28.2 解直角三角形及其应用（含答案）-2025-2026学年九年级下册数学人教版

28.2 解直角三角形及其应用
一、选择题（共8小题）
1．（2025秋 绛县期末）2025年10月17日15时08分，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将千帆极轨18组卫星发射升空．如图当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　）
A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米
2．（2025秋 临漳县期末）如图所示，热气球探测器在A点处，点B为楼顶，点C为楼底，AD为水平线，EF为经过点A的铅垂线，则下列说法正确的有（　　）
①∠1为仰角；②∠2为仰角；③∠3为俯角；④∠4为俯角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2025秋 淮北期末）某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与水平方向的夹角为α（0°＜α＜90°），地下停车场层高CD＝3m，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是（　　）
A．3m B． C．3sinα m D．3cosα m
4．（2025秋 安徽期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝3tanA，且AB＝4，则AC的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025秋 临漳县期末）如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025秋 张家口期末）如图是人字梯及其侧面示意图，AB＝AC＝2.4米，AB与AC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
7．（2025秋 三原县期末）为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市开展植树造林活动．如图，BC⊥AC，在坡度i＝1：2（即BC：AC＝1：2）的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距AC为4m，则这两棵树之间的坡面距离AB为（　　）
A．4m B．2m C． D．
8．（2025 增城区二模）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AB＝200米，则点P到直线AB距离PC为（　　）
A．米 B．300米 C．200米 D．100米
二、填空题（共8小题）
9．（2025秋 衡南县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣3，4），射线OB与y轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为 　 　 ．
10．（2025秋 嘉峪关校级期末）如图，滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度AC是9m，则高BC是　 　 m．
11．（2025秋 杭锦后旗期末）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处．从C点测得A点的俯角为45°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　 　 m（结果保留根号）．
12．（2025秋 乌兰察布校级期末）小明欲测量包头市地标“三鹿腾飞”的高度．如图，他在地标MN一侧的A点利用测角仪测得其顶端N点仰角为30°，接着移动到另一侧的B点，测得其顶端N点的仰角为45°．已知A，B两点相距52米（A，B在同一水平线上，且点A，B，M，N在同一平面内），测角仪离地面1.6米，则该地标MN的高度约为　 　 米．（结果保留一位小数；参考数据：）
13．（2025秋 潼南区期末）如图所示，一条船在A处观测到岛礁B在北偏东60°方向，该船以15nmile/h的速度向正东方向航行到C处，观测岛礁B在北偏东30°方向，C处恰与岛礁B相距24nmile，继续以相同的速度向正东方向航行到D处时，再观测到岛礁B在北偏西30°方向，该船从C处到达D处所用的时间为　 　 h．
14．（2025秋 吴中区校级期末）某飞机在离地面垂直距离1500米的上空A处，测得地面控制点B的俯角为60°，那么飞机与该地面控制点之间的距离AB等于　 　 米．（结果保留根号）
15．（2025秋 闵行区期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：2，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是　 　 米（结果保留根号）．
