2026中考数学学业水平考试卷（四）
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2026 年初中学业水平考试(中考) 突然停电了,小海只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起,则
颜色完全搭配正确的概率是 ( )
数学 模拟试卷(四) A. 1 B. 1 C. 1 D. 19 6 3 12 14. x+1<5,不等式组
8.如图,在△ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 边 {2x-1≥2 的整数解之和是 .
同学你好! 答题前请认真阅读以下内容: 的中点,BF = 2CF,连接 EF,交 DC 于点 15.如图,一个半径为 10 cm 的定滑轮带动重物上升了 2π cm,
1.全卷共 6 页,三个大题,共 25 题。 满分 150 分,考试时长 M,若 DC= 10,则 MC 的长为 ( ) 假设绳索与滑轮之间没有滑动,则滑轮上某一点 P 旋转了
120 分钟。 考试形式为闭卷。 A.3 B.4 度.
2.请在答题卡相应位置作答,在试题卷上答题不计分。 10
3.不能使用计算器。 C.4.5 D. 3
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分。 每小题均有 A、B、C、D 四 9.定义:关于 x 的一元二次方程:a (x-m)2+n= 0 与 a (x-m)2+
个选项,其中只有一个选项正确,请用 2B 铅笔在答题卡相 1 2
弥 ) n=0 称为“同族二次方程” .如 2(x-3)
2+4= 0 与 3(x-3) 2+4
应位置填涂
1. , ( ) = 0 就是“同族二次方程” .现有关于 x 的一元二次方程: 下列实数中 是无理数的是 · 2(x-1)
2+1= 0 与(a+2) x2+( b-4) x+8 = 0 是“同族二次方
A. 9 B.π C.22 D.0.0 1 程”,那么代数式 ax
2+bx+2 031 第 15 题图能取的最小值是 ( ) 第 16 题图
3
A.2 026 B.2 023 C.2 028 D.2 025
16.如图,E 是正方形 ABCD 内一点,∠CED= 135°,CE= 5 ,DE
2.若如图是某几何体的平面展开图,则这个 10.如图,已知两条平行线 l1,l2,点 A 是 l1 上的定点,AB⊥l2 于 = 10 ,连接 AE,作 BG⊥AE,垂足为 F,交 AD 于点 G,则 AG
几何体的三视图中一定没有 ( ) 点 B,点 C,D 分别是 l1,l2 上的动点,且满足 AC =BD,连接 的长为 .
A.矩形 CD 交线段 AB 于点 E,BH⊥CD 于点 H,连接 AH,则当 三、解答题(本大题共 9 题,共 98 分。 解答应写出必要的文字
B.圆 ∠BAH 的度数最大时,sin∠BAH 的值为 ( ) 说明、证明过程或演算步骤)
C.三角形 1 1 2 17.(本题满分 10 分)
D.正方形 A. B. C. D.
1
-1
2 3 3 4
3.根据国际能源署(IEA)《2025 年全球可再生能源展望报告》,预 (1)计算:(-1)
8+(3.14-π) 0- 1 ÷ + | - 4 | -2cos 30°;
è 2
计 2025 年全球太阳能发电总装机容量将达到 3 850 000 000 千 x+1 1+x2
封 瓦.将 3 850 000 000 用科学记数法表示为 ( ) (2)先化简,再求值: ÷ x- ÷ ,其中 x= 3 +1.x è 2x
A.38.5
×109 B.0.385×1010
C.3.85×10
8 D.3.85×109
4.某校九年级(1)班要对某小组 5 名女生一分钟仰卧起坐的
次数进行统计分析,发现数据 36,42,56,5■,48 中第四个 第 10 题图 第 11 题图
数的个位数字被涂污看不清楚了,则下列统计量中与被涂 11.如图,在正方形 ABCD 中,AB= 2 cm,对角线 AC,BD 相交于
污数字无关的是 ( ) 点 O,动点 P 从点 O 出发沿 O→A→B 方向以 2 cm / s 的速 18.(本题满分 10 分)
A.平均数 B.方差 C.中位数 D.众数 度运动,同时点 Q 从点 C 出发沿 C→D 方向以 1 cm / s 的速 小慧查阅资料发现,水的沸点 y(单位:℃)与海拔高度 x
5.如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于点 A(1,0),点 度运动,当点 Q 到达点 D 时,P,Q 同时停止运动.若运动时 (单位:km)近似地满足一次函数关系.下表列出了 x 与 y
B(3,0) .下列结论:①abc<0;②4a+b= 0;③b2-4ac>0;④a-b 间为 x(s),△CPQ 的面积为 y(cm2),则点 P 分别在 OA, 的部分对应数据:
+c>0.正确的个数为 ( ) AB 上运动时,y 与 x 的函数关系分别是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4 海拔高度 x / km 0 1 3 6 9 …线 个 个 个 个 A.均为一次函数 B.一次函数,二次函数
C.均为二次函数 D.二次函数,一次函数 水的沸点 y /℃ 100 94 82 m 46 …
12.如图,在矩形 ABCD 中,AB = 4,AD = 8, (1)m= ;
点 E 在边 AD 上,且 AE= 2.G,P 分别为 (2)求 y 关于 x 的函数解析式;
边 AB,BC 上的动点,将△AEG 沿直线 (3)五一期间,小慧一家从吉林出发到长白山游玩,发现长
GE 翻折得到△EFG,则 PF+PD 的最小 白山山顶的沸点约为 83. 5 ℃,则长白山的高度约为
值是 ( )
m.
