27.2.3 相似三角形应用举例（含答案）-2025-2026学年九年级下册数学人教版

27.2.3 相似三角形应用举例
一、选择题（共8小题）
1．（2025秋 临澧县期末）杠杆原理在机械设计中应用广泛，如图1是用杠杆提升重物的示意图，当施加动力时杠杆绕支点转动．如图2所示，动力臂OA＝180cm，阻力臂OB＝60cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　）
A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm
2．（2025秋 越城区期末）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若蜡烛（AH）到焦点（F1）的距离与焦点（F1）到凸透镜的中心线DB的距离之比为2：5，蜡烛的高度为6cm，则放大的实像（CG）的高度为（　　）
A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm
3．（2025秋 济阳区期末）如图，小强在距离墙（OC）8米的N点处站立，在离N点2米的B点处放置一平面镜，用激光笔从点M向点B发出一束光，光在经过点B处的平面镜反射后照射在墙上A处，此时激光笔的发光点M距离地面1.5米．以OB所在的水平线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系xOy，则点A的坐标为（　　）
A．（4.5，0） B．（0，3） C．（0，4.5） D．（0，6）
4．（2025秋 兰溪市期末）已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（　　）
A．2.7m B．1.8m C．0.9m D．2.5m
5．（2025秋 彰武县期末）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图，在小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A． B．4cm C． D．5cm
6．（2025秋 苏家屯区期末）如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若OH：OC＝3：5，点B的坐标是，则点G的坐标为（　　）
A． B．
C． D．（﹣6，2）
7．（2025秋 江都区期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝60cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，则树高AB为（　　）
A．4m B．5m C．5.5m D．6.5m
8．（2025秋 小店区月考）如图，小明要测量花瓶的内径，他将两根长度相等的木条AC，BD的一个三等分点O固定（即），然后将木条端点A，B紧贴花瓶内壁最宽处，同时G，D与瓶口平齐．若瓶口直径CD＝20cm，则花瓶内径AB为（　　）
A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
二、填空题（共8小题）
9．（2025秋 涟源市期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为　 　 步．
10．（2025秋 芜湖期末）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D），若物体AB的高为5cm，小孔O到地面距离OE为2cm，对实像CD的高度为　 　 cm．
11．（2025秋 东营区期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC＝∠AQP＝90°，AP与BC相交于点D．测得AB＝2m，BD＝1m，AQ＝10m，则树高PQ＝　 　 m．
12．（2025秋 河南校级期末）如图，小南利用三角板测量大树AB的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“三角板的两边EF＝0.2m，DE＝0.3m，小南的眼睛到地面的距离DM为1.6m，测得AM＝21m，则树高AB的长为　 　 ．
13．（2025秋 青白江区期末）在成都仰天窝熊猫广场，某游客想利用影子测量熊猫雕塑的高度．在同一时刻，该游客测得自己的影长为1米，熊猫雕塑的影长为7.5米，若该游客的身高为1.6米，则熊猫雕塑的高度是　 　 米．
14．（2025秋 凤城市期末）长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具．某品牌的长尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，经测量知AE＝AF＝1cm，EB＝FD＝2cm，EF＝0.8cm，则在图2闭合状态下点B，D之间的距离是 　 　 cm．
15．（2025秋 沛县期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，M、N分别是正方形ABCD边BC和DC的中点，正方形的边长为200步，出东门M继续往东走16步有一树木（点E），问出南门N继续往南走多少步恰好能看到位于点E处的树木（即点C在直线EF上）？则根据以上信息，算出FN的长是 　 　 步．
16．（2025秋 南京期末）如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C，使点C在点B正南方，在点A正东方，过点C作CD⊥AB，垂足为D，测得AD＝10m，AC＝20m，根据所测得的数据可算出A，B两点之间的距离是　 　 ．
三、解答题（共4小题）
17．（2025秋 喀什地区期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，李明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知李明的眼睛离地面高度为1.7m，同时量得李明与镜子的水平距离为1.5m，镜子与旗杆的水平距离为12m，则旗杆高度为多少m？
18．（2025秋 茂名校级期末）如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD＝30米，DC＝10米，EC＝12米，求河宽AB的长．