16．（2025秋 肃州区校级月考）如图，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上．如果AB＝200米，那么点P到直线AB距离PC为　 　 米．
三、解答题（共4小题）
17．（2025秋 绛县期末）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，A，B，C，D是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知C位于A的正东方向且位于B的西北方向上，D位于C的北偏东75°方向上且位于B的北偏东30°方向上，B位于A的南偏东60°方向上．经测量C，B两点相距600米．（参考数据：，，）．
（1）求AC的长度（结果保留整数）；
（2）小雨从A出发沿A→C→D方向步行去往D处，求小雨走过的路程（结果保留整数）．
18．（2025秋 抚州期末）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直于地面OB，支架CD与OA交于点A，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝BC＝2.6m，AC＝0.4m，AD＝0.9m，．
（1）求∠OAC的度数；
（2）求篮筐EF离地面的距离．
19．（2025秋 榆阳区校级期末）敦煌首航100兆瓦熔盐塔式光热电站（如图①）是“中国智慧”和“中国建设”的体现．它的原理是利用镜面反射太阳光线，通过一个特殊的装置将太阳光转化成电能．随着太阳角度的变化、每个定日镜都会不停地自动调整角度，保持最佳的反射角度．图②是其反射示意图，根据反射原理、入射光线与镜面的夹角α等于反射光线与镜面的夹角β．已知定日镜AB绕点C旋转，当入射光线与镜面的夹角为57°时，反射光线恰好照在吸热塔顶端F处．此时镜面AB与支撑柱CD的夹角∠BCD＝60°．已知CD的高度是8米，支撑柱CD与吸热塔FH的水平距离DH是500米、求吸热塔FH的高度．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
20．（2025秋 安化县期末）如图，MN表示水平地面，由地面上A处测得山上B处的仰角是26°，由山顶C处测得B处的俯角是37°．B，C所处位置相对于A处的海拔高出48.4m，102.0m．即BB1＝48.4m，CC1＝102.0m（MN，A，B，B1，C，C1均在同一个竖直平面内）．现要在山顶C处建设一个气象观察站，需要从A经B到C拉一条通信光缆，求光缆ABC的总长度（结果精确到0.1）．
（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
参考答案
一、选择题（共8小题）
1．【答案】A
根据题意可知AL⊥LR，在Rt△ALR中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得，AL⊥LR，
在Rt△ALR中，∠ARL＝θ，AR＝a千米，
∴，即sinθ，
解得：AL＝asinθ，
∴此时火箭距海平面的高度AL为asinθ千米，
故选：A．
2．【答案】B
根据仰角和俯角的定义即可得到结论．
【解答】解：根据题意得∠2为仰角；∠3为俯角，
故选：B．
3．【答案】D
过C作CE⊥AD，根据直角三角形的性质求得∠DCE的度数，再根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：如图，过C作CE⊥AD，垂足为E，
∴∠DCE+∠CDE＝90°，
∵∠BAD+∠ADB＝90°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵斜坡AD与水平方向的夹角为α，
∴∠BAD＝α，
∴∠DCE＝α，
在Rt△CDE中，CE＝CD cosα＝3cosα（m），
故在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是3cosα m，
故选：D．
4．【答案】C
利用正切函数的定义和勾股定理即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设BC＝a，AC＝b，AB＝c＝4，
∵，，tanB＝3tanA，
∴，
整理得b2＝3a2，
由勾股定理，a2+b2＝c2＝16，
∴4a2＝16，
解得a＝2（负值不符合题意，已舍），
∴b2＝3a2＝12，
解得（负值不符合题意，已舍），
故选：C．
5．【答案】D
连接DE，先证明△ADE为直角三角形即可求解．
【解答】解：如图，连接DE，
∵DE，AD＝2，AE，
∴DE2+AD2＝2+8＝10＝AE2，
∴∠ADE＝90°，即△ADE为直角三角形，
∴，
故选：D．
6．【答案】D
作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，由等腰三角形的性质可得BD＝CD，，再解直角三角形即可得出结果．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝AC＝2.4米，∠BAC＝α，