第 5 题图 第 6 题图 A.4 B.6 C.8 D.10
6.如图,弦 CD 垂直于☉O 的直径 AB,垂足为 H,且 AB= 20,CD 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
= 16,则 BH 的长是 ( ) 13.如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律,依
A.2 B.3 C.4 D.6 此规律,用含有 a,b 的代数式表示 y,即 y= .
7.一天晚上,小海帮妈妈清洗三个只有颜色不同的有盖茶杯,
7
学 校 班 级 姓 名
19.(本题满分 10 分) 量将减少 20 个,现在既要使月销售利润达到 6 000 元,又要
某商场服装部为了调动营业员的积极性,决定实行目标管 尽可能让顾客得到实惠,那么该品牌每个头盔应涨价多
理,根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励.为了确 少元
定一个适当的月销售目标,商场服装部统计了每位营业员 (3)该品牌头盔每个涨价多少元时,月销售利润最大 最
在某月的销售额(单位:万元),数据如下: 大利润是多少
30,16,14,15,26,15,32,23,17,15,15,28,28,16,19,17,
18,16,13,24,15,28,26,18,19,22,17,16,19,32 (1)求抛物线的解析式;
整理上面的数据,得到下面两个不完整的统计表. 10
频数分布表: (2)已知该拱桥限高 米,要使船只通过此拱桥,求可通行3 弥
组别 一 二 三 四 五 六 七 22.(本题满分 12 分) 船只的最大宽度;
13≤x 16≤x 19≤x 22≤x 25≤x 28≤x 31≤x 国家卫生健康委员会主任在十四届全国人大三次会议民 (3)现有两艘宽都为 3 米,高出水面 2 米的船只,同时到达
销售额 <16 <19 <22 <25 <28 <31 <34 生主题记者会上提出实施“体重管理年”3 年行动,普及健 该拱桥,因降暴雨,水位上升 1.2 米.请问两船能否在桥下
康生活方式,加强慢性病防治.为响应国家号召,小锦经常
频数 7 9 a 3 2 4 b 顺利交汇.(不考虑两船间的空隙)在闲暇时到离家不远的公园徒步锻炼,如图,小锦从 A 处 封
数据分析表: 出发,以 4 千米 /时的速度向南偏东 60°方向进行徒步锻
平均数 众数 中位数 炼,经过 1.5 小时到达 B 处,已知 C 处在 B 处的正东方向,
20.3 15 c 且在 A 处的南偏东 75°方向.D 处在 A 处的东北方向,在 C 处
请根据以上信息,解答下列问题. 的正北方向.(参考数据: 2≈1.41, 3≈1.73, 6≈2.45) 线
(1)填空:a= ,b= ,c= ; (1)求 B,C 两地间的距离; 25.(本题满分 12 分)
(2)若将月销售额不低于 22 万元确定为销售目标,则有 (2)到达 B 处后,小锦休息一会儿,然后继 问题情境:如图 1,在△ABC 中,AB⊥AC,D,E 分别为 BC 和
位营业员可以获得奖励; 续以 3 千米 /时的速度沿 B→C→D 赶往 D AC 的中点,延长 DE 至点 F,使 EF=DE,连接 AF,在线段 BC
(3)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标,你认为 处,同时在 D 处的小霖以 5 千米 /时的速度 1
沿 D→C→B 前进,请计算说明多久后两人 上取点 G 和 H,使得 BG=CH= GH,动点 M,N 分别从点 G, 内月销售额定为多少合适 说明理由. 8
能相遇(结果精确到 0.1 小时) . C 同时出发,以相同的速度向终点 H,A 运动,并且同时到达
终点,连接 MN,设 GM=a,AN=b,且 a 与 b 满足 a+b=8.
不
20.(本题满分 10 分)
如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,过点 B 作 AC 的平行线
BD,使得 BD=AB,连接 AD 交 BC 于 E,过点 B 作 AD 的垂 23.(本题满分 12 分)
线分别交 AD,AC 于点 F,G,连接 DG. 如图,已知 AB 是☉O 的直径,弦 CD⊥AB 于 F,连接 BC,以
(1)求证:四边形 ABDG 是菱形; BC,CD 为邻边作平行四边形 BCDE,连接 CE,交 AB 于点
要
(2)当 EF = 2,DF = 2BF 时,求 AF G,若 BF= 6,CD= 4 6 .
与 AC 的长. (1)求☉O 的半径;
(2)求 CE 的长.
答
猜想证明:(1)判断四边形 ABDF 的形状,并说明理由.
问题拓展:(2)①BC 的长为 ;
② MN如图 2,当 MN⊥BC 时,求 的值.
21.(本题满分 10 分) 24.(本题满分 12 分) AB
“骑车戴头盔,放心平安归” .越来越多的人上下班会选择 如图 1,有一座拱桥,已知桥洞的拱形呈抛物线型.如图 2,
题
深入探究:(3)在运动的过程中,将 MN 绕点 N 顺时针旋转
骑行电动车,佩戴头盔更能保证大家的行车安全.某商店统 当水面宽 AB 为 12 米时,桥洞顶部离水面高 OC 为 4 米.如 90°得到线段 M′N,当点 M′落在平行四边形 ABDF 的边上
计了某品牌头盔的销售量,四月份售出 350 个,六月份售 图 3 所示建立平面直角坐标系. 时,请直接写出 a 的值.
