27.2.2 相似三角形的性质（含答案）-2025-2026学年九年级下册数学人教版

27.2.2 相似三角形的性质
一、选择题（共8小题）
1．（2025秋 路南区期末）如图，已知AB∥CD，若OD＝6，CD＝4，AB＝8，则BD的长是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
2．（2025秋 昌吉州期末）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（　　）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
3．（2025秋 市中区期末）如图，DE∥BC，且AD：AB＝1：3，则S△ADE：S四边形BDEC＝（　　）
A．1：8 B．1：4 C．1：9 D．1：3
4．（2025秋 蒙城县月考）如图，矩形ABCD，AC＝20cm，，则EF长为（　　）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
5．（2025秋 鲤城区校级期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△ADE＝1：2，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
6．（2025秋 盐城期末）已知△ABC和△DEF相似，且相似比为1：2，则△ABC和△DEF的周长之比为（　　）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
7．（2025秋 榆林校级期末）如图，△ABC∽△DAC，下列结论错误的是（　　）
A．∠BAC＝∠ADC B．CA平分∠BCD
C． D．AC2＝BC CD
8．（2025秋 梁溪区校级期末）若两个相似三角形的面积之比为1：9，则它们的对应边之比是（　　）
A．1：3 B．1：9 C．1：18 D．1：81
二、填空题（共8小题）
9．（2025秋 资阳期末）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接BD，CE交于点O，若S△DOE＝3，则S△BOC＝　 　 ．
10．（2025秋 醴陵市期末）已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝50°，∠B＝85°，则∠C1＝　 　 ．（填写角的度数）
11．（2025秋 南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，D是AC的中点，点E在AB上．若△ADE与△ABC相似，则DE＝　 　 cm．
12．（2025秋 博兴县期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，ED：EC＝2：3，若△DEF的面积是4，则△ABF的面积是 　 　 ．
13．（2025秋 菏泽期末）如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为 　 　 时，△ABC与以点A，D，E为顶点的三角形相似．
14．（2025秋 盐都区期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D，E均与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE＝　 　 ．
15．（2025秋 咸阳期末）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接DE交AB的延长线于点F，若CE＝1，BE＝2，则BF的长为　 　 ．
16．（2025秋 邵阳期末）如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2．若AB＝3，CD＝6，OA＝2，则AC＝　 　 ．
三、解答题（共5小题）
17．（2025秋 金华校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFD＝∠C．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求DE的长．
18．（2025秋 常宁市期末）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若，求BC的长．
19．（2025秋 路南区期末）如图，△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝40°，求∠ADC的度数；
（2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长．
20．（2025秋 东莞市校级期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，AB＝9，求AC的长．
21．（2025秋 盐城月考）如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝8，BC＝24，CD＝18，AD＝6，求AE、AB的长．
参考答案
一、选择题（共8小题）
1．【答案】D
由AB∥CD得到△ABO∽△CDO，推出，然后代数求出OB＝12，进而求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴，
∴，
∴OB＝12，
∴BD＝OB+OD＝12+6＝18．
故选：D．
2．【答案】D
由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，又由D是边AB的中点，可得AD：AB＝1：2，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积与△ABC的面积之比．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵D是边AB的中点，
∴AD：AB＝1：2，
∴（）2．
故选：D．
3．【答案】A
由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方．即可求得S△ADE：S△ABC的值，继而求得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：AB＝1：3，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9，
∴S△ADE：S四边形BDEC＝1：8．
故选：A．
4．【答案】B
根据矩形的性质得出BD＝AC＝20cm，证明△AEF∽△ABD，得出，求出结果即可．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC＝20cm，
∵，
∴，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
∴．
故选：B．
5．【答案】D
由，且S△BDE：S△ADE＝1：2，得，则，由DE∥AC，证明△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，则，求得，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵，且S△BDE：S△ADE＝1：2，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，
∴，
∴，即S△DOE：S△AOC＝1：9，
故选：D．
6．【答案】B
直接利用“相似三角形的周长的比等于相似比”求解．
【解答】解：∵△ABC和△DEF相似，且相似比为1：2，
∴△ABC和△DEF的周长之比为1：2．
故选：B．
7．【答案】C
根据相似三角形的性质逐项判断即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠BAC＝∠ADC，∠ACB＝∠DCB，，，
∴CA平分∠BCD，AC2＝BC CD，
∴A、B、D正确，C错误．
故选：C．
8．【答案】A
