
AD = BC
BA = 3.5 cm，
CD = 3.5 cm，
BA = CD
猜想 1：平行四边形的对边相等.
新知探究
A
D
B
C
∠A = 120°，
∠C = 120°，
∠A = ∠C ，
∠B = 60°，
∠D = 60°，
∠B = ∠D .
猜想 2：平行四边形的对角相等.
新知探究
猜想 1：平行四边形的对边相等.
猜想 2：平行四边形的对角相等.
A
D
B
C
思考：要证明边、角相等，常利用全等三角形的性质.如何构造三角形？
连接任意一条对角线即可.
你能证明这些猜想吗？
新知探究
1
4
2
3
证明：如图，连接□ ABCD 的对角线 AC.
A
D
B
C
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又 AC 是△ABC 和△CDA 的公共边，
∴△ABC ≌△CDA.
∴AB = CD，BC = DA，∠B = ∠D.
（两直线平行，内错角相等）
（ASA）
∵∠1 = ∠2，∠4 = ∠3，
∴∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3，
即∠BAD = ∠DCB.
请你自己证明∠BAD = ∠DCB.
新知探究
A
D
B
C
不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等呢？
答：能.证明：
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°.
∴∠A = ∠C.
同理可证 ∠B = ∠D.
新知探究
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等 .
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB = CD,BC = AD；
∠A = ∠C，∠B = ∠D.
在平行四边形ABCD中，
AB ＝ CD，AD ＝ BC.
∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
几何语言：
平行四边形的性质
A
D
B
C
新知探究
归纳总结
1. 如图，在□ ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点.
求证:∠ADE = ∠CBF.
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A =∠C，AD = CB，AB = CD.
∵E，F 分别是 AB，CD 的中点，
∴AE =AB，CF = CD. ∴AE = CF.
∴△AED≌△CFB(SAS).
∴△ADE=∠CBF.
新知探究
练一练
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作 □ BCDE，DE 交 AB 于点 F.
（1）若∠A = 50°，求 ∠E 的度数；
解: 在△ABC中，∵∠A = 50°，AB = AC，
∴∠C =∠ABC = (180°－50°)÷2 = 65°.
∵四边形 BCDE 是平行四边形，
∴∠E = ∠C = 65°.
新知探究
练一练
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作 □ BCDE，DE 交 AB 于点 F.
（2）若 AD = CD，BC = 6，求 EF 的长.
解：∵四边形 BCDE 是平行四边形，
∴BE // CD，DE = BC = 6，BE = CD，
∴∠E =∠ADF，∠EBF =∠A.
∵AD = CD，BE = AD.
∴△BEF≌△ADF (ASA). ∴EF = DF = DE = 3.
新知探究
练一练
如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O.
点 O 把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？
D
C
A
B
O
OA = OC，OB = OD.
单击跳转几何画板
新知探究
用尺子量一量，你发现了什
么？自己动手试一试.
（三）平行四边形对角线的性质
D
C
A
B
O
D
C
A
B
O
D
C
A
B
O
想一想，怎么证明？
新知探究
改变□ ABCD 的形状，你发现的结论还成立吗？
如图，在□ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. 点 O 把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？
D
C
A
B
O
4
2
1
3
证明：
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴DC∥AB，DC = AB.
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
∴△DCO ≌ △BAO（ASA）.
∴OD = OB，OC = OA.
同理，△OAD ≌△OCB.
新知探究
平行四边形的对角线互相平分.
几何语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
A
B
C
D
O
1
2
4
3
平行四边形的性质
新知探究
归纳总结
【思路分析】
平行四边形对边相等
BC，CD 的长
运用勾股定理
AC 的长
面积公式
□ ABCD 的面积
新知探究
新知探究
如图，将□ ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点B′处.若∠1 ＝∠2 ＝ 44°，则∠B 的度数为（ ）
A. 66°
B. 104°
C. 114°
D. 124°
C
思维拓展
新知探究
平行
四边形
定义
两组对边分别平行的四边形
性质
两组对边分别平行，相等
两组对角分别相等，邻角互补
对角线互相平分
课堂小结
1.如图，在□ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是( )
A．45° B．55°
C．65° D．75°
A
A
B
C
M
D
课堂训练
2.已知：在□ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是( )
A．100° B．160° C．80° D．60°
C
3.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：
(1)平行四边形两组对边分别平行且相等. （ ）
(2)平行四边形的四个内角都相等. （ ）
(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180°. （ ）
(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm和3cm，那么周长是10cm.
（ ）
(5)在平行四边形ABCD中，如果∠A=42°，那么∠B=48°. （ ）
(6)在平行四边形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C=145°.（ ）
√
×
×
×
√
√
课堂训练
4.如图，在平行四边形ABCD中，若AE平∠DAB，AB=5cm,AD＝9cm,则EC＝ .
4cm
C
A
B
D
E
课堂训练
5.已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD=BC.
∴ ∠CDE= ∠DEA，∠CFB= ∠FBA.
又∵DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC,
∴∠CDE= ∠ADE，∠CBF= ∠FBA,
∴ ∠DEA= ∠ADE，∠CFB=∠CBF,
∴AE=AD, CF=BC,
∴AE=CF.
A
B
D
C
课堂训练
E
F
6.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°，且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？
解：∵AE//BC，AB//CF，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴∠D=∠B=60°，
AD=BC=80cm.
∴ED=AD-AE=20cm.
答：DE的长度是20cm,∠D的度数是60°.