19．（2025秋 甘谷县期末）龙角塔（图1），位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．如图2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量龙角塔AB的高度．他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与龙角塔顶点A在同一条直线上．已知DE＝1m，EF＝0.5m，目测点D到地面的距离DG＝0.5m，到龙角塔的水平距离DC＝21m，求龙角塔AB的高度．
20．（2025秋 金凤区校级期末）阅读与思考
下面是数学爱好者小宇学了三角形相似后推导常用结论的手稿，请认真阅读并完成相应的任务．
射影定理数学结论：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD BD． 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高． 求证：CD2＝AD BD． 证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°． ∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD． ∵∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴△ACD∽△CBD（依据1）， ∴（依据2）， ∴CD2＝AD BD．
任务：
（1）材料中依据1是　 　 ；依据2是　 　 ．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD，DC上的动点，连接AF，BE交于点H．若AF⊥BE，EH＝2，AH＝4，求HF的长．
参考答案
一、选择题（共8小题）
1．【答案】C
先判定△OAC与OBD相似，再根据边成比例求解即可．
【解答】解：∵∠OAC＝OBD＝90°，∠AOC＝BOD，
∴△OAC∽OBD，
∴，
∵OA＝180cm，OB＝60cm，BD＝20cm，
∴，解得AC＝60cm，
则AC的长度是60cm．
故选：C．
2．【答案】D
根据题意可得：OB＝CG，AH⊥HO，BO⊥HO，从而可得∠AHO＝∠BOH＝90°，进而证明△AHF1∽△BOF1，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：OB＝CG，AH⊥HO，BO⊥HO，
∴∠AHO＝∠BOH＝90°，
∵∠AF1H＝∠BF1O，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴，
∵AH＝6cm，
∴，
∴BO＝15，
∵AD∥l∥BC，
∴CG＝15cm．
故选：D．
3．【答案】C
由题意可得BN＝2米，ON＝8米，MN＝1.5米，∠AOB＝∠MNB＝90°，∠ABO＝∠MBN，则△AOB∽△MNB，由相似三角形的性质代入数据计算即可得解．
【解答】解：由题意可得BN＝2米，ON＝8米，MN＝1.5米，∠AOB＝∠MNB＝90°，∠ABO＝∠MBN，
∴△AOB∽△MNB，
∴，
∵OB＝ON﹣BN＝6米，
∴，
∴AO＝4.5，
即点A的坐标为（0，4.5）．
故选：C．
4．【答案】A
根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即AB∥CD可知，△OAB∽△OCD，根据其相似比即可求解．
【解答】解：如图，AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，即，
解得：h＝2.7（经检验，是原分式方程的根，且符合题意），
故选：A．
5．【答案】A
先理解小孔成像的原理，再确定相似三角形的对应边，最后利用相似三角形的性质列比例即可求解．
【解答】解：由题意知，设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形的性质得，
解得，
即蜡烛火焰的高度是，
故选：A．
6．【答案】D
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵BC⊥OC，GH⊥OC，
∴GH∥BC，
∴△OGH∽△OBC，
∴，
∵点B的坐标是，
∴OC＝10，BC，
∴，
∴OH＝6，GH＝2，
∴G（﹣6，2）．
故选：D．
7．【答案】D
先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【解答】解：DE＝60cm＝0.6m，EF＝30cm＝0.3m，
在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴，即，
解得：BC＝5，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+5＝6.5（m），
即树高6.5m．
故选：D．
8．【答案】B
连接AB，证△COD∽△AOB，即可得解．
【解答】解：如图，连接AB，
由题可知，∠DOC＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴，
∴AB＝2CD＝40cm；
故选：B．
二、填空题（共8小题）
9．【答案】360．
根据正方形的性质可得AE∥CD，AE＝CE，则有△ABE∽△CED，根据相似三角形的性质得，不妨设正方形的边长为2x，则AE＝CE＝x，求出x的值进而可确定出正方形的边长．
【解答】解：设正方形的边长为2x步，根正方形的性质可得AE∥CD，AE＝CE＝x步，
∵AE∥CD，
∴△ABE∽△CED，
∴，
∴，解得x＝180（负值舍去）．
∴2x＝360．
∴正方形的边长为360步．
故答案为：360．
10．【答案】．
易证明△COE∽△CAB，△BOE∽△BDC，从而得到，，两式相加并变形可得，把AB＝5cm，OE＝2cm，代入计算即可．
【解答】解：∵DC⊥BC，AB⊥BC，OE⊥BC，
∴OE∥AB∥DC，
∴△BOE∽△BDC，△COE∽△CAB，
∴，，
∴，即，
∴，
∵AB＝5cm，OE＝2cm，
∴，解得．