由相似三角形面积的比等于相似比的平方，且两个相似三角形的面积之比为1：9，可知这两个相似三角形的相似比，即对应边之比是1：3，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵相似三角形面积的比等于相似比的平方，且两个相似三角形的面积之比为1：9，
∴这两个相似三角形的相似比为1：3，
∴它们的对应边之比是1：3，
故选：A．
二、填空题（共8小题）
9．【答案】12．
根据题意证明△ADE∽△ACB，△DOE∽△BOC，结合线段中点，以及相似三角形性质得到，进而推出，再将S△DOE＝3代入等式计算，即可解题．
【解答】解：∵点D是AC的中点，DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，△DOE∽△BOC，，
∴，
∴，
∵S△DOE＝3，
∴S△BOC＝12，
故答案为：12．
10．【答案】45°．
根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再由相似三角形对应角相等可得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝85°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣85°＝45°，
∵△ABC∽△A1B1C1，
∴∠C1＝∠C＝45°（相似三角形对应角相等），
故答案为：45°．
11．【答案】或．
先根据勾股定理求出AB的长，再分△ADE∽△ACB与△ADE∽△ABC两种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB5（cm），
∵D是AC的中点，
∴ADAC＝2（cm），
当△ADE∽△ACB时，，即，
解得DE；
当△ADE∽△ABC时，，即，
解得DE，
综上所述，DE的长为或．
故答案为：或．
12．【答案】25．
由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，即可证得△DEF∽△BAF，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△DEF∽△BAF，
∵DE：EC＝2：3，
∴DE：CD＝DE：AB＝2：5，
∵△DEF的面积是4，
∴，
∴S△DEF：S△ABF＝4：25，
∴S△ABF＝25．
故答案为：25．
13．【答案】3或
先得到，再分与两种情况讨论即可解答．
【解答】解：当时，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴，
当时，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故答案为：3或．
14．【答案】4，，．
先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，再分三种情况分类讨论利用相似三角形的性质解答即可即可：①△ABC∽△CDE；②△ABC∽△DCE；③△ABC∽△CED．
【解答】解：∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，
当△ABC∽△CDE，如图1，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A，
∴△ADC为等腰三角形，
∴CE＝AE，
∴CEAC＝4；
当△ABC∽△DCE，如图2，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠B，
而∠BCD+∠DCE＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴CD⊥AB，
∴CD，
∵△ABC∽△DCE，
∴AB：CD＝BC：CE，即5：3：CE，
∴CE；
当△ABC∽△CED，如图3，∠CDE＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A，
∴DC＝DA，
∵∠A+∠B＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴DB＝DC，
∴CD＝DA＝DBAB＝5，
∵△ABC∽△CED，
∴CE：AB＝CD：AC，即CE：5＝5：4，
∴CE，
综上所述，CE的长为4，，．
故答案为4，，．
15．【答案】6．
根据正方形的性质，证明△DCE∽△FBE，解答即可．
【解答】解：∵CE＝1，BE＝2，
∴BC＝CE+BE＝3，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，DC∥AF，
∴△DCE∽△FBE，
∴，
∵CE＝1，BE＝2，DC＝3，
∴，
解得BF＝6，
故答案为：6．
16．【答案】6．
证明△AOB∽△COD，则，求出CO＝4，即可得到答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∴，
∴CO＝4，
∴AC＝AO+CO＝2+4＝6，
故答案为：6．
三、解答题（共5小题）
17．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）DE的长为12．
（1）利用平行四边形的性质可得AD∥BC，从而得∠ADE＝∠DEC，然后根据两角相等的两个三角形相似证明即可解答；
（2）根据（1）的结论利用相似三角形的性质即可求出DE＝12．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8，
∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE＝12．
18．【答案】（1）在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，，
∴，，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）．
（1）证明，结合夹角相等即可证明；
（2）由（1）中的相似得到对应线段成比例代入求解即可得到答案．
【解答】（1）证明：在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，，
∴，，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：由（1）知：△ACD∽△ABC，且，
∴，
∴，
解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）．
19．【答案】见试题解答内容
（1）根据相似三角形的性质以及角平分线的定义得出角B与角BCD的度数，再根据三角形外角的性质即可求解；
（2）根据相似三角形的性质得出等式求出AC的长即可．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△ACD，
∴∠B＝∠ACD＝40°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝80°；
（2）∵△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
∴，
∴AC（负值舍去）．
20．【答案】（1）∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）．
（1）利用∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，即可证明△ACD∽△ABC；
（2）由相似三角形的性质可得，代入AD＝3，AB＝9计算即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：由（1）可得：△ACD∽△ABC，
∴，
∵AD＝3，AB＝9，
∴，
∴（负值不符合题意，舍去）．
21．【答案】AE＝8，AB＝18．
根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：由条件可知AC＝AD+CD＝24，
由相似三角形性质可得：，
∴，
解得AE＝8，AB＝18．