∴BD＝CD，，
∴，
∴米，
∴米，
故选：D．
7．【答案】D
因为BC：AC＝1：2，AC为4m，可求BC长，利用勾股定理即可求AB．
【解答】解：∵i＝1：2，AC＝4m，BC⊥AC，
∴BC：4＝1：2，
∴BC＝2m，
∴．
故选：D．
8．【答案】A
根据题意可得：PC⊥AC，∠PAC＝30°，∠PBC＝60°，然后利用三角形的外角性质可得∠APB＝∠PAB＝30°，从而可得AB＝PB＝200米，然后在Rt△PBC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：PC⊥AC，∠PAC＝90°﹣60°＝30°，∠PBC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠PBC是△ABP的一个外角，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝30°，
∴∠APB＝∠PAB＝30°，
∴AB＝PB＝200米，
在Rt△PBC中，PC＝PB sin60°＝200100（米），
∴点P到直线AB的距离PC为100米，
故选：A．
二、填空题（共8小题）
9．【答案】．
过A向x轴作垂线，垂足为B，根据A点的坐标及勾股定理可求出OA的值，再根据互余两角的三角函数值求出sinα的值即可．
【解答】解：过A向x轴作垂线，垂足为B，
因为B（﹣3，4），即OA＝3，AB＝4，
所以OB5，
由锐角三角函数的定义可知，cos∠AOB，
因为∠AOB+∠α＝90°，所以sinα＝cos∠AOB．
故答案为：．
10．【答案】3．
根据题意可得：在Rt△ABC中，，从而可得，进行计算即可解答．
【解答】解：∵滑坡AB的坡度是1：3，
∴在Rt△ABC中，．
∵AC＝9m，
∴．
故答案为：3．
11．【答案】．
过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝90m，求出∠CAD＝∠MCA＝45°，∠CBD＝∠NCB＝30°，利用CD⊥AB，得出，，相加即可求解．
【解答】解：如图，∠MCA＝45°，∠NCB＝30°，MN∥AB，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝90m，
∴∠CAD＝∠MCA＝45°，∠CBD＝∠NCB＝30°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．【答案】20.6．
根据题意得AB＝CD＝52m，AC＝BD＝EM＝1.6m，∠NEB＝∠NEA＝90°，∠NBE＝45°，∠NAE＝30°，设EB＝EN＝x，则AE＝52﹣x，在Rt△AEN中，可得，则，求解即可．
【解答】解：如图：∠NEB＝∠NEA＝90°，∠NBE＝45°，∠NAE＝30°，AB＝CD＝52m，AC＝BD＝EM＝1.6m，
∵∠NBE＝45°，∠NEB＝∠NEA＝90°，
∴EB＝EN，
设EB＝EN＝x，则AE＝52﹣x，
∵∠NAE＝30°，∠NEB＝∠NEA＝90°，
在Rt△AEN中，可得，则，
解得，
∴（米）．
∴该地标MN的高度约为20.6米．
故答案为：20.6．
13．【答案】1.6．
根据题意推出∠BAC＝∠CBA＝30°，推出AC＝BC＝24nmile，然后根据船航行的速度，即可推出从A点到C点用了多长时间，即可推出到达C点的具体时间，根据D点观测海岛在北偏西30°方向，即可推出△BCD为等边三角形，即BC＝CD＝BD＝24nmile，即可推出C点到达D点船所用的时间．
【解答】解：∵在A处观测海岛B在北偏东60°方向，
∴∠BAC＝30°，
∵C点观测海岛B在北偏东30°方向，
∴∠BCD＝60°，
∴∠BAC＝∠CBA＝30°，
∴AC＝BC，
∵D点观测海岛B在北偏西30°方向，
∴∠BDC＝60°，
∵∠BCD＝60°，
∴∠CBD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC＝BD，
∵BC＝24nmile，
∴BC＝AC＝CD＝24 nmile，
∵船以每小时15nmile的速度从A点航行到C处，又以同样的速度继续航行到D处，
∴船从C点到达D点所用的时间为：24÷15＝1.6（h），
故答案为：1.6．
14．【答案】1000．
根据题意可得：AC⊥BC，∠DAB＝60°，DA∥BC，从而可得∠ABC＝∠DAB＝60°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：AC⊥BC，∠DAB＝60°，DA∥BC，
∴∠ABC＝∠DAB＝60°，
在Rt△ABC中，AC＝1500米，
∴AB（米），
∴飞机与该地面控制点之间的距离AB等于1000米，
故答案为：1000．
15．【答案】4．
根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理求出AB．
【解答】解：∵斜坡AB的坡度为1：2，
∴BC：AC＝1：2，
∵BC＝4米，
∴AC＝8米，
∴AB4（米），
答：物体所经过的路程为4米，
故答案为：4．
16．【答案】．
