(共26张PPT)
21.2 平行四边形
21.2.3 三角形的中位线
学习目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.（重点）
2.掌握三角形与平行四边形的相互转换，学会基本的添辅助线法.（难点）
3.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.（重点）
我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，
利用三角形的全等性质进行研究，今天我们
一起利用平行四边形来探索三角形的某些
问题吧！
情境导入
思考 如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？
如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE .
A
B
C
D
E
像DE这样，连接三角形两边
中点的线段叫作三角形的中位线.
∵D，E 分别是边 AB，AC 的中点
∴DE 为△ABC 的中位线
∵DE 为△ABC 的中位线
∴D，E 分别是边 AB，AC 的中点
新知探究
A
B
C
D
E
F
一个三角形有三条中位线.
分别是DE、DF、EF
思考：一个三角形有几条中位线？自己试着画一画.
新知探究
A
B
C
D
E
F
A
B
C
不一样.
三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段.
三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，
思考：三角形的中位线和中线一样吗？
新知探究
观察下图，你能发现 △ABC 的中位线 DE 与边 BC 的位置关系吗？度量一下，DE 与 BC 之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？
A
B
C
D
E
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
自己画一个三角形量一量
新知探究
观察下图，你能发现 △ABC 的中位线 DE 与边 BC 的位置关系吗？度量一下，DE 与 BC 之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？
A
B
C
D
E
∠B =∠ADE
DE = BC
位置关系
数量关系
DE∥BC
同位角相等，两直线平行
BC = 6cm
DE = 3cm
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
你会证明吗？
新知探究
中位线
倍长
构造全等三角形
平行四边形
作等长延长线
得线段相等、角相等
得线段相等、平行
F
如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点.
求证：DE∥BC，且 DE = BC.
【思路分析】
A
B
C
D
E
方法一
新知探究
证明：如图，延长DE到F，使EF = DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE，∠ADE=∠CEF，DE = FE，
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A =∠ECF，AD = CF.
∴CF∥AB.
∵BD = AD， ∴CF = BD.
∴四边形DBCF是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DF∥BC（平行四边形的定义），
DF = BC（平行四边形的对边相等）.
∴DE∥BC，DE= BC.
F
A
B
C
D
E
新知探究
如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点.
求证：DE∥BC，且 DE = BC.
A
B
C
D
E
F
证四边形 ADCF 是平行四边形
CF DA
CF BD
四边形 DBCF 是平行四边形
DE∥BC，DF = BC = 2DE
【思路分析】
方法二
新知探究
A
B
C
D
E
F
证明：如图，延长 DE 到点 F，使 EF = DE，连接 FC，DC，AF .
∵AE = EC，DE = EF，
∴四边形 ADCF 是平行四边形.
∴ CF DA .
又 D 是 AB 的中点，
∴ CF BD .
∴四边形 DBCF 是平行四边形.
∴ DF BC .
又 DE = DF，
∴DE∥BC，且 DE = BC .
新知探究
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
几何语言：
三角形的中位线定理：
A
B
C
D
E
∴DE∥BC，且 DE = BC .
在△ABC 中，
∵点 D，E 分别为 AB，AC 的中点，
可用于证明两直线平行、线段的相等或倍分关系.
新知探究
归纳总结
一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形；
每个小三角形的周长都是原三角形周长的
每个小三角形的面积都是原三角形面积的.
提示：
新知探究
A
B
C
D
E
F
G
H
分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形.
新知探究
A
B
C
D
E
F
G
H
证明：连接 AC .
∵AH = HD，CG = GD，
∴HG∥AC，且 HG = AC .
同理 EF∥AC，且 EF = AC .
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
∴ HG EF .
新知探究
如图，在 ABCD 中，E 是 AD 的中点，点 F 在 BA 的延长线上，且 AF ＝ AB，连接 EF，BD.
（1）请用无刻度的直尺作出△ABD 中
与 AB 平行的中位线 EG (不写作
法，保留作图痕迹)；
A
B
C
D
E
F
G
解:如图，EG 即为所求．
新知探究
练一练
（2）在（1）的础上，判断四边形 AGEF 的形状，并说明理由．
解：四边形 AGEF 是平行四边形．理由如下:
∵EG 是△ABD 的中位线，
∴EG∥AB，EG＝ AB．
又 AF＝ AB，∴EG ＝ AF．
又 EG∥AF，∴四边形 AGEF 是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
G
新知探究
如图，在四边形ABCD中，AB = CD，M，N， P分别是AD，
BC，BD的中点，∠ABD = 20°，∠BDC = 70°，求∠PMN的度数．
解：∵M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线.
∴PM = AB，PN = DC，PM∥AB，PN∥DC.
∵AB = CD，∴PM = PN.∴△PMN是等腰三角形.
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD =∠ABD = 20°，∠BPN =∠BDC = 70°.
∴∠MPN =∠MPD+(180° ∠NPB) = 130°.
∴∠PMN =(180° 130°)÷ 2 = 25°．
思维拓展
新知探究
三角形的中位线
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理
三角形的中位线定理的应用
课堂小结
2.如图，在 ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF
等于（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
1.如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，
则BC的长为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
第2题图
第1题图
C
C
课堂训练
3.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、AC的中点.
