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21.2 平行四边形
21.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定（1）
学习目标
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及
探究图形判定的一般思路；（重点）
2.掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适
当的判定定理进行推理论证.（难点）
A
B
C
小华家准备安装一块平行四边形的装饰玻璃 ABCD，但是粗心的小华不小心碰碎了玻璃的一部分，剩下的部分如图所示.
现在小华想买一块一模一样的玻璃，你能在图纸上帮他画出来吗？
D
还有其他的方法吗？
情境导入
我根据平行四边形的定义来画.
逆命题
A
B
C
D
O
平行四边形有哪些性质？
反过来成立吗？
平行四边形的性质
对边相等
对角相等
对角线互相平分
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
猜想
新知探究
已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，AD = BC，AB = CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：如图所示，连接 BD.
∵AD = CB，AB = CD，BD = DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ABD = ∠CDB，∠ADB = ∠CBD，
∴AB∥CD，AD∥BC .
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
猜想：
两组对边分别的四边形是平行四边形
新知探究
（一）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
平行四边形的判定方法2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
∵ AB = CD，AD = BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
新知探究
归纳总结
如图，AE = DF，BE = CF，AD = BC，且∠AEB = ∠DFC，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：在△AEB 和△DFC中，
AE = DF，
∠AEB = ∠DFC，
BE = CF，
∴ △AEB ≌ △DFC（SAS），
∴AB = DC.
又AD = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
新知探究
练一练
已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，
∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴∠A + ∠B = 180°，∠C + ∠B = 180°，
∴ AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
猜想：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
新知探究
（二）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
平行四边形的判定方法3
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵∠A =∠C，∠B =∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形
D
C
A
B
新知探究
归纳总结
如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，∠B = 55°，∠1 = 85°，∠2 = 40°.求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵AB//CD，
∴∠DCB = 180°－∠B = 125°，
∠CAB = ∠2 = 40°.
∴∠DAB =∠1 + ∠CAB = 85°+ 40°= 125°.
∴∠DCB =∠DAB.
∵∠D = 180°－∠1－∠2 = 180°－85°－40°= 55°，
∴∠D =∠B，∴四边形 ABCD 是平行四边形.
练一练
新知探究
如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且OA = OC，OB = OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
O
证明：∵OA = OC，OB = OD，∠AOB = ∠COD，
∴△AOB ≌△COD. （SAS）
∴∠OAB = ∠OCD.
∴AB∥CD.（内错角相等，两直线平行）
同理 AD∥BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
猜想：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
新知探究
（三）对角线互相平分的四边形是平行四边形
几何语言：
平行四边形的判定方法4
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
D
C
A
B
O
归纳总结
新知探究
如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BE＝DF，AF∥CE．试判断四边形AECF、
四边形ABCD的形状，并说明理由．
解：四边形 AECF、四边形 ABCD 都是平行四边形．
∵AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，
理由如下:
∴易得 AE∥CF．
又 AF∥CE，
∴四边形 AECF 是平行四边形．
练一练
新知探究
∴ OA ＝OC，OE＝OF．
又 BE＝DF，
∴OE + BE ＝ OF + DF，
即 OB ＝ OD ．
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BE＝DF，AF∥CE．试判断四边形AECF、
四边形ABCD的形状，并说明理由．
新知探究
练一练
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO = CO，BO = DO .
∵AE = CF，
∴AO－AE = CO－CF，即 EO = FO.
又 BO = DO，
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
新知探究
有.证明如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，AB∥CD，∴∠BAE = ∠DCF .
在△BAE 和△DCF 中，
∵AB = CD，∠BAE = ∠DCF，AE = CF，
∴△BAE ≌ △DCF（SAS），
∴BE = DF . 同理可证△BCF ≌ △DAE，∴BF = DE，
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
新知探究
你还有其他证明方法吗？
如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形 DAEF 是平行四边形．
证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°.
∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△DBF≌△ABC(SAS).∴AC＝DF.
又∵△ACE是等边三角形，∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD.
∴四边形DAEF是平行四边形．
新知探究
思维拓展
平行四边形的判定（1）
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
课堂小结
1.判断对错:
(1)有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )
(2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四
边形. ( )
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形. ( )
(4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. ( )
(5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )
√
×
×
×
√
课堂小结
2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边
形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA=OC，OB=OD
B．AB=CD，AO=CO
C．AB=CD，AD=BC
D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
B
O
D
A
C
B
课堂训练
3.如图，在四边形ABCD中，
(1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是___________.
(2)如果∠A：∠B：∠ C：∠D=a：b：a：b(a，b为正数)，那么四边形
ABCD是__________.
(3)如果AD=6cm，AB=4cm，那么当BC=______cm，CD=_____cm时，四
边形ABCD为平行四边形.
B
D
A
C
平行四边形
平行四边形
6
4
课堂小结
4.如图，已知E，F，G，H分别是 ABCD的边AB，BC，CD，DA上的
点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，又∵BF=DH，
∴AH=CF.
又∵AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF.
同理得△BEF≌△DGH（SAS），
∴GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
课堂小结
5.如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
解：四边形BFDE是平行四边形．
理由：在 ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∠CDF＝∠ADF＝ ∠ADC，
∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE.
∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，
∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形．
课堂小结
6.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的
中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D.
又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，
∴CO＝DO.
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EO＝FO.
又∵AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形．
课堂小结21.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定（1）
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路；（重点）
2.掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.（难点）
一、情境导入
（多媒体演示）小华家准备安装一块平行四边形的装饰玻璃 ABCD，但是粗心的小华不小心碰碎了玻璃的一部分，剩下的部分如图所示.
现在小华想买一块一模一样的玻璃，你能在图纸上帮他画出来吗？
回顾之前学过的知识，我们知道两组对边分
别平行的四边形是平行四边形，那么这里，我们
过点C作CD//AB，交过点A且与BC平行的直
线于点D，就可以得到一个四边形ABCD.因为两
组对边分别平行，所以四边形ABCD是平行四边
形.可以知道，画出的平行四边形与原来的一样.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，它的概念就是它的一种判定方法，那么还有其他的判定方法吗 我们一起来探讨一下吧!
二、新知探究
（一）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗 也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗 我们猜想可能是成立的.
平行四边形 的性质 逆定理/猜想
对边相等 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
对角相等 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分 对角线互相平分的四边形是平行四边形
[验证]已知：如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：如图所示，连接 BD.
∵AD=CB，AB=CD，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，
∴AB∥CD，AD∥BC .
∴四边形ABCD是平行四边形.
[归纳总结]平行四边形的对边相等，反过来也是成立的，即两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
[练一练]
如图，AE=DF，BE=CF，AD=BC，且∠AEB= ∠DFC.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在△AEB 和△DFC中，
∴△AEB≌△DFC（SAS）.
∴AB=DC.
又AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
（二）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
[验证]已知：如图所示，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠B=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
[归纳总结]平行四边形的对角相等，反过来也是成立的，即两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
[练一练]
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=55°，∠1=85°，∠2=40°.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AB//CD，
∴∠DCB=180°－∠B=125°，∠CAB=∠2=40°.
∴∠DAB=∠1+∠CAB=85°+40°=125°.
∴∠DCB=∠DAB.
∵∠D=180°－∠1－∠2=180°－85°－40°=55°，
∴∠D =∠B.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
（三）对角线互相平分的四边形是平行四边形
[验证]如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD. （SAS）
∴∠OAB=∠OCD.
∴AB∥CD.（内错角相等，两直线平行）
同理AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
[归纳总结]平行四边形的对角线互相平分，反过来也是成立的，即对角线互相平分的四边形是平行四边形.
[练一练]
如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点 O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BE＝DF，AF∥CE．试判断四边形AECF、四边形ABCD的形状，并说明理由．
解：四边形 AECF、四边形 ABCD 都是平行四边形．理由如下：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴易得AE∥CF．
又AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴OA＝OC，OE＝OF．
又BE＝DF，
∴OE + BE＝OF + DF，即OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
[例题讲解]
【例4】如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO.
∵AE=CF，
∴AO－AE=CO－CF，即EO=FO.
又BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
思考：你还有其他证明方法吗？
有.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD.
∴∠BAE=∠DCF .
在△BAE和△DCF中，
∵AB=CD，∠BAE=∠DCF，AE=CF，
∴△BAE≌△DCF.（SAS）
∴BE=DF .
同理可证△BCF≌△DAE，∴BF=DE，
∴四边形BFDE是平行四边形.
[思维拓展]如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°.
∴∠DBF＝∠ABC.
又BD＝BA，BF＝BC，
∴△DBF≌△ABC(SAS).
∴AC＝DF.
又△ACE是等边三角形，
∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD.
∴四边形DAEF是平行四边形．
三、课堂小结
四、课堂训练
1.判断对错：
(1)有一组对边平行的四边形是平行四边形.( × )
(2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形. ( × )
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形.( √ )
(4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. ( × )
(5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形.( √ )
2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ B ）
A．OA=OC，OB=OD
B．AB=CD，AO=CO
C．AB=CD，AD=BC
D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
3.如图，在四边形ABCD中，
(1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是___平行四边形__.
(2)如果∠A：∠B：∠ C：∠D=a：b：a：b(a，b为正数)，那么四边形ABCD是__平行四边形__.
(3)如果AD=6cm，AB=4cm，那么当BC=___6__cm，CD=___4__cm时，四边形ABCD为平行四边形.
4.如图，已知E，F，G，H分别是 ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，又BF=DH，
∴AH=CF.
又AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS）.
∴EH=GF.
同理得△BEF≌△DGH（SAS），
∴GH=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形．
5.如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
解：四边形BFDE是平行四边形．
理由：在 ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∠CDF＝∠ADF＝∠ADC.
∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE.
∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，
∴∠DFB＝∠BED.
∴四边形BFDE是平行四边形．
6.如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D.
又∠COA=∠DOB，AO＝BO，
∴△AOC≌△BOD(AAS).
(2)∵△AOC≌△BOD，
∴CO＝DO.
∵E，F分别是OC，OD的中点，
∴EO＝FO.
又AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形．
五、布置作业
完成对应练习。
本课时以生活中的实际问题入手，再复习平行四边形的概念和性质，利用逆向思维引导学生发现性质定理与判定定理的关系.
在证明命题的过程中，让学生将判定方法进行对比和筛选，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上.
