2026中考数学学业水平考试卷（二）

2026 年初中学业水平考试(中考) 9.一次函数 y1 =mx+n 与 y2 = -x+a 的图象如图所示,则-x+a≥ 16.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,AD= 2,点 E,F 为边 AB 上的
mx+n 的解集为 (　 　 ) 动点且 EF= 1,则四边形 DEFC 周长的最小值是　 　 　 　 .
数学　 模拟试卷(二) A.x≤3 B.x≥3 C.x<3 D.x>2 三、解答题(本大题共 9 题,共 98 分。 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分 12 分)
同学你好! 答题前请认真阅读以下内容: (1) 25 + 3 -27 - (-3) 2 ;
1.全卷共 6 页,三个大题,共 25 题。 满分 150 分,考试时长
120 分钟。 考试形式为闭卷。 (2)
1
先化简,再求值:(2x+y)2-y(2x+y)-4x2,其中 x = ,y =
2. 2请在答题卡相应位置作答,在试题卷上答题不计分。
3. 。 2 025.不能使用计算器 　 　 　
第 9 题图 第 10 题图
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分。 每小题均有 A、B、C、D 四
, 10.如图 1,这是某罐装柠檬茶饮料的实物图,瓶身是圆柱体,个选项 其中只有一个选项正确,请用 2B 铅笔在答题卡相
　 ) 其横截面是直径为 8 cm 的圆,瓶身侧面贴有“柠檬茶”字　 弥 应位置填涂
　 1.在-2 025,0,-π ,2 026 这四个数中,
样的广告.如图 2,广告贴的横截面是该圆的圆周角为 75°
绝对值最小的数是 所对应的弧,则带有“柠檬茶”字样的广告贴的横截面的弧
　 ( 　 　 )
　 - 长为 (　 　 )A. 2 025 B.0 C.-π D.2 026
　 10π 8π 7π 18.(本题满分 10 分)
　 2.如图,已知∠AOB = 28°,∠AOC = 90°,点 A. cm B. cm C. cm D.3π cm3 3 2 如图,一次函数 y1 =ax+b(a,b 为常数,a≠0)与反比例函数
　 B,O,D 在同一条直线上,则∠COD 的度
(　 　 ) 11.如图,在平行四边形 ABCD 中,DE 平分∠ADC 交 BC 边于　 数为 =
k
点 E,已知 BE= =
y2 (x>0)的图象相交于 A(4,1),B(1,4)两点,点 P 在3 cm,AB 7 cm,则 AD 的长度是 (　 　 ) x
A.108° B.118° A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm 线段 AB 上,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,交反比例函
C.122° D.62° 数的图象于点 N,点 P 的横坐标为 2.
3.下列计算正确的是 (　 　 )
A.(ab2) 2 =ab4 B.a4·a6 24
(1)求△PON 的面积;
=a -
C.2a2÷a= 2a D.(a+b) 2 =a2 2
(2)当 y y <0 时,直接写出 x 的取值范围.
+b 1 2
4.若关于 x 的方程 2x-a-5=0 的解是 x=-2,则 a 的值为 (　 　 )
封 A.-9 B.1 C.-1 D.9
　 5.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币,则两次朝向相同的 　 　 　
(　 　 ) 第 11 题图 第 12 题图　 概率是
　 1 1 1 3 12.如图 1,在面积为 4 的正方形 ABCD 中,点 E 为 AB 边的中
　 A. B. C. D. 点,动点 F 从点 D 出发,在正方形的边上沿 D→C→B 匀速
　 4 3 2 4 运动,运动到点 B 时停止.设点 F 的运动路程为 x,线段 EF
　 6.已知点 A′是点 A(-2,-3)关于 x 轴对称的对称点,则点 A′所 的长为 y,y 与 x 的函数图象如图 2 所示,则点 P 的坐标为 19.(本题满分 10 分)
　 在的象限是 (　 　 ) ( 　 　 ) 某影评网站为了解 2025 年春节档(1 月 28 日至 2 月 4 日)
　 A.第一象限 B.第二象限
　 C. D. A.(2, 3 )　 B.(2,2) C.( 3 ,2)　 D.(2, 5 )
观众对 A,B 两部电影的评价情况,随机各抽取了 100 名观
第三象限 第四象限
7. 《 》 , 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
众进行问卷调查,获得了每位观众对所观看电影的评分数
电影 哪吒之魔童闹海 的热映 推动了我国国产动画电影 据,并对数据进行整理、描述和分析,绘制了如下的统
2
发展,提升了中国文化影响力.对下列哪吒图片的变换顺序 13.计算: (-6) = 　 　 　 　 . 计图:
线 描述正确的是 (　 　 ) 14.如图,已知 AB 为☉O 的直径,BC 和☉O 相切于点 B,AB= 6,
BC = 4,连接 CO 并延长交☉O 于点 D,则 AD 的长为
　 　 　 　 .
