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21.3 特殊的平行四边形
21.3.1 矩 形
第2课时 矩形的判定
学习目标
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握
矩形的判定定理．（重点）
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点)
问题1：矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
问题2：矩形有哪些性质？
矩形
边：对边平行且相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线互相平分且相等
复习导入
问题3：你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
思考：你还有其他的判定方法吗？
A
B
C
D
复习导入
性 质
猜 想
判定定理
逆命题
证明
你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？
新知探究
（一）对角线相等的平行四边形是矩形
同样，我们能否通过研究矩形性质定理的逆命题，得到判定矩形的方法呢？
我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形. 反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
注意对角线相等的四边形不一定是矩形.
等腰梯形的两条对角线也相等.
新知探究
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
O
证明：∵AB=DC，BC=CB，AC=DB，
∴ △ABC≌△DCB .
∴∠ABC=∠DCB .
∵ AB∥CD，
∴∠ABC +∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC=90°.
∴ □ ABCD 是矩形 (矩形的定义).
尝试证明
新知探究
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
且 AC = BD.
∴四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
O
矩形的判定定理1：
新知探究
数学来源于生活
工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，你知道其中的道理吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
新知探究
如图，□ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，△OAB是等边三角形，且 AB = 2. 求□ABCD的面积.
A
B
C
D
O
提示：
（方法一）先判定矩形，再根据勾股定理求 BC.
（方法二）S ABCD = 4 S△OAB .
新知探究
练一练
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
又△OAB 是等边三角形，AB = 2，
∴AO = BO = AB = 2，∴AC = BD = 4，
∴□ABCD 是矩形，∴∠ABC = 90°.
在Rt△ABC 中，由勾股定理，BC= = = 2 ，
∴S矩形ABCD = AB·BC =2×2 = 4 .
∴AO = CO= AC，BO = DO = BD .
A
B
C
D
O
新知探究
我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形.
成立.
至少有几个角是直角的四边形是矩形？
一个直角
两个直角
三个直角
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
新知探究
（二）有三个角是直角的四边形是矩形
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD .
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又∠B = 90°，
∴四边形ABCD是矩形.
尝试证明
新知探究
有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形的判定定理2：
A
B
C
D
几何语言：
在四边形ABCD中，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形 ABCD 是矩形.
新知探究
1.依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）
B
新知探究
练习
2.求证：四个角都相等的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明：由四边形的内角和为360°，
得∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴四边形 ABCD 是矩形.
【选自教材第71页 练习 第1题】
新知探究
分析：根据已知条件，容易证明四边形
EFGH 的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB 也为直角从而证明四边形 EFGH 是矩形.
新知探究
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD .∴∠BAD + ∠ADC = 180°.
又 AF，DF 分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF + ∠ADF = ∠BAD + ∠ADC
= (∠BAD + ∠ADC) = 90°.
∴∠F = 90°.
同理∠H = ∠AEB = 90°.
∴∠FEH = ∠AEB = 90°.
∴四边形 EFGH 是矩形.
新知探究
如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF . 求证：四边形ADCF是矩形.
【选自教材第71页 练习 第3题】
新知探究
练习
证明：∵AF∥BC，∴∠EAF = ∠EDB .
∵E 是 AD 的中点，∴AE = DE.
∴△AEF ≌△DEB（ASA）. ∴AF = BD.
在△AEF 和△DEB 中，
∠AEF = ∠DEB，
AE = DE，
∠EAF = ∠EDB，
∵AB = AC，D 是 BC 的中点，
又 AF∥DC，∴四边形 ADCF 是平行四边形.
又∠ADC = 90°，∴□ADCF是矩形.
∴∠ADC = 90°，BD = DC，∴AF = DC.
新知探究
判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定，还是在四边形基础上判定.
四边形
有三个角是直角
矩形
对角线互相平分且相等
矩形
平行
四边形
对角线相等
矩形
有一个角是直角
矩形
新知探究
如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥
AB，∠AOB=60°，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，CE，CF，AF.
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）若AB=3，求矩形AECF的面积.
新知探究
练一练
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE= OB，OF= OD．
∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥AB，∠AOB=60°，∴∠BAO=90°，∠ABO=30°，
∴OA= OB=OE．
∴AC=EF，∴□AECF为矩形．
新知探究
（2）解:由（1）得OA=OE=OC=OF，
∠AOB=60°，∠ABO=30°，
∴△OAE是等边三角形，
∠OFA=∠OAF= ∠AOB=30°=∠ABO．
∴AE=OA，AF=AB=3．
在Rt△OAB中，由勾股定理易得OA= ，
∴AE=OA= ．
∴矩形AECF的面积=AF·AE= ．
新知探究
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理
课堂小结
1.如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A．AB＝BC B．AC⊥BDC．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
2.如图,直线EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C两点,AB，CB，CD，AD分别是
∠EAC，∠MCA，∠ ACN，∠CAF的平分线,则四边形ABCD是（ ）
A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
C
C
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
第1题图
第2题图
课堂训练
3.如图，是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋，若
改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生
改变．当∠α＝ 度时，两条对角线长度相等．
90
课堂训练
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，
AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
满足132=52+122，即
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
课堂训练
5.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，
使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OD＝OB，
∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD，
∴平行四边形NDMB为矩形．
课堂训练
6.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分
线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.
∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC.
∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥CD.
又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE平行且等于BD.
又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，
故四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．
课堂训练第2课时 矩形的判定
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．（重点）
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点)
一、复习导入
问题1：矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
问题2：矩形有哪些性质？
问题3：你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
思考：你还有其他的判定方法吗？
二、新知探究
（一）对角线相等的平行四边形是矩形
你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？
同样，我们能否通过研究矩形性质定理的逆命题，得到判定矩形的方法呢？
思考：我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
对角线相等的四边形不一定是矩形.
等腰梯形的两条对角线也相等.
让我们一起来证明.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵AB=DC，BC=CB，AC=DB，
∴△ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=90°.
∴四边形ABCD是矩形 (矩形的定义).
[归纳总结]对角线相等的平行四边形是矩形.
[提问]工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，你知道其中的道理吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
[练一练]如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=2. 求□ABCD的面积.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO=CO=AC，BO=DO=BD.
又△OAB是等边三角形，AB=2，
∴AO=BO=AB=2.
∴AC=BD=4.
∴□ABCD是矩形.
∴∠ABC = 90°.
.
.
（二）有三个角是直角的四边形是矩形
思考：我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形.成立.
至少有几个角是直角的四边形是矩形？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
[证一证]
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
[归纳总结]有三个角是直角的四边形是矩形.
[练一练]1.依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ B ）
2.求证：四个角都相等的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：由四边形的内角和为360°，
得∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
[例题讲解]
【例2】如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形EFGH是矩形.
分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD .
∴∠BAD + ∠ADC = 180°.
又 AF，DF 分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠F = 90°.
同理∠H = ∠AEB = 90°.
∴∠FEH = ∠AEB = 90°.
∴四边形 EFGH 是矩形.
[练一练]
1.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF . 求证：四边形ADCF是矩形.
证明：∵AF∥BC，∴∠EAF = ∠EDB.
∵E是AD的中点，∴AE = DE.
在△AEF和△DEB中，
∴△AEF≌△DEB（ASA）. ∴AF = BD.
∵AB= AC，D是BC的中点，
∴∠ADC= 90°，BD=DC，∴AF=DC.
又AF∥DC，∴四边 ADC 是平行四边形.
又∠ADC=90°，∴□ADCF是矩形.
[归纳总结]判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定，还是在四边形基础上判定.
[练一练]
如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB=60°，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，CE，CF，AF.
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）若AB=3，求矩形AECF的面积.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE=OB，OF=OD．
∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥AB，∠AOB=60°，∴∠BAO=90°，∠ABO=30°.
∴OA=OB=OE．
∴AC=EF，∴□AECF为矩形．
（2）解：由（1）得OA=OE=OC=OF，
∠AOB=60°，∠ABO=30°，
∴△OAE是等边三角形，
∠OFA=∠OAF=∠AOB=30°=∠ABO．
∴AE=OA，AF=AB=3．
在Rt△OAB中，由勾股定理易得OA=，
∴AE=OA=．
∴矩形AECF的面积=AF·AE=3．
三、课堂小结
四、课堂训练
1.如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是（ C ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
2.如图，直线EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ ACN，∠CAF的平分线,则四边形ABCD是（ C ）
A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
3.如图，是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋，若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝ 90 度时，两条对角线长度相等．
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
满足132=52+122，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°.
∴四边形ABCD是矩形．
5.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OD＝OB.
∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD.
∴平行四边形NDMB为矩形．
6.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠FAE＝∠EAC.
∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC.
∴AE∥CD.
又DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形.
∴AE平行且等于BD.
又BD＝DC，
∴AE平行且等于DC，
故四边形ADCE是平行四边形.
又∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
五、布置作业
完成对应练习。
本节课的主要任务是探究矩形的三个判定方法，教学过程中应将矩形的判定与平行四边形的判定作比较，让学生之间相互交流，说出矩形与平行四边形的区别与联系，进而更好地掌握知识.
教师安排对应的判定方法训练题巩固新知，学生需要根据已知条件灵活选用判定方法，提升分析问题和解决问题的能力.