出 504 个,且从四月份到六月份月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率;
(2)经市场调研发现,此种品牌头盔如果每个盈利 10 元,月
销售量为 500 个,若在此基础上每个每涨价 1 元,则月销售
8
∴ ∠DBF=∠AGF,∠BDF=∠GAF.
2026 年初中学业水平考试(中考)
∵ BG⊥AD,AB=BD,
数学 模拟试卷(四) ∴ AF=DF,
1.B 2.C 3.D 4.C 5.D 6.C 7.B 8.B 9.A 10.B ∴ △AFG≌△DFB,
11.D 12.C ∴ FG=BF,
∴ 四边形 ABDG 是平行四边形.
13.b(a+2) 14.5 15.36 16.15
4 ∵ BD=AB,
∴ 四边形 ABDG 是菱形.
17.解:(1)原式= 1+1-2+2-2× 3 = 2- .
2 3 (2)解:∵ DF= 2BF,
(2) x
+1 ( 1+x2 2÷ - ) = x+1 ÷ ( 2x +-1 x2 = x+1 ÷ x2-1 = ∴ 设 BF= x,则 AF=DF= 2x,x x 2x x 2x 2x ) x 2x
x+1 2x 在 Rt△BFD 中,BD= BF
2+DF2 = 5 x.
· = 2 .
x (x+1)(x-1) x-1 ∵ ∠AFB=∠ABC= 90°,
= + ∴ ∠BAF
=∠FBE= 90°-∠ABF,
当 x 3 1 时, =
2 = 2 = 2 = 2 3原式 - .x 1 3 +1-1 3 3 ∴ tan∠BAF= tan∠FBE,
18.解:(1)由题意,结合表格数据可得,当海拔每增加 1 km
∴ BF=EF,
时,水的沸点降低 6 ℃, AF BF
2 2
∴ 当 x= 6 时,y=m= 100-6×6= 64(℃) . ∴ BF =AF·EF,即 x = 2x·2,
(2)由题意,设 y= kx+b, 解得 x1 = 4,x2 = 0(舍去),
又结合表格数据,图象过(0,100),(1,94), ∴ BF= 4,AF=DF= 2×4= 8,BD= 4 5,
{b= 100, {k= -6, ∴ AE=AF+EF= 10,DE=DF-EF= 6.∴ ∴k+b= 94, b= 100. ∵ BD∥AC,
∴ y= -6x+100. ∴ △CAE∽△BDE,
(3)∵ 长白山山顶的沸点约为 83.5 ℃, ∴ AC = AE = 10 = 5 ,
BD DE 6 3
∴ y= 83.5= -6x+100,
∴ x= 2.75, ∴ AC= 5 BD= 20 5 .
3 3
2.75 km= 2 750 m.
21.解:(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 x,
答:长白山的高度约为 2 750 m.
由题意得,350(1+x) 2 = 504,
19.解:(1)在 19≤x<22 范围内的数据有 3 个,在 31≤x<
解得 x1 = 0.2= 20%,x2 = -2.2(不符合题意,舍去) .
34 范围内的数据有 2 个,
答:该品牌头盔销售量的月增长率为 20%.
∴ a= 3,b= 2.
(2)设该品牌每个头盔应涨价 m 元.
从小到大排序后,中间的两个数都是 18,故中位数为 18,
由题意得(10+m)(500-20m)= 6 000,
∴ c= 18.
整理得 m2-15m+50= 0,解得 m1 = 5,m2 = 10.
(2)月销售额不低于 22 万元为后面四组数据,即有 3+
∵ 要尽可能让顾客得到实惠,
2+4+2= 11 位营业员获得奖励.
∴ m= 5.
(3)想让一半左右的营业员都能达到销售目标,我认为
答:该品牌每个头盔应涨价 5 元.
月销售额定为 18 万元合适.
(3)设该品牌头盔每个涨价 t 元,利润为 w 元.
理由:∵ 中位数为 18,即大于 18与小于 18的人数一样多,
由题意得 w= (10+ t) (500-20t) = -20t2 +300t+5 000 =
∴ 月销售额定为 18 万元,有一半左右的营业员能达到
( 15 ) 2-20 t- +6 125,销售目标. 2
20.(1)证明:∵ BD∥AC, ∵ -20<0,
模拟试卷参考答案 7 9
∴ t = 15当 = 7. 5 时,月销售利润最大,最大利润为 ∴ BC+CD= 6+9+3 3 =(15+3 3)千米,
2
∴ (15+3 3)÷(3+5)≈2.5(小时) .
6 125 元.
答:大约 2.5 小时后两人能相遇.
答:该品牌头盔每个涨价 7.5 元时,月销售利润最大,最
23.解:(1)如图 1,连接 OC,
大利润是 6 125 元.
22.解:(1)如图 1,过点 A 作 BC 的垂线,与 CB 的延长线交
于点 E.
设 OC=OB= x,则 OF= 6-x,
∵ CD⊥AB,
∴ CF=DF= 1 CD= 2 6,∠CFO= 90°,
2
由题意可知∠BAE= 60°,∠CAE= 75°,
∴ CF2+OF2 =OC2
∴ ∠ABE = 90° -
,
∠BAE = 30°,∠BAC = ∠CAE - ∠BAE
= 15°, 即(2 6)
2+(6-x) 2 = x2,
∴ ∠ACB=∠ABE-∠BAC= 30°-15° = 15°, 解得 x= 5,
∴ ∠BAC=∠ACB, ∴ ☉O 的半径为 5.
