(共23张PPT)
21.3 特殊的平行四边形
21.3.2 正方形
第1课时 正方形的性质
学习目标
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点)
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. （难点）
仔细观察下列实际生活中的物品，你会发现里面都有正方形的形象．
正方形是我们熟悉的图形，回忆一下小学学过的正方形，它有什么性质？
新课导入
矩 形
〃
〃
正方形
新知探究
矩形怎样变化后就成了正方形呢
你有什么发现？
问题1
正方形
菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
问题2
新知探究
一组邻边 相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
新知探究
要点归纳
已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四条边都相等，四个角都是直角.
证一证
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义），
且四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.
A
B
C
D
新知探究
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交与点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：在四边形ABCD 中，
∵正方形是矩形，
∴AO=BO=CO=DO.
又∵正方形是菱形，
∴AC⊥BD.
新知探究
证一证
请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么它有几条对称轴？
新知探究
是轴对称图形，
有4条对称轴.
动手操作
A
B
C
D
O
正方形的性质：
边
对边平行
四条边都相等
角：四个角都是直角
对角线
对角线相等
对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
对称性：是轴对称图形，有4条对称轴.
新知探究
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 是全等的等腰直角三角形.
A
B
D
C
O
新知探究
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O .
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC = BD，AC ⊥ BD .
∴∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD = 90°，
AO = BO = CO = DO .
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO
都是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
A
B
D
C
O
（SAS）
新知探究
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
新知探究
矩形
菱形
一个角是直角
平行四边形
矩形
一组邻边相等
一个角是直角
一组邻边相等
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
正方形
新知探究
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角互补 D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
B
D
新知探究
练一练
3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求
正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
∴正方形的周长为4AD＝ ，
面积为AD2＝8.
新知探究
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
课堂小结
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
A
B
课堂训练
D
C
课堂训练
3.如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，
6)，点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6)
4.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是（ ）
A．(1，1) B．(－1，－1) C．(1，－1) D．(－1，1)
第3题图 第4题图
22.5°
C
课堂训练
5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直
角三角形有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
6.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是
.
A
D
B
C
O
E
第5题图 第6题图
7．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED等于____度．
8.如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB.EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J.则图中阴影部分的面积等于____.
65
课堂训练
第7题图 第8题图
9.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，
EF⊥AC，求BE的长．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形.∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
∴FC＝AC－AF＝( －1)cm.
∴BE＝( －1)cm．
课堂训练
10.如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且
CE=CF.问：BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC,∠BCE =90° .
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.∴∠BCE=∠DCF.
又CE=CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.
课堂训练
如图，延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ，∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90°，∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90°.
∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.21.3.3 正方形
第1课时 正方形的性质
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点)
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. （难点）
一、情境导入
（多媒体展示）仔细观察下列实际生活中的物品，你会发现里面都有正方形的形象．
正方形是我们熟悉的图形，回忆一下小学学过的正方形，它有什么性质？
二、新知探究
（一）正方形的性质
问题1 矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
[归纳总结]
[概念引入]
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
[证一证]
已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四条边都相等，四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）.
又正方形是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义），
且四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交与点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
证明：在四边形ABCD中，
∵正方形是矩形，
∴AO=BO=CO=DO.
又正方形是菱形，
∴AC⊥BD.
[动手操作]
请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么它有几条对称轴？
是轴对称图形，有4条对称轴.
[归纳总结]
[例题讲解]
【例5】求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O .求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD .
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，
AO=BO=CO=DO .
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
[思考]
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.
[练一练]
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B ）
A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角互补 D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
.
∴正方形的周长为4AD＝8，
面积为AD2＝8.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是
（ A ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ B ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
3.如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是（ D ）
A．(6，3) B．(3，6)
C．(0，6) D．(6，6)
4.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是（ C ）
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(1，－1) D．(－1，1)
5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有（ C ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
6.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 22.5° .
7．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED等于 65 度．
8.如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB.EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J.则图中阴影部分的面积等于________.
9.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，
∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形.
∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，.
∴FC＝AC－AF＝(－1)cm.
∴BE＝(－1)cm．
10.如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.问：BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF，且BE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE =90° .
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又CE=CF，
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
如图，延长BE交DE于点M，
∵△BCE≌△DCF ，
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF=90°，
∴∠CDF +∠F =90°.
∴∠CBE+∠F=90°.
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
五、布置作业
完成对应练习。
正方形性质的探究内容依旧集中在边、角、对角线及轴对称等方面,教学中注意引导学生思索平行四边形、矩形、菱形和正方形的区别与联系,使其形成完整的四边形知识网络.
从本节课的授课过程来看,灵活运用了多种教学方法,注重与现实生活的联系,调动了学生学习的积极性,充分发挥了学生的主体作用.