A.轴对称,平移,旋转 B.旋转,轴对称,平移
C.轴对称,旋转,平移 D.平移,旋转,轴对称
8.学校准备购买一款校服,对全校同学喜欢的颜色进行了问
卷调查,统计结果如表所示:
颜色 白色 红色 蓝色 　 　 　 　
第 14 题图 第 16 题图 (注:评分数据记为 x,满分 10 分,数据分为五组:“一星:0≤
学生人数 100 820 180
15. 1已知关于 x 的一元二次方程 x2+(m-2) x+m2 = 0,若其根 x<6”,“二星:6≤x<7”,“三星:7≤x<8”,“四星:8≤x<9”,
学校最终决定购买红色校服,其参考的统计量是 (　 　 ) 2 “五星:9≤x≤10” .评分不低于“四星”为好评)
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 的判别式的值为 8,则 m 的值是　 　 　 　 . (1)写出统计图中 m,n 的值;
3　
学　 校 班　 级 姓　 名



(2) 扇形统计图中, “四星” 所在扇形的圆心角度数为 3≈1.7, 2≈1.4) 直线x= 1交于点 N,连接 FP,PN,∠FPN= 120°.探究新抛物
　 　 　 　 °; 线与 x 轴是否存在两个不同的交点.若存在,求出这两个交
(3)①记电影 A,B 的好评率分别为 xA,xB,则 xA 　 　 xB(填 点之间的距离;若不存在,请说明理由.
“>”“ =”或“<”);
②若该网站分别有 5 万人和 4 万人参与了对电影 A,B 的
评分调查,估计评分为好评的一共有　 　 　 　 万人.
弥
23.(本题满分 12 分)
20.(本题满分 10 分) 如图,△ABC 内接于☉O,AB 是☉O 的直径,D 为☉O 上一 25.(本题满分 12 分)
如图,在△ABC 中,∠ABC = 90°,BD 是△ABC 的中线,点 F 封点,连接 CD,AD,E 为 CD 上一点,且∠DAB=∠EAC. 在数学综合实践课上,李老师要求同学们以正方形的折叠与
是 BD 的中点,连接 CF 并延长到点 E,使得 FE =CF,连接 某些线段的折叠为例探究图形间存在的关系.如图,点 E 在
BE,AE. 正方形 ABCD 的边 BC 上运动,连接 DE,把△CDE 沿 DE 所
(1)求证:四边形 AEBD 是菱形; 在直线折叠,点 C 落在点 C′处,连接 AC′并延长与 DE 的延
(2)若 BC= 8,BE= 5,求△AEC 的面积. 长线交于点 P,沿 DF 所在直线折叠使得点 A 与点 C′重合, 线
点 F 在 AC′上.
(1)如图 1,求证:AE⊥DC;
(2)如图 2,连接 BD,在 BA 的延长线上取一点 F,使 DF = 内
DC,∠FDA+∠BAC= 90°,求证:CD=BD;
(3)在(2)的条件下,如图 3,延长 AE 交 BD 于点 H,DH=2BH,
21.(本题满分 10 分) BC=2 5,求△DAC 的面积.
某长跑俱乐部的营养师需要用甲、乙两种原料为运动员配 (1)如图 1,∠FDP 的度数不变,请你求出该角的度数;
置功能饮料, 已知每克甲种原料比每克乙种原料贵 (2)如图 2,连接 BP,发现三条线段 AP,BP,DP 之间存在 不
0.05 元,且用 20 元购买的甲种原料与用 18 元购买的乙种 一定的数量关系,请证明你的发现;
原料一样多.已知每克甲种原料含 0.6 单位的钠元素,每克 (3)如图 3,连接 AC,CC′,若正方形 ABCD 的边长为 4,请直
乙种原料含 0.4 单位的钠元素. 接写出△ACC′面积的最大值.