∴ AB=BC. (2)如图 2,过点 E 作 EM⊥CD 交 CD 的延长线于点 M,
∵ AB= 4×1.5= 6(千米),
∴ BC= 6 千米,即 B,C 两地间的距离为 6 千米.
(2)如图 2,在(1)的条件下,过点 A 作 CD 的垂线,垂足
为 G.
∵ CD⊥AB,EM⊥CD,
∴ ∠M=∠BFC= 90°.
∵ 四边形 BCDE 是平行四边形,
∴ ED=BC,ED∥BC,
∴ ∠EDM=∠BCF,
由题意得 AE=CG,AG=CE. ∴ △EDM≌△BCF(AAS),
在 Rt△AEB 中,∠BAE= 60°,AB= 6 千米, ∴ EM=BF= 6,DM=CF= 2 6,
∴ AE=AB·cos 60° = 6× 1 = 3(千米),BE=AB·sin 60° =
2 ∴ CM=CD+DM= 4 6 +2 6 = 6 6,
3 ∴ CE= CM2+EM2 = (6 6) 2+62 = 6 7 .6× =3 3(千米),
2 24.解:(1)根据题意得 A(-6,0),B(6,0),C(0,4),
∴ CG=AE= 3 千米. 设抛物线的解析式为 y=a(x-0) 2+4=ax2+4,
∵ BC= 6 千米,
将 B(6,0)代入,得 a×62+4= 0, 1解得 a= - ,
∴ CE=BE+BC=(3 3 +6)千米, 9
∴ AG=CE=(6+3 3)千米. ∴ 1抛物线的解析式为 y= - x2+4.
9
在 Rt△ADG 中,∠DAG= 90°-45° = 45°,
(2) y= 10 , - 1当 时 得 x2+4= 10,
∴ DG=AG=(6+3 3)千米, 3 9 3
∴ CD=DG+CG= 6+3 3 +3=(9+3 3)千米, 解得 x= - 6或 x= 6,
8 0 模拟试卷参考答案
∴ 6 -(- 6)= 2 6(米),
∴ 可通行船只的最大宽度为 2 6米.
(3)当 x= 3 时,y= - 1 ×32+4= 3,
9
∵ 四边形 ABDF 为平行四边形,
∵ 3-1.2= 1.8<2,
∴ AF∥BC,
∴ 两船不能在桥下顺利交汇. ∴ PQ⊥AF,
25.解:(1)四边形 ABDF 为平行四边形,理由如下: ∴ ∠NPM=∠NQA= 90°.
∵ D,E 分别为 BC 和 AC 的中点, 由(2)知,AC= 8,BC= 10,
∴ DE 是△ABC 的中位线, ∴ AB= BC
2-AC2 = 6,
∴ sin C= 6 = 3 ,cos C= 8 = 4 .
∴ DE∥AB,DE= 1 AB. 10 5 10 5
2 ∵ CN=a,
∵ EF=DE,
∴ NP= 3 a,CP= 4 a,∴ MP= 9-a- 4 a= 9- 9 a.
5 5 5 5
∴ DE= 1 DF,∴ DF=AB,
2 ∵ ∠NPM=∠NQA=∠M′NM= 90°,
∴ ∠M′NQ+∠MNP=∠NMP+∠MNP= 90°,
∴ 四边形 ABDF 为平行四边形.
∴ ∠M′NQ=∠NMP.
(2)①由动点 M,N 分别从点 G,C 同时出发,以相同的速 ∵ M′N=MN,
度向终点 H,A 运动,并且同时到达终点,可得 AC = GH, ∴ △M′NQ≌△NMP(AAS),
CN=GM=a, ∴ NQ=MP= 9- 9 a.
5
∴ AC=AN+CN= b+a= 8,
∵ 1 AB·AC= 1 BC·PQ,即 8×6= 10×PQ,
∴ GH= 8. 2 2
1 ∴ PQ=
24,
∵ BG=CH= GH, 5
8
∴ PQ=QN+NP= 9- 9 a+ 3 a= 24, a= 7解得 ;
∴ BG=CH= 1, 5 5 5 2
∴ BC=BG+GH+CH= 10. 当点 M′落在 AB 上时,如图 2 所示,过点 M 作 MS⊥
AC 于点 S,
②∵ BC= 10,BG= 1,
∴ CG=BC-BG= 9.
∵ CN=GM=a,
∴ CM=CG-GM= 9-a.
∵ AB⊥AC,MN⊥BC, ∴ ∠MSN= 90°.
∴ ∠BAC=∠NMC= 90°. ∵ ∠BAC=∠MSN=∠M′NM= 90°,
∴ ∠M′NA+∠AM′N=∠M′NA+∠MNS= 90°,
∵ ∠C=∠C,
∴ ∠AM′N=∠MNS.
∴ △ABC∽△MNC, ∵ M′N=MN,
BC AC 10 8 ∴ △M′NA≌△NMS(AAS),∴ = ,即 = - ,解得 a
= 5,
CN CM a 9 a ∴ MS=AN= 8-a.
∴ CN= 5. ∵ MS = sin C= 3 ,
MC 5
∵ △MNC∽△ABC, -
∴ 8 a= 3- ,解得 a
= 13 .
∴ MN CN 5 1
9 a 5 2
= = = .
AB BC 10 2
经检验,a= 13是方程的解.
2
(3)当点 M′落在 AF 上时,如图 1 所示,过点 N 作 NP⊥
BC, BC P, AF Q, 综上所述,a
7 13
的值为 或 .
