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21.2 平行四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形的性质（2）
学习目标
1.能对平行四边形的性质进行综合运用；（重点）
2.理解并掌握平行线之间的距离，会利用平行线之间的距离进行简单应用.（重点）
平行四边形有哪些性质？
平行四边形
定义：
两组对边分别平行
AB∥CD 且 AD∥BC
边：对边平行且相等
AB = CD，AD = BC
角：对角相等
∠BAD = ∠BCD，∠ABC = ∠ADC
邻角互补
∠BAD + ∠ABC = 180°
对角线：互相平分
AO = OC，BO = OD
A
B
C
D
O
复习导入
B
C
A
D
O
E
F
【解题思路】
四边形问题
三角形问题
转化
再想三角形全等定理，看符合哪个就用哪个.
SSS
SAS
ASA
AAS
新知探究
（一）平行四边形的性质
B
C
A
D
O
E
F
证明：在□ ABCD 中，AB∥CD，
∴∠EAO = ∠FCO，∠AEO = ∠CFO.
又 OA = OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE = OF.
同理也可证△BOE ≌△DOF.
新知探究
改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗？
□ ABCD 被线段 EF 所截的两部分面积与周长呢？
归纳：若一条直线经过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边所截的线段相等，且这条直线平分该平行四边形的面积和周长.
A
B
C
D
E
F
O
新知探究
点与点之间的距离
点到直线的距离
两条平行线之间的距离
有什么特点？
新知探究
距离是几何中的重要度量之一.想一想我们学过哪些距离？
（二）两条平行线之间的距离
利用方格纸画出直线 a//b，A，D 为直线 a 上任意两点.
a
b
c
d
A
B
D
C
再测量一下点 A，D 的距离和点 B，C 的距离，它们相等吗？
过点 A，D 分别画直线 c，d，使 c∥d，B，C 分别是直线 c 和 b，直线 d 和 b 的交点，用刻度尺测量点 A，B 的距离和点 D，C 的距离，它们相等吗？
AB = 2.9cm
CD = 2.9cm
相等
AD = 2.7cm
BC = 2.7cm
相等
新知探究
如图，a∥b，c∥d，c，d 与 a，b 分别相交于 A，B，C，D 四点.
A
a
b
c
d
C
B
D
AB 和 CD 之间有什么关系？
∵AC∥BD，
∴四边形 ABDC 是平行四边形，
夹在两条平行线之间的任何
两条平行线段都相等.
AB∥CD，
∴AB = CD.
新知探究
a
b
A
B
C
D
E
F
概念引入: 从上面的结论进一步可以知道: 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
图中 AB，CD 均可表示平行线 a，b 之间的距离.
新知探究
a
b
A
B
C
D
E
F
AB、CD、EF 之间有什么关系？
AB∥CD∥EF
两条平行线之间的距离处处相等.
位置关系：
AB = CD = EF
数量关系：
图中 AB，CD 均可表示平行线 a，b 之间的距离.
新知探究
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
几何语言：
两条平行线之间的距离的性质
a
b
A
B
C
D
E
F
∵ a // b ，A B⊥ b ，CD⊥ b ，EF⊥ b ，
∴ AB = CD = EF.
新知探究
归纳总结
两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条线平行线之间的距离
区别
联系 连接两点的线段的长度
直线外一点到
这条直线的垂
线段的长度
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
都是指相应线段的长度，点到直线的距离、两条平行线之间的距离的本质都是点与点之间的距离
新知探究
A
D
B
C
E
F
【思路分析】
AD∥BC
平行线之间的距离相等
三角形全等
∠B = ∠C
新知探究
证明：如图21.2-11，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，过点 A，D 分别作 AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F.
∵AE，DF 的长都是平行线 AD，BC 之间的距离，
∴AE = DF.（两条平行线之间的距离处处相等）
又 AB = DC，
∴Rt△ABE ≌ Rt△DCF .
∴∠B = ∠C.