课堂训练
证明： ∵ 四边形BEFM是平行四边形,
∴BM=EF,AB//EF.
∵ AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵AB//EF,
∴ ∠BAD=∠AEF,
∴∠CAD =∠AEF,
∴ AF=EF,
∴ AF=BM.
7.如图，在△ABC中,AD平分∠BAC,点M,E,F分别是AB,AD,AC上的点,四边形BEFM是平行四边形.求证：AF=BM.
B
D
C
E
F
A
M
课堂训练21.2 平行四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形的性质（1）
1.理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行四边形的定义和对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质.（重点）
2.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.（难点）
3.经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,发展学生的思维水平.
一、情境导入
（多媒体演示）下面图形给我们留下什么图形的形象？
结合我们学过的四边形的知识，从组成它的四条边的位置关系可以得到下面的关系图：
二、新知探究
（一）平行四边形的定义
思考：什么样的图形叫作平行四边形呢？
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形用“□ ”表示.平行四边形ABCD记作“□ABCD”.
注意：表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序.
几何语言:
双重 含义 ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD 是平行四边形.
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC.
[练一练]
如图，在□ ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则图中平行四边形共有（ C ）
A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 11个
（二）平行四边形边和角的性质
[探究]根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下.
我们可以得到如下猜想
猜想1：平行四边形的对边相等.
猜想2：平行四边形的对角相等.
下面我们一起来验证这些猜想.
思考：要证明边、角相等，常利用全等三角形的性质.如何构造三角形？
答：连接任意一条对角线即可.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形.
求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠BAD=
∠DCB.
证明：如图，连接□ABCD的对角线AC.
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.（两直线平行，内错角相等）
又AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA.（ASA）
∴AB=CD，BC=DA，∠B = ∠D.
∵∠1=∠2，∠4=∠3，
∴∠1+∠4 =∠2+∠3，即∠BAD=∠DCB.
[提问]不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等呢？
答：能.证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠A +∠B=180°，∠B+∠C=180°.
∴∠A =∠C.
同理可证∠B = ∠D.
[归纳总结]平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等.
[练一练]
1.如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：∠ADE=∠CBF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=CB，AB=CD.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=AB，CF=CD.∴AE=CF.
∴△AED≌△CFB(SAS).
∴△ADE=∠CBF.
2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，DE交AB于点F.
（1）若∠A=50°，求∠E的度数；
（2）若AD=CD，BC=6，求EF的长.
解：（1）在△ABC中，∵∠A=50°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=(180°－50°)÷2=65°.
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴∠E=∠C=65°.
（2）∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BE∥CD，DE=BC=6，BE=CD.
∴∠E=∠ADF，∠EBF=∠A.
∵AD=CD，BE=AD，
∴△BEF≌△ADF(ASA).
∴EF=DF=DE=3.
（三）平行四边形对角线的性质
[探究]如图，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O.点O把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？用尺子量一量，你发现了什么？
答：OA = OC，OB = OD.
据此我们猜想一下:平行四边形的对角线互相平分.
下面我们一起来进行验证：
已知：如图，□ABCD的对角线 AC，BD相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC = AB.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴△DCO≌△BAO.（ASA）
∴OA=OC，OB=OD.
[归纳总结]平行四边形的对角线互相平分.
[例题讲解]
【例2】如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA 的长，以及□ABCD的面积.
思路分析：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形.
[思维拓展]
如图，将□ABCD 沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处.若∠1＝∠2＝44°，则∠B 的度数为（ C ）
A. 66° B. 104° C. 114° D. 124°
三、课堂小结
四、课堂训练
1.如图，在□ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是( A )
A．45° B．55° C．65° D．75°
2.已知：在□ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是( C )
A．100° B．160° C．80° D．60°
3.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：
(1)平行四边形两组对边分别平行且相等. （ √ ）
(2)平行四边形的四个内角都相等. （ × ）
(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180°. （ √ ）
(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm和3cm，那么周长是10cm. （ √ ）
(5)在平行四边形ABCD中，如果∠A=42°，那么∠B=48°. （ × ）
(6)在平行四边形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C=145°.（ × ）
4.如图，在平行四边形ABCD中，若AE平∠DAB，AB=5cm，AD＝9cm，则EC＝ 4cm .
5.已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC.求证：AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD=BC.
∴∠CDE=∠DEA，∠CFB=∠FBA.
又DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC,
∴∠CDE=∠ADE，∠CBF=∠FBA.
∴ ∠DEA=∠ADE，∠CFB=∠CBF.
∴AE=AD, CF=BC.
∴AE=CF.
6.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°，且AE∥BC、AB∥CF，你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？
解：∵AE//BC，AB//CF，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴∠D=∠B=60°，AD=BC=80cm.
∴ED=AD-AE=20cm.
答：DE的长度是20cm，∠D的度数是60°.
7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点M，E，F分别是AB，AD，AC上的点，四边形BEFM是平行四边形.求证：AF=BM.
证明：∵ 四边形BEFM是平行四边形，
∴BM=EF，AB//EF.
∵ AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
∵AB//EF，
∴ ∠BAD=∠AEF.
∴∠CAD =∠AEF.
∴ AF=EF.
∴ AF=BM.
五、布置作业
完成对应练习。
本课时要求掌握平行四边形的概念、表示方法及性质,是重点考查内容,学生要融会贯通.在探索平行四边形的性质及运用性质解决问题的过程中,培养学生独立思考的习惯，感受获得成功的乐趣，激发学习热情