交 于点 交 于点 2 2
模拟试卷参考答案 8 1
颜色完全搭配正确的概率是 ( )
数学 模拟试卷(四) A. 1 B. 1 C. 1 D. 19 6 3 12 14. x+1<5,不等式组
8.如图,在△ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 边 {2x-1≥2 的整数解之和是 .
同学你好! 答题前请认真阅读以下内容: 的中点,BF = 2CF,连接 EF,交 DC 于点 15.如图,一个半径为 10 cm 的定滑轮带动重物上升了 2π cm,
1.全卷共 6 页,三个大题,共 25 题。 满分 150 分,考试时长 M,若 DC= 10,则 MC 的长为 ( ) 假设绳索与滑轮之间没有滑动,则滑轮上某一点 P 旋转了
120 分钟。 考试形式为闭卷。 A.3 B.4 度.
2.请在答题卡相应位置作答,在试题卷上答题不计分。 10
3.不能使用计算器。 C.4.5 D. 3
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分。 每小题均有 A、B、C、D 四 9.定义:关于 x 的一元二次方程:a (x-m)2+n= 0 与 a (x-m)2+
个选项,其中只有一个选项正确,请用 2B 铅笔在答题卡相 1 2
弥 ) n=0 称为“同族二次方程” .如 2(x-3)
2+4= 0 与 3(x-3) 2+4
应位置填涂
1. , ( ) = 0 就是“同族二次方程” .现有关于 x 的一元二次方程: 下列实数中 是无理数的是 · 2(x-1)
2+1= 0 与(a+2) x2+( b-4) x+8 = 0 是“同族二次方
A. 9 B.π C.22 D.0.0 1 程”,那么代数式 ax
2+bx+2 031 第 15 题图能取的最小值是 ( ) 第 16 题图
3
A.2 026 B.2 023 C.2 028 D.2 025
16.如图,E 是正方形 ABCD 内一点,∠CED= 135°,CE= 5 ,DE
2.若如图是某几何体的平面展开图,则这个 10.如图,已知两条平行线 l1,l2,点 A 是 l1 上的定点,AB⊥l2 于 = 10 ,连接 AE,作 BG⊥AE,垂足为 F,交 AD 于点 G,则 AG
几何体的三视图中一定没有 ( ) 点 B,点 C,D 分别是 l1,l2 上的动点,且满足 AC =BD,连接 的长为 .
A.矩形 CD 交线段 AB 于点 E,BH⊥CD 于点 H,连接 AH,则当 三、解答题(本大题共 9 题,共 98 分。 解答应写出必要的文字
B.圆 ∠BAH 的度数最大时,sin∠BAH 的值为 ( ) 说明、证明过程或演算步骤)
C.三角形 1 1 2 17.(本题满分 10 分)
D.正方形 A. B. C. D.
1
-1
2 3 3 4
3.根据国际能源署(IEA)《2025 年全球可再生能源展望报告》,预 (1)计算:(-1)
8+(3.14-π) 0- 1 ÷ + | - 4 | -2cos 30°;
è 2
计 2025 年全球太阳能发电总装机容量将达到 3 850 000 000 千 x+1 1+x2
封 瓦.将 3 850 000 000 用科学记数法表示为 ( ) (2)先化简,再求值: ÷ x- ÷ ,其中 x= 3 +1.x è 2x
A.38.5
×109 B.0.385×1010
C.3.85×10
8 D.3.85×109
4.某校九年级(1)班要对某小组 5 名女生一分钟仰卧起坐的
次数进行统计分析,发现数据 36,42,56,5■,48 中第四个 第 10 题图 第 11 题图
数的个位数字被涂污看不清楚了,则下列统计量中与被涂 11.如图,在正方形 ABCD 中,AB= 2 cm,对角线 AC,BD 相交于
污数字无关的是 ( ) 点 O,动点 P 从点 O 出发沿 O→A→B 方向以 2 cm / s 的速 18.(本题满分 10 分)
A.平均数 B.方差 C.中位数 D.众数 度运动,同时点 Q 从点 C 出发沿 C→D 方向以 1 cm / s 的速 小慧查阅资料发现,水的沸点 y(单位:℃)与海拔高度 x
5.如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于点 A(1,0),点 度运动,当点 Q 到达点 D 时,P,Q 同时停止运动.若运动时 (单位:km)近似地满足一次函数关系.下表列出了 x 与 y
B(3,0) .下列结论:①abc<0;②4a+b= 0;③b2-4ac>0;④a-b 间为 x(s),△CPQ 的面积为 y(cm2),则点 P 分别在 OA, 的部分对应数据:
+c>0.正确的个数为 ( ) AB 上运动时,y 与 x 的函数关系分别是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4 海拔高度 x / km 0 1 3 6 9 …线 个 个 个 个 A.均为一次函数 B.一次函数,二次函数
C.均为二次函数 D.二次函数,一次函数 水的沸点 y /℃ 100 94 82 m 46 …
12.如图,在矩形 ABCD 中,AB = 4,AD = 8, (1)m= ;
点 E 在边 AD 上,且 AE= 2.G,P 分别为 (2)求 y 关于 x 的函数解析式;
边 AB,BC 上的动点,将△AEG 沿直线 (3)五一期间,小慧一家从吉林出发到长白山游玩,发现长
GE 翻折得到△EFG,则 PF+PD 的最小 白山山顶的沸点约为 83. 5 ℃,则长白山的高度约为
值是 ( )
m.