A
D
B
C
E
F
新知探究
A
D
B
C
你还有其他证明方法吗？
有. 证明：如图，过点 A 作 AE∥DC交 BC 于点 E .
∵AD∥BC，AE∥DC，AB = DC，
∴AE = DC = AB，∠C = ∠AEB .
∴∠B = ∠AEB = ∠C.
E
新知探究
如图，在□ ABCD 中，∠BAD 的平分线 AP 交 BC 于点 P，∠ABC ＝ 110°.
（1）求∠APB 的度数；
（2）若 AB＝3，AD ＝5，求 PC 的长．
解:（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAB ＝ 180°－∠ABC ＝ 70°，
∠APB ＝ ∠DAP．
∵AP 平分∠DAB，∴∠DAP＝∠DAB＝35°，
∴∠APB＝∠DAP＝35°.
新知探究
练一练
如图，在□ ABCD 中，∠BAD 的平分线 AP 交 BC 于点 P，∠ABC ＝ 110°.
（1）求∠APB 的度数；
（2）若 AB＝3，AD ＝5，求 PC 的长．
（2）解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD ＝ BC ＝ 5．
由（1）得∠DAP＝∠BAP，∠DAP＝∠APB，
∴∠APB＝∠BAP ，
∴BP＝AB＝3，∴PC＝BC－BP＝5－3＝2．
新知探究
平行四
边形对角线的
性质
平行四边形对角线互相平分
两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等.
课堂小结
1.如图a,b是两条平行线，则表示这两条平行线之间距
离的线段有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
D
2.如图,a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,垂足为E,G,则下列
说法中错误的是（ ）
A. AB=CD
B. CE=FG
C. A,B两点之间的距离就是线段AB的长
D. 直线a,b之间的距离就是线段CD的长
C
课堂训练
3.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且 AC+BD=16,
CD=6,则△ABO的周长是（ ）
A.10 B.14 C.20 D.22
B
C
D
A
O
B
课堂训练
4.如图,a∥b,点A在直线a上，点B,C在直线b上，AC⊥b,
如果AB=10 cm，AC=8cm, BC=6cm ,那么平行线a，b
之间的距离为 .
8 cm
5.如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，
△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 .
A
B
C
D
E
10
课堂训练
6.在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值范围
是( )
A. 24＜m＜39 B.14＜m＜62
C.7＜m＜31 D.7＜m＜12
B
C
D
A
O
C
7.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，
CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③DE＝BF；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
B
课堂训练
8.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点
O与AD，BC分别相交于E，F，如果AB=4，BC=5，
OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ）
A.16 B.14 C.12 D.10
A
D
C
B
F
E
O
C
课堂训练
9.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相
交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，则BD的长
是 .
10.如图，平行四边形ABCD的面积为20，对角线AC，BD相交于点O，
点E，F分别是AB，CD上的点，且AE=DF，则图中阴影部分的面积
为_______．
5
课堂训练
11.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作
OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD
的周长是多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.
∵OE⊥BD，
∴BE=DE.
∵△CDE的周长为10，
∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，
∴平行四边形ABCD的周长=2×(BC+CD)=20．
课堂训练第2课时 平行四边形的性质（2）
1.能对平行四边形的性质进行综合运用；（重点）
2.理解并掌握平行线之间的距离，会利用平行线之间的距离进行简单应用.（重点）
一、复习导入
（多媒体演示）回顾一下，平行四边形有哪些性质？
二、新知探究
（一）平行四边形的性质
[例题讲解]
【例2】如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F. 求证OE=OF.
解题思路：
证明：在□ABCD中，AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO.
又OA=OC，
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF.
[归纳]若一条直线经过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边所截的线段相等，且这条直线平分该平行四边形的面积和周长.
（二）两条平行线之间的距离
[提问]距离是几何中的重要度量之一.想一想我们学过哪些距离？
答：两点之间的距离，点到直线的距离.
