(共24张PPT)
21.3 特殊的平行四边形
21.3.1 矩 形
第1课时 矩形的性质
学习目标
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与
联系.（重点）
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问
题.（重点、难点）
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. （重点）
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
情境导入
思考 长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
你还能举出其他的例子吗？
情境导入
一个角
是直角
平行四边形
矩形
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形（长方形）.
★矩形是特殊的平行四边形.
★平行四边形不一定是矩形.
新知探究
（一）矩形的性质
A
B
C
D
O
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边、角、对角线等方面来考虑.
新知探究
材料准备：直尺、量角器、铅笔、橡皮擦等.
活动1 测量数学书的四条边长度、四个角的度数和对角线的长度，并记录测量的结果.
A
B
C
D
O
观察猜想
根据测量的结果，你有什么猜想？
猜想1：矩形的四个角都是直角.
猜想2：矩形的对角线相等.
你能证明吗？
新知探究
下面我们来一起验证一下：
如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明：∵矩形 ABCD 是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB // DC.
∴∠B+∠C=180°.
又∵∠B=90°，∴∠C=90°.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
新知探究
A
B
C
D
如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，
对角线AC与DB相交于点O.
求证：AC=DB.
O
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°.
在△ABC和△DCB中
∵AB=DC，∠ABC = ∠DCB ，BC = CB，
∴△ABC ≌ △DCB（SAS），
∴AC = DB.
新知探究
矩形除了具有平行四边形的所有性质，
特殊性质有：
性质1：矩形的四个角都是直角.
性质2：矩形的对角线相等.
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
新知探究
活动2 请同学们准备一张矩形纸片，折一折，观察并思考：矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
A
B
C
D
l1
l2
2条
新知探究
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC 与 BD 相等且互相平分.
∴OA = OB.
又∠AOB = 60°，
∴△OAB 是等边三角形.
∴OA = AB = 4，
∴AC = BD = 2OA = 8.
A
B
C
D
O
新知探究
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的
是（ ）
A. AB // DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OB
C
2.如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C 落在AD边的中点
C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则△DFC′的周长为
_______.
12
新知探究
第1题图 第2题图
练一练
活动3 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC减去一半.
A
B
D
C
O
A
B
C
O
思考：Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
新知探究
（二）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
求证：BO= AC.
A
B
C
O
D
证明：如图，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD.
∵OA = OC，OD = OB，
∴四边形 ABCD 为平行四边形.
又∵∠ABC = 90°，所以平行四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD，∴BO= BD= AC.
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
新知探究
1. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AD = BD，CD = 4，
则 AB 的长为 （ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
A
练一练
新知探究
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥ AB 于点 D ，
E 是斜边 AB 的中点，若∠ECD =50°，则 ∠A =（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
在 Rt△CDE中，
∠ECD = 50°，∠CED = 40°.
50°
40°
在 △CEA中，
CE = EA，∠ECA = ∠EAC
20°
20°
B
新知探究
3. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE⊥BD 于点
E，且 BE ∶ ED =1 ∶ 3，AD = 6 cm. 求 AE 的长.
解:∵四边形 ABCD 是矩形，
∴BO=OD = BD = AC = OA，∠BAD = 90°．
∵BE ∶ ED =1 ∶ 3，∴BE=OE．
又 AE ⊥ BD，∴AE 垂直平分 BO，
∴AB = AO = BO．∴△ABO 是等边三角形．
∴∠ABO=60°．∴∠ADE=90°– 60°=30°.
∴AE= AD = ×6 = 3 (cm)．
新知探究
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
课堂小结
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
A
C
课堂训练
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交的锐角是( )
A.20 ° B.40° C.80 ° D.10°
4.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为
点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为( )
A.4 B.8 C.2 D.4
D
课堂训练
C
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、
AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm．
2.5
6.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，
则BE的长为______．
6
第5题图
第6题图
课堂训练
7.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE；
A
B
C
D
O
E
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AC= BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
课堂训练
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD = 2BO =2×4=8.