第 5 题图 第 6 题图 A.4 B.6 C.8 D.10
6.如图,弦 CD 垂直于☉O 的直径 AB,垂足为 H,且 AB= 20,CD 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
= 16,则 BH 的长是 ( ) 13.如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律,依
A.2 B.3 C.4 D.6 此规律,用含有 a,b 的代数式表示 y,即 y= .
7.一天晚上,小海帮妈妈清洗三个只有颜色不同的有盖茶杯,
7
学 校 班 级 姓 名
19.(本题满分 10 分) 量将减少 20 个,现在既要使月销售利润达到 6 000 元,又要
某商场服装部为了调动营业员的积极性,决定实行目标管 尽可能让顾客得到实惠,那么该品牌每个头盔应涨价多
理,根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励.为了确 少元
定一个适当的月销售目标,商场服装部统计了每位营业员 (3)该品牌头盔每个涨价多少元时,月销售利润最大 最
在某月的销售额(单位:万元),数据如下: 大利润是多少
30,16,14,15,26,15,32,23,17,15,15,28,28,16,19,17,
18,16,13,24,15,28,26,18,19,22,17,16,19,32 (1)求抛物线的解析式;
整理上面的数据,得到下面两个不完整的统计表. 10
频数分布表: (2)已知该拱桥限高 米,要使船只通过此拱桥,求可通行3 弥
组别 一 二 三 四 五 六 七 22.(本题满分 12 分) 船只的最大宽度;
13≤x 16≤x 19≤x 22≤x 25≤x 28≤x 31≤x 国家卫生健康委员会主任在十四届全国人大三次会议民 (3)现有两艘宽都为 3 米,高出水面 2 米的船只,同时到达
销售额 <16 <19 <22 <25 <28 <31 <34 生主题记者会上提出实施“体重管理年”3 年行动,普及健 该拱桥,因降暴雨,水位上升 1.2 米.请问两船能否在桥下
康生活方式,加强慢性病防治.为响应国家号召,小锦经常
频数 7 9 a 3 2 4 b 顺利交汇.(不考虑两船间的空隙)在闲暇时到离家不远的公园徒步锻炼,如图,小锦从 A 处 封
数据分析表: 出发,以 4 千米 /时的速度向南偏东 60°方向进行徒步锻
平均数 众数 中位数 炼,经过 1.5 小时到达 B 处,已知 C 处在 B 处的正东方向,
20.3 15 c 且在 A 处的南偏东 75°方向.D 处在 A 处的东北方向,在 C 处
请根据以上信息,解答下列问题. 的正北方向.(参考数据: 2≈1.41, 3≈1.73, 6≈2.45) 线
(1)填空:a= ,b= ,c= ; (1)求 B,C 两地间的距离; 25.(本题满分 12 分)
(2)若将月销售额不低于 22 万元确定为销售目标,则有 (2)到达 B 处后,小锦休息一会儿,然后继 问题情境:如图 1,在△ABC 中,AB⊥AC,D,E 分别为 BC 和
位营业员可以获得奖励; 续以 3 千米 /时的速度沿 B→C→D 赶往 D AC 的中点,延长 DE 至点 F,使 EF=DE,连接 AF,在线段 BC
(3)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标,你认为 处,同时在 D 处的小霖以 5 千米 /时的速度 1
沿 D→C→B 前进,请计算说明多久后两人 上取点 G 和 H,使得 BG=CH= GH,动点 M,N 分别从点 G, 内月销售额定为多少合适 说明理由. 8
能相遇(结果精确到 0.1 小时) . C 同时出发,以相同的速度向终点 H,A 运动,并且同时到达
终点,连接 MN,设 GM=a,AN=b,且 a 与 b 满足 a+b=8.
不
20.(本题满分 10 分)
如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,过点 B 作 AC 的平行线
BD,使得 BD=AB,连接 AD 交 BC 于 E,过点 B 作 AD 的垂 23.(本题满分 12 分)
线分别交 AD,AC 于点 F,G,连接 DG. 如图,已知 AB 是☉O 的直径,弦 CD⊥AB 于 F,连接 BC,以
(1)求证:四边形 ABDG 是菱形; BC,CD 为邻边作平行四边形 BCDE,连接 CE,交 AB 于点
要
(2)当 EF = 2,DF = 2BF 时,求 AF G,若 BF= 6,CD= 4 6 .
与 AC 的长. (1)求☉O 的半径;
(2)求 CE 的长.
答
猜想证明:(1)判断四边形 ABDF 的形状,并说明理由.
问题拓展:(2)①BC 的长为 ;
② MN如图 2,当 MN⊥BC 时,求 的值.
21.(本题满分 10 分) 24.(本题满分 12 分) AB
“骑车戴头盔,放心平安归” .越来越多的人上下班会选择 如图 1,有一座拱桥,已知桥洞的拱形呈抛物线型.如图 2,
题
深入探究:(3)在运动的过程中,将 MN 绕点 N 顺时针旋转
骑行电动车,佩戴头盔更能保证大家的行车安全.某商店统 当水面宽 AB 为 12 米时,桥洞顶部离水面高 OC 为 4 米.如 90°得到线段 M′N,当点 M′落在平行四边形 ABDF 的边上
计了某品牌头盔的销售量,四月份售出 350 个,六月份售 图 3 所示建立平面直角坐标系. 时,请直接写出 a 的值.