[动手操作]利用方格纸画出直线a//b，A，D为直线a上任意两点.
过点A，D分别画直线c，d，使c∥d，B，C分别是直线c和b，直线d和b的交点，用刻度尺测量点A，B的距离和点D，C的距离，它们相等吗？再测量一下点 A，D 的距离和点 B，C 的距离，它们相等吗？
答：AB和CD相等，AD和BC相等.
[提问]如何证明你的结论呢？
如图，a∥b，c∥d，c，d 与a，b分别相交于A，B，C，D四点.
∵AC∥BD，AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形.
∴AB = CD.
[归纳总结]夹在两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
[概念引入]如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
思考：如下图，图中 AB，CD 均可表示平行线 a，b 之间的距离.AB、CD、EF之间有什么关系？
位置关系：AB∥CD∥EF
数量关系：AB=CD=EF
[归纳]两条平行线之间的距离处处相等.
两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条线平行线之间的距离
区别 连接两点的线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
联系 都是指相应线段的长度，点到直线的距离、两条平行线之间的距离的本质都是点与点之间的距离
[例题讲解]
【例3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC. 求证∠B=∠C.
分析：由于AD∥BC，可以考虑运用平行线之间的距离，通过三角形全等进行证明.
证明：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F.
∵AE，DF的长都是平行线AD，BC之间的距离，∴AE= DF.（两条平行线之间的距离处处相等）
又AB=DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF.
∴∠B=∠C.
[提问]你还有其他证明方法吗？
答：有. 证明：如图，过点A作AE∥DC交BC于点E .
∵AD∥BC，AE∥DC，AB=DC，
∴AE=DC=AB，∠C=∠AEB .
∴∠B=∠AEB=∠C.
[练一练]如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线 AP 交 BC 于点 P，∠ABC＝110°.
（1）求∠APB 的度数；
（2）若AB＝3，AD＝5，求PC的长．
解:（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠DAB＝180°－∠ABC＝70°，∠APB＝∠DAP.
∴∠APB＝∠DAP＝35°.
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC＝5．
由（1）得∠DAP＝∠BAP，∠DAP＝∠APB，
∴∠APB＝∠BAP.
∴BP＝AB＝3.
∴PC＝BC－BP＝5－3＝2．
三、课堂小结
四、课堂训练
1.如图a,b是两条平行线，则表示这两条平行线之间距离的线段有（ D ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
2.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，垂足为E，G，则下列说法中错误的是（ C ）
A. AB=CD
B. CE=FG
C. A，B两点之间的距离就是线段AB的长
D.直线a，b之间的距离就是线段CD的长
3.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O,且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（ B ）
A.10 B.14 C.20 D.22
4.如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB=10 cm，AC=8cm，BC=6cm,那么平行线a，b之间的距离为___8cm___.
5.如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8， △ABD的面积为16，则△ACE的面积为___10___.
6.在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是( C )
A. 24＜m＜39 B.14＜m＜62
C.7＜m＜31 D.7＜m＜12
7.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E， CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③DE＝BF；④图中共有四对全等三角形.其中正确结论的个数是( B )
A．4 B．3 C．2 D．1
8.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，如果AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为( C )
A.16 B.14 C.12 D.10
9.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，则BD的长是______.
10.如图，平行四边形ABCD的面积为20，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，CD上的点，且AE=DF，则图中阴影部分的面积为___5__.
11.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.
∵OE⊥BD，
∴BE=DE.
∵△CDE的周长为10，
∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10.
∴平行四边形ABCD的周长=2×(BC+CD)=20．
五、布置作业
完成对应练习。
本节课利用生活中的场景,通过逐步设问,引出课题的学习.学生在日常生活中有很多经验感受,通过今天的学习,进一步体会到了背后隐藏的数学道理.今后的教学中,要鼓励学生主动去思考,用数学知识去解释一些常见的生活现象,这对于学生用数学的眼光认识现实世界是很有帮助的,能够显著提升学生的社会实践能力.