由题意得∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠PBC＝90°﹣30°＝60°，从而可得PB＝AB＝200米，然后通过含30度角的直角三角形的性质得米，再由勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过P作PC⊥AB，交AB延长线于点C，
由题意得，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝30°，
∴∠PAB＝∠P，
∴PB＝AB＝200米，
在Rt△BCP中，∠PBC＝60°，
∴∠BPC＝30°，
∴米，
由勾股定理可得：（米），
∴点P到直线AB距离PC为米，
故答案为：．
三、解答题（共4小题）
17．【答案】（1）311米；
（2）走过的路程为1131米．
（1）延长AC交BH于H，由题意AH⊥BH，∠EAB＝60°，∠HBD＝30°，∠FCD＝75°，∠BCH＝45°，则在Rt△BHC中，可求，进而在Rt△BHA中，可求AH长，利用AC＝AH﹣CH题目可解．
（2）作BP⊥CD，可求∠DCB，∠D，在Rt△BPC和在Rt△BPD中利用三角函数则线段可求CD，BD，小雨所走的距离即可求，除以各自的速度求出时间作比较即可．
【解答】解：（1）延长AC交BH于H，
由题意AH⊥BH，∠EAB＝60°，∠HBD＝30°，∠FCD＝75°，∠BCH＝45°，
∵∠BCH＝45°，∠BHC＝90°，BC＝600米，
∴米，
∴米，
在Rt△BHA中，∵∠EAB＝60°，
∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°，
∴米，
∴AC＝AH﹣CH＝300300311（米），
答：AC的长度为311米．
（2）作BP⊥CD，垂足为点P，
∵∠FCD＝75°，∠BCH＝45°，∠HBD＝30°，
∴∠DCH＝90°﹣75°＝15°，∠CBH＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DCB＝15°+45°＝60°，∠CBD＝45°+30°＝75°，
∴∠D＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
在Rt△BPC中，
∴（米），
（米），
在Rt△BPD中，米，
∴米，
∴（米），
答：小雨走过的路程为1131米．
18．【答案】（1）60°；
（2）3.05m．
（1）如图，过点C作CN⊥OB于点N，过点C作CM⊥OA于点M，证明四边形CMON为矩形，得CN＝OM，，求出AM＝OA﹣OM＝0.2，再计算，由特殊角三角函数值可得答案；
（2）如图，延长OA和ED相交于点H，推出∠ADH＝90°﹣∠DAH＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得答案．
【解答】解：（1）如图，过点C作CM⊥OA于点M，过点C作CN⊥OB于点N，
又∵AC＝0.4，，OA⊥OB，OA＝BC＝2.6，
∴∠AMC＝90°，∠MON＝90°＝∠CMO＝∠CNO，
∴四边形CMON为矩形，
∴CN＝OM，
∴，
∴OM＝CN＝2.4，
∴AM＝OA﹣OM＝2.6﹣2.4＝0.2，
∴，
∴∠OAC＝60°；
（2）如图，延长OA和ED相交于点H，
∵AD＝0.9，DE∥OB，OA⊥OB，
∴∠DHM＝∠AOB＝90°，
∵∠DAH＝∠OAC＝60°，
∴∠ADH＝90°﹣∠DAH＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴AH+AO＝0.45+2.6＝3.05（m），
∴篮筐EF离地面的距离为3.05m．
19．【答案】263米．
如图过点C作CM⊥FH于点M，FH∥CD，进而推出角的度数，推出四边形CDHM是矩形，在Rt△FCM中，根据三角函数作答，再根据FH＝FM+MH计算即可．
【解答】解：如图过点C作CM⊥FH于点M，
根据题意，DH＝500米，∠β＝∠α＝57°，
∵FH∥CD，
∴∠MCB＝∠DCM﹣∠BCD＝90°﹣60°＝30°，∠DCM＝∠FMC＝90°，
∴∠FCM＝∠β﹣∠MCB＝57°﹣30°＝27°，
∵∠CMH＝∠HDC＝∠DCM＝90°，
∴四边形CDHM是矩形，
∴MH＝CD＝8米，CM＝DH＝500米，
在Rt△FCM中，∠FMC＝90°，
∵∠FCM＝27°，
∴FM＝CM tan27°≈500×0.51＝255（米），
∴FH＝FM+MH＝255+8＝263（米）．
答：吸热塔的高度为263米．
20．【答案】光缆ABC的总长度约为199.3米．
过点B作BD垂直CC1，垂足为D，记住解摄像机求出AB，BC可得结论．
【解答】解：过点B作BD垂直CC1，垂足为D，则CD＝CC﹣BB＝102.0m﹣48.4m＝53.6m，
在Rt△BCD 中，∠CBD＝37°，
∴（m），
在Rt△ABB1中，BB1＝48.4m，∠A＝26°，
∴（m），
∴光缆ABC的总长度＝AB+BC＝110.00+89.33≈199.3（m）．
答：光缆ABC的总长度约为199.3米．