出 504 个,且从四月份到六月份月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率;
(2)经市场调研发现,此种品牌头盔如果每个盈利 10 元,月
销售量为 500 个,若在此基础上每个每涨价 1 元,则月销售
8
∴ ∠DBF=∠AGF,∠BDF=∠GAF.
2026 年初中学业水平考试(中考)
∵ BG⊥AD,AB=BD,
数学 模拟试卷(四) ∴ AF=DF,
1.B 2.C 3.D 4.C 5.D 6.C 7.B 8.B 9.A 10.B ∴ △AFG≌△DFB,
11.D 12.C ∴ FG=BF,
∴ 四边形 ABDG 是平行四边形.
13.b(a+2) 14.5 15.36 16.15
4 ∵ BD=AB,
∴ 四边形 ABDG 是菱形.
17.解:(1)原式= 1+1-2+2-2× 3 = 2- .
2 3 (2)解:∵ DF= 2BF,
(2) x
+1 ( 1+x2 2÷ - ) = x+1 ÷ ( 2x +-1 x2 = x+1 ÷ x2-1 = ∴ 设 BF= x,则 AF=DF= 2x,x x 2x x 2x 2x ) x 2x
x+1 2x 在 Rt△BFD 中,BD= BF
2+DF2 = 5 x.
· = 2 .
x (x+1)(x-1) x-1 ∵ ∠AFB=∠ABC= 90°,
= + ∴ ∠BAF
=∠FBE= 90°-∠ABF,
当 x 3 1 时, =
2 = 2 = 2 = 2 3原式 - .x 1 3 +1-1 3 3 ∴ tan∠BAF= tan∠FBE,
18.解:(1)由题意,结合表格数据可得,当海拔每增加 1 km
∴ BF=EF,
时,水的沸点降低 6 ℃, AF BF
2 2
∴ 当 x= 6 时,y=m= 100-6×6= 64(℃) . ∴ BF =AF·EF,即 x = 2x·2,
(2)由题意,设 y= kx+b, 解得 x1 = 4,x2 = 0(舍去),
又结合表格数据,图象过(0,100),(1,94), ∴ BF= 4,AF=DF= 2×4= 8,BD= 4 5,
{b= 100, {k= -6, ∴ AE=AF+EF= 10,DE=DF-EF= 6.∴ ∴k+b= 94, b= 100. ∵ BD∥AC,
∴ y= -6x+100. ∴ △CAE∽△BDE,
(3)∵ 长白山山顶的沸点约为 83.5 ℃, ∴ AC = AE = 10 = 5 ,
BD DE 6 3
∴ y= 83.5= -6x+100,
∴ x= 2.75, ∴ AC= 5 BD= 20 5 .
3 3
2.75 km= 2 750 m.
21.解:(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 x,
答:长白山的高度约为 2 750 m.
由题意得,350(1+x) 2 = 504,
19.解:(1)在 19≤x<22 范围内的数据有 3 个,在 31≤x<
解得 x1 = 0.2= 20%,x2 = -2.2(不符合题意,舍去) .
34 范围内的数据有 2 个,
答:该品牌头盔销售量的月增长率为 20%.
∴ a= 3,b= 2.
(2)设该品牌每个头盔应涨价 m 元.
从小到大排序后,中间的两个数都是 18,故中位数为 18,
由题意得(10+m)(500-20m)= 6 000,
∴ c= 18.
整理得 m2-15m+50= 0,解得 m1 = 5,m2 = 10.
(2)月销售额不低于 22 万元为后面四组数据,即有 3+
∵ 要尽可能让顾客得到实惠,
2+4+2= 11 位营业员获得奖励.
∴ m= 5.
(3)想让一半左右的营业员都能达到销售目标,我认为
答:该品牌每个头盔应涨价 5 元.
月销售额定为 18 万元合适.
(3)设该品牌头盔每个涨价 t 元,利润为 w 元.
理由:∵ 中位数为 18,即大于 18与小于 18的人数一样多,
由题意得 w= (10+ t) (500-20t) = -20t2 +300t+5 000 =
∴ 月销售额定为 18 万元,有一半左右的营业员能达到
( 15 ) 2-20 t- +6 125,销售目标. 2
20.(1)证明:∵ BD∥AC, ∵ -20<0,
模拟试卷参考答案 7 9
∴ t = 15当 = 7. 5 时,月销售利润最大,最大利润为 ∴ BC+CD= 6+9+3 3 =(15+3 3)千米,
2
∴ (15+3 3)÷(3+5)≈2.5(小时) .
6 125 元.
答:大约 2.5 小时后两人能相遇.
答:该品牌头盔每个涨价 7.5 元时,月销售利润最大,最
23.解:(1)如图 1,连接 OC,
大利润是 6 125 元.
22.解:(1)如图 1,过点 A 作 BC 的垂线,与 CB 的延长线交
于点 E.
设 OC=OB= x,则 OF= 6-x,
∵ CD⊥AB,
∴ CF=DF= 1 CD= 2 6,∠CFO= 90°,
2
由题意可知∠BAE= 60°,∠CAE= 75°,
∴ CF2+OF2 =OC2
∴ ∠ABE = 90° -
,
∠BAE = 30°,∠BAC = ∠CAE - ∠BAE
= 15°, 即(2 6)
2+(6-x) 2 = x2,
∴ ∠ACB=∠ABE-∠BAC= 30°-15° = 15°, 解得 x= 5,
∴ ∠BAC=∠ACB, ∴ ☉O 的半径为 5.