（1）若∠ADF=50°，则∠B= °；
（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△DEF的周长
为 .
50
15
A
B
C
D
F
E
课堂训练
4.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若
AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 .
A
B
D
C
E
F
G
H
11
课堂训练
5.如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD
于点D，BD的延长线交AC于 点F，E为BC的中点，求DE的长．
解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴AB=AF=6cm，BD=DF，
∴CF=AC-AF=4cm，
∵BD=DF，E为BC的中点，
∴DE= CF=2cm．
课堂训练
6.如图，E为 ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，
分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与
OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
解：AB∥OF，AB＝2OF.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，
∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.
∵CE＝DC，∴AB＝CE,
∴△ABF≌△ECF(ASA)，
∴BF＝CF.
∵OA＝OC，
∴OF是△ABC的中位线，
∴AB∥OF，AB＝2OF.
课堂训练
7.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG、FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，
∴
∴EG∥AC,
FG∥BD,
G
课堂训练21.2.3 三角形的中位线
1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.（重点）
2.掌握三角形与平行四边形的相互转换，学会基本的添辅助线法.（难点）
3.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.（重点）
一、情境导入
（多媒体展示）如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？
我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，
利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧！
三、新知探究
如图，在△ABC中，D，E 分别是边AB，AC的中点，连接DE .
[概念引入]像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
思考：一个三角形有几条中位线？自己试着画一画.
答：一个三角形有三条中位线.
思考：三角形的中位线和中线一样吗？
答：不一样.三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段.
[动手操作]
自己画一个三角形ABC，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，探究DE与边BC的位置关系，用直尺度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？
通过测量，我们发现∠ADE=∠B，由同位角相等，两直线平行，猜想 DE//BC.DE=BC.
于是猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
[验证]如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且DE =BC.
方法1：
思路分析：
证明：如图，延长DE到F，使EF= DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE，∠ADE=∠CEF，DE=FE，
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A =∠ECF，AD=CF.
∴CF∥AB.
∵BD=AD，
∴CF=BD.
∴四边形DBCF是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DF∥BC（平行四边形的定义），DF=BC（平行四边形的对边相等）.
∴DE∥BC，DE=BC.
方法2：
思路分析：
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.
∵AE=EC，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形.
∴CFDA.
又D是AB的中点，
∴CFBD.
∴四边形DBCF是平行四边形.
∴DFBC .
又DE=DF，
∴DE∥BC，且DE=BC .
[归纳总结]三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
[例题讲解]
【例6】求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点.
求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形.
证明：连接 AC .
∵AH=HD，CG=GD，
同理EF∥AC，且EF=AC.
∴HG∥AC，且HG=AC.
∴HGEF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
[练一练]如图，在 ABCD 中，E是AD的中点，点F在BA的延长线上，且AF＝AB，连接 EF，BD.
（1）请用无刻度的直尺作出△ABD中与AB平行的中位线EG（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的础上，判断四边形AGEF的形状，并说明理由．
解：（1）如图，EG即为所求．
（2）四边形AGEF是平行四边形．理由如下：
∵EG 是△ABD 的中位线，
又 EG∥AF，∴四边形 AGEF 是平行四边形．
[思维拓展]如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，∠ABD= 20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
解：∵M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线.
∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC.
∵AB=CD，
∴PM=PN.
∴△PMN是等腰三角形.
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD =∠ABD = 20°，∠BPN =∠BDC = 70°.
∴∠MPN =∠MPD+(180° ∠NPB) = 130°.
∴∠PMN =(180° 130°)÷ 2 = 25°．
三、课堂小结
四、课堂训练
1.如图，在△ABC中，点E，F分别为AB，AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为（ C ）
A.1 B.2 C.4 D.8
2.如图，在 ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ C ）
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图，点 D，E，F分别是△ABC的三边AB，BC，AC的中点.
（1）若∠ADF=50°，则∠B= 50 °；
（2）已知三边AB，BC，AC分别为12，10，8，则△DEF的周长为 15 .
4.在△ABC中，E，F，G，H分别为AC，CD，BD，AB的中点.若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 11 .
5.如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于 点F，E为BC的中点，求DE的长．
解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴AB=AF=6cm，BD=DF，
∴CF=AC-AF=4cm，
∵BD=DF，E为BC的中点，
∴DE=CF=2cm．
6.如图，E为 ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与
OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
解：AB∥OF，AB＝2OF.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC.
∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.
∵CE＝DC，
∴AB＝CE.
∴△ABF≌△ECF(ASA).
∴BF＝CF.
∵OA＝OC，
∴OF是△ABC的中位线.
∴AB∥OF，AB＝2OF.
7.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG，FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线.
∴EG∥AC,.FG∥BD,.
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
∴EG=8，FG=6，EG⊥FG.
∴.
五、布置作业
完成对应练习。
本节课利用实际情境引人新课，为学生提供自主探索的空间，通过动手操作引导学生探究三角形的中位线定理，增强了课堂的趣味性.