故答案为：．
11．【答案】5
证明△ABD∽△AQP，利用相似三角形的性质列比例求解即可．
【解答】解：∵点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC＝∠AQP＝90°，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△AQP，
∴，
∵AB＝2m，BD＝1m，AQ＝10m，
∴，
解得PQ＝5，
∴PQ＝5m，
故答案为：5．
12．【答案】15.6m．
根据相似三角形的判定与性质即可得到答案．
【解答】解：由题可知：∠DEF＝∠DCB＝90°，
∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∵EF＝0.2m，DE＝0.3m，AM＝CD＝21m，
∴，DE＝0.3m，AM＝CD＝21m，
∴，
∴BC＝14，
∵DM＝AC＝1.6m，
∴AB＝BC+AC＝14+1.6＝15.6m，
故答案为：15.6m．
13．【答案】12．
根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出熊猫雕塑的高度即可列方程解答．
【解答】解：设熊猫雕塑的高度为x米，
根据题意得，，
∴x＝12，
答：熊猫雕塑的高度是12米，
故答案为：12．
14．【答案】2.4．
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵AE＝AF＝1cm，EB＝FD＝2cm，EF＝0.8cm，
∴AB＝AD＝1+3＝4（cm），
由题意得，，且∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
∴，
∴BD＝2.4，
答：点B，D之间的距离是2.4cm．
故答案为：2.4．
15．【答案】625．
证明△CNF∽△EMC，得到，即可求出FN的长．
【解答】解：由题意可知，CM＝100步，CN＝100步，EM＝16步，
∵EM∥CD，
∴∠E＝∠FCN，
又∵∠EMC＝∠CNF＝90°，
∴△CNF∽△EMC，
∴，
∴，
∴FN＝625，
故答案为：625．
16．【答案】40m．
根据垂直定义可得∠ADC＝∠ACB＝90°，然后证明△ADC∽△ACB，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴，
解得：AB＝40，
∴A，B两点之间的距离是40m，
故答案为：40m．
三、解答题（共4小题）
17．【答案】旗杆高度为13.6m．
根据镜面反射性质，可求出∠ACB＝∠ECD，再利用垂直得到△ABC∽△EDC，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案．
【解答】解：如图所示，
由图可知，CF⊥BD，AB⊥BD，CD⊥DE，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，
∵根据镜面的反射性质，有∠ACF＝∠ECF，
∴90°﹣∠ACF＝90°﹣∠ECF，
∴∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∵李明的眼睛离地面高度为1.7m，同时量得镜子与旗杆的水平距离为12m，李明与镜子的水平距离为1.5m，
∴CD＝12m，AB＝1.7m，BC＝1.5m，
∴，
∴DE＝13.6m．
答：旗杆高度为13.6m．
18．【答案】河宽长为36米．
证明△ABD∽△ECD，根据对应边成比例即可求解．
【解答】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴∠ABD＝∠ECD＝90°，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△ECD，
∴，
∵BD＝30，CD＝10，CE＝12，
∴，
∴BD＝36，
∴河宽长为36米．
19．【答案】龙角塔AB的高度为11m．
利用相似三角形的性质得到是解题的关键．先证明△DEF∽△DCA得出，再代入数据求出AC＝10.5m，最后求出结果即可．
【解答】解：∵∠EDF＝∠CDA，∠DEF＝∠ACD＝90°，DE＝1m，EF＝0.5m，DC＝21m，
∴△DEF∽△DCA，
∴，
∴，
解得：AC＝10.5（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
∵DG＝BC＝0.5m，
∴AB＝AC+BC＝10.5+0.5＝11（m）．
答：龙角塔AB的高度为11m．
20．【答案】（1）两角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例；
（2）6．
（1）根据相似三角形的性质与判定即可求解；
（2）根据正方形的性质得到∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD．由（1）得AH2＝EH BH，求出BH＝8，BE＝10．证明△DAF≌△ABE（AAS）得到AF＝BE＝10，即可求出HF＝6．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°．
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD．
∵∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD（两角相等的两个三角形相似），
∴（相似三角形对应边成比例），
∴CD2＝AD BD，
故答案为：两角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD．
∵AH⊥BE，
∴由（1）得AH2＝EH BH，
∴42＝2BH，
∴BH＝8，
∴BE＝BH+EH＝10．
∵AH⊥BE，
∴∠AHE＝90°，
∴∠DAF+∠AEH＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠DAF+∠DFA＝90°，
∴∠AEH＝∠DFA．
又∵∠D＝∠BAE＝90°，AD＝AB，
∴△DAF≌△ABE（AAS），
∴AF＝BE＝10，
∴HF＝AF﹣AH＝10﹣4＝6，
即HF的长为6．