∴ AB=BC. (2)如图 2,过点 E 作 EM⊥CD 交 CD 的延长线于点 M,
∵ AB= 4×1.5= 6(千米),
∴ BC= 6 千米,即 B,C 两地间的距离为 6 千米.
(2)如图 2,在(1)的条件下,过点 A 作 CD 的垂线,垂足
为 G.
∵ CD⊥AB,EM⊥CD,
∴ ∠M=∠BFC= 90°.
∵ 四边形 BCDE 是平行四边形,
∴ ED=BC,ED∥BC,
∴ ∠EDM=∠BCF,
由题意得 AE=CG,AG=CE. ∴ △EDM≌△BCF(AAS),
在 Rt△AEB 中,∠BAE= 60°,AB= 6 千米, ∴ EM=BF= 6,DM=CF= 2 6,
∴ AE=AB·cos 60° = 6× 1 = 3(千米),BE=AB·sin 60° =
2 ∴ CM=CD+DM= 4 6 +2 6 = 6 6,
3 ∴ CE= CM2+EM2 = (6 6) 2+62 = 6 7 .6× =3 3(千米),
2 24.解:(1)根据题意得 A(-6,0),B(6,0),C(0,4),
∴ CG=AE= 3 千米. 设抛物线的解析式为 y=a(x-0) 2+4=ax2+4,
∵ BC= 6 千米,
将 B(6,0)代入,得 a×62+4= 0, 1解得 a= - ,
∴ CE=BE+BC=(3 3 +6)千米, 9
∴ AG=CE=(6+3 3)千米. ∴ 1抛物线的解析式为 y= - x2+4.
9
在 Rt△ADG 中,∠DAG= 90°-45° = 45°,
(2) y= 10 , - 1当 时 得 x2+4= 10,
∴ DG=AG=(6+3 3)千米, 3 9 3
∴ CD=DG+CG= 6+3 3 +3=(9+3 3)千米, 解得 x= - 6或 x= 6,
8 0 模拟试卷参考答案
∴ 6 -(- 6)= 2 6(米),
∴ 可通行船只的最大宽度为 2 6米.
(3)当 x= 3 时,y= - 1 ×32+4= 3,
9
∵ 四边形 ABDF 为平行四边形,
∵ 3-1.2= 1.8<2,
∴ AF∥BC,
∴ 两船不能在桥下顺利交汇. ∴ PQ⊥AF,
25.解:(1)四边形 ABDF 为平行四边形,理由如下: ∴ ∠NPM=∠NQA= 90°.
∵ D,E 分别为 BC 和 AC 的中点, 由(2)知,AC= 8,BC= 10,
∴ DE 是△ABC 的中位线, ∴ AB= BC
2-AC2 = 6,
∴ sin C= 6 = 3 ,cos C= 8 = 4 .
∴ DE∥AB,DE= 1 AB. 10 5 10 5
2 ∵ CN=a,
∵ EF=DE,
∴ NP= 3 a,CP= 4 a,∴ MP= 9-a- 4 a= 9- 9 a.
5 5 5 5
∴ DE= 1 DF,∴ DF=AB,
2 ∵ ∠NPM=∠NQA=∠M′NM= 90°,
∴ ∠M′NQ+∠MNP=∠NMP+∠MNP= 90°,
∴ 四边形 ABDF 为平行四边形.
∴ ∠M′NQ=∠NMP.
(2)①由动点 M,N 分别从点 G,C 同时出发,以相同的速 ∵ M′N=MN,
度向终点 H,A 运动,并且同时到达终点,可得 AC = GH, ∴ △M′NQ≌△NMP(AAS),
CN=GM=a, ∴ NQ=MP= 9- 9 a.
5
∴ AC=AN+CN= b+a= 8,
∵ 1 AB·AC= 1 BC·PQ,即 8×6= 10×PQ,
∴ GH= 8. 2 2
1 ∴ PQ=
24,
∵ BG=CH= GH, 5
8
∴ PQ=QN+NP= 9- 9 a+ 3 a= 24, a= 7解得 ;
∴ BG=CH= 1, 5 5 5 2
∴ BC=BG+GH+CH= 10. 当点 M′落在 AB 上时,如图 2 所示,过点 M 作 MS⊥
AC 于点 S,
②∵ BC= 10,BG= 1,
∴ CG=BC-BG= 9.
∵ CN=GM=a,
∴ CM=CG-GM= 9-a.
∵ AB⊥AC,MN⊥BC, ∴ ∠MSN= 90°.
∴ ∠BAC=∠NMC= 90°. ∵ ∠BAC=∠MSN=∠M′NM= 90°,
∴ ∠M′NA+∠AM′N=∠M′NA+∠MNS= 90°,
∵ ∠C=∠C,
∴ ∠AM′N=∠MNS.
∴ △ABC∽△MNC, ∵ M′N=MN,
BC AC 10 8 ∴ △M′NA≌△NMS(AAS),∴ = ,即 = - ,解得 a
= 5,
CN CM a 9 a ∴ MS=AN= 8-a.
∴ CN= 5. ∵ MS = sin C= 3 ,
MC 5
∵ △MNC∽△ABC, -
∴ 8 a= 3- ,解得 a
= 13 .
∴ MN CN 5 1
9 a 5 2
= = = .
AB BC 10 2
经检验,a= 13是方程的解.
2
(3)当点 M′落在 AF 上时,如图 1 所示,过点 N 作 NP⊥
BC, BC P, AF Q, 综上所述,a
7 13
的值为 或 .
交 于点 交 于点 2 2
模拟试卷参考答案 8 1
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