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21.3 特殊的平行四边形
21.3.2 菱 形
第1课时 菱形的性质
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
下面的图形中有你熟悉的吗？
情境导入
欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让我们一起来学习吧.
情境导入
平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形——矩形；平行四边形的边特殊化，我们得到的特殊的平行四边形是什么，它有什么特征？
平行四边形
一组邻边相等
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形
★菱形是特殊的平行四边形.
★平行四边形不一定是菱形.
新知探究
（一）菱形的性质
点击图片播放视频
做一做
新知探究
A
B
C
D
活动：根据前面视频的方法做一个菱形，并猜一猜它有什么性质.
新知探究
试着证明你的猜想.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
D
O
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC (平行四边形的对边相等).
又∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=AD .
新知探究
A
B
C
D
O
（2）证明：∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD.
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
新知探究
性质1：菱形的四条边都相等.
几何语言：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = BC = CD = AD .
性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
几何语言：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC ⊥ BD，AC 平分∠BAD，CA 平分∠BCD，
BD 平分∠ABC，DB 平分∠ADC.
A
B
C
D
O
新知探究
菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外还有平行四边形所没有的特殊性质.
平行四边形的性质
菱形的特殊性质
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：互相平分.
轴对称：是轴对称图形，对称轴是每条对角线所在的直线.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
新知探究
1.菱形不具有的性质是（ ）
A.四条边都相等 B.对角线相等
C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
2.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上.若
∠ADB=32°，则∠DCE的度数为_______.
B
64°
新知探究
练一练
3. 如图，在菱形 ABCD 中，BD=4，∠A ∶ ∠ABC = 1 ∶ 2 .
求△ABD 的周长.
A
B
C
D
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，AB = AD.
∴∠A + ∠ABC = 180°.
又∠A∶∠ABC = 1∶2，
∴∠A = 60°，∠ABC = 120°.
又 AB = AD，∴△ABD 是等边三角形.
∴AB = AD = BD = 4.
∴△ABD 的周长 = AB + AD + BD = 12.
【选自教材第73页 练习 第2题】
新知探究
A
B
C
D
O
由于菱形的对角线互相垂直，可以发现，菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.
新知探究
菱形的面积计算除了像平行四边形那样利用底×高，是否可以转化成三角形来求得？
（二）菱形的面积
A
B
C
D
O
如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O,
试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC ⊥ BD .
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC·( BO + DO )
= AC·BD .
菱形的面积 = 底×高
= 对角线乘积的一半
新知探究
知识串联
两组对边分别平行
有一个角
是直角
一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
性质
边
对角线
面积
新知探究
A
B
C
D
O
30°
20 m
新知探究
新知探究
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
课堂小结
边
角
对角线
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
C
2.如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分
别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱
形ABCD的周长等于( )
A. B. 4 C. 4 D. 20
C
课堂训练
3.根据下图填一填：
（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长是______.
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝_______.
3cm
30°
A
B
C
O
D
课堂训练
(3)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角
线长为11cm，菱形的周长为______.
44cm
(4)菱形的面积为64cm2，两条对角线的比为 1∶2 ,
那么菱形最短的那条对角线长为_______.
8cm
A
B
C
O
D
课堂训练
4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求：(1)对角线AC的长度；
(2)菱形ABCD的面积.
解：(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=90°,
(2)菱形ABCD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
课堂训练
5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又 CE=CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.
∴∠AFD=∠CBE．
A
D
C
B
F
E
课堂训练
6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm，过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC=4cm.
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB=90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB=OD=3cm，
∴S矩形OBEC=OB·OC=4×3=12(cm2)．
课堂训练21.3.2 菱 形
第1课时 菱形的性质
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
一、情境导入
（多媒体展示）下面的图形中有你熟悉的吗？
二、新知探究
（一）菱形的性质
平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形——矩形；平行四边形的边特殊化，我们得到的特殊的平行四边形是什么，它有什么特征？
[概念引入]
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
（多媒体展示）把一张矩形纸片折叠成菱形的视频，猜一猜菱形有什么性质，并证明猜想.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC (平行四边形的对边相等).
又AB=AD，
∴AB=BC=CD=AD.
（2）证明：∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形.
又四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD.
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
[归纳总结]性质1：菱形的四条边都相等.
性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外还有平行四边形所没有的特殊性质.
平行四边形的性质 菱形的特殊性质
角 对角相等 对角相等
边 对边平行且相等 四条边都相等
对角线 互相平分 互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
轴对称 —— 是轴对称图形，对称轴是每条对角线所在的直线
[练一练]
1.菱形不具有的性质是（ B ）
A.四条边都相等 B.对角线相等
C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
2.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上.若∠ADB=32°，则∠DCE的度数为___64°__.
3.如图，在菱形ABCD中，BD=4，∠A∶∠ABC = 1∶2 . 求△ABD的周长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB=AD.
∴∠A +∠ABC =180°.
又∠A∶∠ABC=1∶2，
∴∠A=60°，∠ABC=120°.
又AB=AD，
∴△ABD 是等边三角形.
∴AB=AD=BD=4.
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=12.
（二）菱形的面积
由于菱形的对角线互相垂直，可以发现，菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.
菱形的面积计算除了像平行四边形那样利用底×高，是否可以转化成三角形来求得？
如图，四边形ABCD是菱形，对角线 AC，BD 交于点O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD .
∴S菱形ABCD=S△ABC+S△ADC
[归纳总结]菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半.
[例题讲解]
【例3】如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC = 60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC和BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
解：设AC，BD相交于点O.
∵花坛 ABCD 的形状是菱形，
∴AC ⊥ BD，∠ABO =∠ABC =× 60°= 30°.
在Rt△ABO中，AO =AB =× 20 = 10，
∴花坛的两条小路长AC=2AO = 20（m），
花坛的面积S菱形ABCD= 4 × S△ABO
三、课堂小结
四、课堂训练
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是
（ C ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
2.如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ C ）
A. B. 4 C. 4 D. 20
3.根据下图填一填：
（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长是___3cm___.
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝____30°___.
（3）菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11cm，菱形的周长为___44cm___.
（4）菱形的面积为64cm2，两条对角线的比为1∶2，那么菱形最短的那条对角线长为___8cm___.
4.如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求：（1）对角线AC的长度；
（2）菱形ABCD的面积.
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AED=90°，.
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
（2）菱形ABCD的面积=BD·AC=×10×24=120(cm2).
5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又CE=CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.
∴∠AFD=∠CBE．
6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm，过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
（1）求OC的长；
（2）求四边形OBEC的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC=4cm.
（2）∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又AC⊥BD，即∠COB=90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB=OD=3cm，
∴S矩形OBEC=OB·OC=4×3=12（cm2）．
五、布置作业
完成对应练习。
设置菱形图片，体现数学来源于生活；通过平移平行四边形的一条边，使其一组邻边相等得到菱形；折纸活动让学生主动探索菱形的性质，让学生感知菱形与平行四边形之间的关系.
通过运用菱形的性质解决简单的实际问题，让学生认识到数学在现实生活中有着广泛的应用，可以培养学生的应用意识.