∵∠DBC=30°，∴CD= BD= ×8=4.
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,BC=
∴四边形ABED的面积= ×(4+8)× = .
课堂训练
7.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
（2）若∠DBC=30° ，BO=4 ，求四边形ABED的面积.21.3 特殊的平行四边形
21.3.1 矩 形
第1课时 矩形的性质
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.（重点）
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.（重点、难点）
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.（重点）
一、情境导入
（多媒体展示）观察下面图形，长方形在生活中无处不在.你还能举出其他的例子吗？
思考：长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
二、新知探究
（一）矩形的性质
（多媒体展示）一个活动的平行四边形，轻轻拉动一个点，使一个角是直角，这时它除了是平行四边形外，还是什么特殊的图形
[概念引入]有一个角是直角的平行四边形叫作矩形（长方形）.
思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
[动手操作]测量数学课本的四条边长度、四个角的度数和对角线的长度，并记录测量的结果.你有什么发现？
答：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
让我们一起来证明.
（1）如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°.求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
证明：∵矩形 ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB // DC.
∴∠B+∠C=180°.
又∠B=90°，
∴∠C=90°.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
（2）如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：AC=DB.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB= DC，∠ABC=∠DCB=90°.
在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）.
∴AC= DB.
[归纳总结]矩形除了具有平行四边形的所有性质，特殊性质有：
性质1：矩形的四个角都是直角.
性质2：矩形的对角线相等.
[动手操作]请同学们准备一张矩形纸片，折一折.观察并思考：矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
答：是.它每组对边中点的连线所在的直线就是它的对称轴，所以有2条对称轴.
[例题讲解]
【例1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB= 4. 求矩形ABCD的对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分.
∴OA=OB.
又∠AOB = 60°，
∴△OAB是等边三角形.
∴OA= AB= 4，
∴AC= BD=2OA=8.
[练一练]
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ C ）
AB // DC B. AC=BD
C. AC⊥BD D. OA=OB
2.如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则△DFC′的周长为__12___.
（二）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
[动手操作]如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC减去一半.
[提问]Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？量一量，它的长度与斜边AC有什么关系？
答：点O是斜边的中点，所以BO是斜边上的中线.BO=AC.
让我们一起来证明.
证明：如图，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD.
∵OA=OC，OD=OB，
∴四边形ABCD为平行四边形.
又∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD.
∴BO=BD=AC.
[归纳总结]直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
[练一练]
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，CD= 4，则AB的长为（ A ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是斜边AB的中点，若∠ECD=50°，则 ∠A=（ B ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且BE:ED =1:3，AD=6 cm. 求AE的长.
解:∵四边形ABCD是矩形，
∵BE: ED=1:3，
∴BE=OE．
又AE⊥BD，
∴AE垂直平分BO.
∴AB=AO=BO．
∴△ABO是等边三角形．
∴∠ABO=60°．
∴∠ADE=90°– 60°=30°.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
( A )
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分 2.若直角三角形的两条直角边分别5和12，则斜边上的中线长为( C )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交的锐角是( C )
A.20 ° B.40° C.80 ° D.10°
4.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为( D )
A.4 B.8 C.2 D.4
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=___2.5___cm．
6.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为___6___．
7.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE；
（2）若∠DBC=30° ，BO=4 ，求四边形ABED的面积.
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AC= BD，AB∥CD.
又BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴AC=BE.
∴BD=BE.
（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，
∴BD=2BO=2×4=8.
∵∠DBC=30°，
∴CD=BD=×8=4.
∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中，BC=.
∴四边形ABED的面积=×(4+8)×=.
五、布置作业
完成对应练习。
本节课的主要教学任务是矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质，教学中让学生充分经历从实际生活中抽象出数学图形到深入认识图形特征的过程，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，在适度的方法训练中加强知识的灵活运用，使学生对于常见的转化方法也能灵活应用.
