28.1 锐角三角函数（含答案）-2025-2026学年九年级下册数学人教版

28.1 锐角三角函数
一、选择题（共10小题）
1．（2025秋 章丘区期末）已知△ABC是等边三角形，则cos2A的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025秋 绛县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，，点D为AC的中点，连接BD，则BD的长为（　　）
A．6 B．5 C．8 D．10
3．（2025秋 临漳县期末）在Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则∠A的正切值（　　）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．不能确定
4．（2025秋 永定区期末）sin45°的相反数是（　　）
A．﹣1 B． C． D．
5．（2025秋 任丘市期末）若2cosα＝1，则锐角α的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．70°
6．（2025秋 衡阳期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025秋 太康县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2025秋 南阳期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025秋 丰泽区校级期中）在Rt△ABC中，若各边长都扩大5倍，则sinA的值（　　）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
10．（2024秋 邗江区校级期中）比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（　　）
A．tan52°＜cos21°＜sin49°
B．tan52°＜sin49°＜cos21°
C．sin49°＜tan52°＜cos21°
D．sin49°＜cos21°＜tan52°
二、填空题（共10小题）
11．（2025秋 花山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则sinA的值是　 　 ．
12．（2025秋 南山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝5，AB＝13，那么cosA＝　 　 ．
13．（2025秋 安国市期末）在锐角△ABC中，若，则∠C的度数是　 　 ．
14．（2025秋 青龙县期末）计算：tan60°﹣cos30°＝　 　 ．
15．（2025秋 永定区期末）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且满足，则∠C＝　 　 ．
16．（2025秋 商水县期末）计算：2sin60°﹣tan45°＝　 　 ．
17．（2025秋 冷水滩区期末）在△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA＝　 　 ．
18．（2024秋 裕安区校级期末）比较大小：sin47° 　 　 sin43°．（填“＞”，“＝”或“＜”）
19．（2025秋 苏州校级期中）tan60°　 　 tan40°（选填“＞”或“＝”或“＜”）．
20．（2025秋 苏州校级期中）比较大小：sin57°　 　 sin53°．（填“＞”，“＝”或“＜”）
三、解答题（共5小题）
21．（2025秋 嘉峪关校级期末）求下列式子的值：tan30°sin60°+tan45°．
22．（2025秋 灞桥区校级期末）在ABC中，|tanA﹣1|+（2cosB）2＝0，求∠C的度数．
23．（2025秋 贵池区期末）计算：2sin230°+cos245°﹣2sin60° tan45°．
24．（2025秋 东莞市校级期末）计算：．
25．（2025秋 蚌埠期末）计算：tan260°+2sin45°﹣cos30°+sin60°．
参考答案
一、选择题（共10小题）
1．【答案】C
根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：由△ABC是等边三角形得
∠A＝60°．
则cos2A＝cos260°＝（）2，
故选：C．
2．【答案】B
根据锐角三角函数求出AC＝10，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，即可求解．
【解答】解：由条件可知，
∴AC＝10，
∵点D为AC的中点，
∴，
故选：B．
3．【答案】C
由锐角的正切定义，即可得到答案．
【解答】解：Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则由锐角的正切定义得到∠A的正切值不变．
故选：C．
4．【答案】C
先求出sin45°的值，再根据相反数的意义解答即可．
【解答】解：∵sin45°，
∴sin45°的相反数是：，
故选：C．
5．【答案】C
根据60度的余弦值求解．
【解答】解：∵2cosα＝1，
∴cosα，
∴锐角α的度数为60°．
故选：C．
6．【答案】C
由cosB的值设BC＝4x，AB＝5x，利用勾股定理求AC，再根据tanA的定义计算
【解答】解：根据题，设BC＝4x，AB＝5x，
由勾股定理，，
∴．
故选：C．
7．【答案】A
在直角三角形中，正弦值定义为对边与斜边的比值，∠A的对边是BC，斜边是AB，据此即可求解．
【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴．
则sinA的值为，
故选：A．
8．【答案】C
根据正弦的定义解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°．BC＝a，AC＝b，
∴sinA，
故选：C．
9．【答案】C
理解锐角三角函数的概念：锐角A的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值．
【解答】解：根据锐角三角函数的定义，知
若各边长都扩大5倍，则∠A的大小没有变化，所以sinA的值不变．
故选：C．
10．【答案】D
根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．
【解答】解：∵cos21°＝sin69°＞sin49°，
∴cos21°＞sin49°，
∵tan52°＞tan45°，tan45°＝1，sin90°＝1
∴tan52°＞1，sin69°＜1，
∴sin49°＜cos21°＜tan52°，
故选：D．
二、填空题（共10小题）
11．【答案】．
根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴．
故答案为：．
12．【答案】．
根据勾股定理求出AC，再根据余弦定义求解．
【解答】解：由勾股定理可知．
．
故答案为：．
13．【答案】75°．
利用非负数的性质求出sinA和cosB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A和∠B的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠C的度数．
【解答】解：由条件可得且，
∴，，
∵锐角△ABC，
∴∠A、∠B为 锐角，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
故答案为：75°．
14．【答案】
直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
15．【答案】90°．
利用非负数的性质，求出∠A和∠B的度数，再根据三角形内角和定理求∠C．
【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∵∠A，∠B均为锐角，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
16．【答案】．
根据特殊角的三角函数值直接计算即可．
【解答】解：原式＝211．
故答案为：．
17．【答案】．
先根据三角函数正切定义求得，设BC＝12k，AC＝5k，利用勾股定理计算得AB，再根据三角函数正弦定义计算即可完成求解．
【解答】解：由条件可知，
设BC＝12k，AC＝5k，其中k＞0，
∴，
∴，
故答案为：．
18．【答案】＞．
根据正弦函数是0°～90°范围内是单调递增的，即可得到结果．
【解答】解：∵0°＜43°＜47°＜90°，
∴sin43°＜sin47°，
即sin47°＞sin43°，
故答案为：＞．
19．【答案】＞．
利用正切值随角度的增加而增加即可得出答案．
【解答】解：∵60°＞40°，
∴tan60°＞tan40°，
故答案为：＞．
20．【答案】＞．
根据锐角三角函数的性质，正弦函数在0°到90°范围内是单调递增的，即可得解．
【解答】解：根据锐角三角函数的性质可知：因为正弦函数在区间0°到90°上单调递增，
故sin57°＞sin53°，
故答案为：＞．
三、解答题（共5小题）
21．【答案】．
将代入原式计算即可．
【解答】解：原式1
．
22．【答案】105°．
根据非负性，确定角的三角函数值，由特殊角的三角函数值确定的角的大小，再利用三角形内角和计算即可．
【解答】解：根据非负性，确定角的三角函数值可知：
，
∴，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
23．【答案】1．
根据特殊角的三角函数值进行计算，即可解答．
【解答】解：2sin230°+cos245°﹣2sin60° tan45°
．
24．【答案】1．
按照运算顺序计算，将，，，tan45°＝1代入计算即可．
【解答】解：
＝1．
25．【答案】．
将特殊角的三角函数值代入，然后运用实数运算法则进行计算．
【解答】解：tan260°+2sin45°﹣cos30°+sin60°
＝（）2+2
＝3．