(1)求购买甲、乙两种原料的单价;
(2)若购买甲、乙两种原料共 30 克,在钠元素总含量不低 要
于 16 单位的情况下,如何选购原料才能使得费用最低
最低费用是多少元 24.(本题满分 12 分)
如图,O 是坐标原点,已知抛物线 y= -x2+bx+c 与 x 轴交于
A,B 两点,与 y 轴交于 C 点,其中 A(3,0),C(0,3) . 答
题
22.(本题满分 10 分)
如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图,已知底座 BC =
0.6 米,底座 BC 与支架 AC 所成的角∠ACB=75°,支架 AF 的 (1)求 b,c 的值;
长为 2.6 米,篮板顶端 F 点到篮筐 D 的距离 FD= 1.4 米,篮 (2)点 D 为抛物线上第一象限内一点,连接 BD,与直线 AC
板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角∠FHE=60°,与篮板 EF 交于点 E,若 DE ∶ BE= 1 ∶ 2,求点 D 的坐标;
的夹角∠HEF= 90°,求篮筐 D 到地面的距离.(结果精确到 (3)若点 F 为抛物线的顶点,平移抛物线使得新顶点为
0.1 米.参考数据:cos 75°≈0.3,sin 75°≈1.0,tan 75°≈3.7, 点 P(m,n)(m>1),若点 P 又在原抛物线上,新抛物线与
4　



∴ △CDF≌△EBF(SAS),
2026 年初中学业水平考试(中考)
∴ CD=BE,∠FCD=∠FEB,
数学　 模拟试卷(二) ∴ BE∥CD,
1.B　 2.B　 3.C　 4.A　 5.C　 6.B　 7.A　 8.C　 9.A　 10.A　 ∵ ∠ABC= 90°,BD 是△ABC 的中线,
11.D　 12.D ∴ BD= 1 AC=AD=CD,
2
13.6　 14.6 5 　 15.-2　 16.4+2 5
5 ∴ BE=CD=AD,
17. :(1) ∴ 四边形 AEBD 是平行四边形,解 原式= 5+(-3)-3
= -1; 又∵ BD=AD,
(2) = 4x2+4xy+y2-2xy-y2-4x2 ∴ 四边形 AEBD 是菱形;原式
= 2xy, (2)解:如图,连接 ED,
1 ∵ BE∥CD,CD
=BE,
当 x= ,y= 2 025 时,
2 ∴ 四边形 BCDE 是平行四边形,
1 ∴ DE∥BC,DE=BC= 8,
原式= 2× ×2 025= 2 025.
2 ∵ AD=BE= 5,BD 是△ABC 的中线,
18.解:(1) ∵ 一次函数 y1 = ax+b 的图象过点 A(4,1),B(1, ∴ AC= 2AD= 10,
4)两点, 又∵ ∠ABC= 90°,BC= 8,
{4a+b= 1, a= -1, 2∴ 解得{ ∴ AB= AC -BC2 = 102-82 = 6,a+b= 4, b= 5, ∵ 由(1)知四边形 AEBD 是菱形,
∴ 一次函数的解析式为 y1 = -x+5,
k ∴
1
菱形 AEBD 的面积= AB·DE= 1 ×6×8= 24,
∵ 反比例函数 y2 = 的图象过点 A(4,1),
2 2
x ∵ DE∥BC,
∴ k= 4×1= 4, ∴ S△EBC =S△DBC,
∴ 4反比例函数的解析式为 y2 = , ∵ Sx △AEC
+S△EBC =S菱形AEBD+S△BDC,
∴ S
4 △AEC
=S菱形AEBD = 24.
当 x= 2 时,y1 = -2+5= 3, y2 = = 2,2
∴ P(2,3),N(2,2),
∴ PN= 1,
∴ S 1△PON = PN·CM=
1 ×1×2= 1;
2 2 21.解:(1)设购买甲种原料的单价为 x 元 /克,则购买乙种
(2)04. 原料的单价为(x-0.05)元 /克.
19.解:(1)m= 100-4-4-8-30= 54, 20 18
由题意,可得 = ,
n% = 1-8% -7% -5% -60% = 20% , x x-0.05
∴ n= 20; 解得 x= 0.5.
(2)扇形统计图中,“四星”所在扇形的圆心角度数为 经检验,x= 0.5 为分式方程的解,且符合题意,
360°×20% = 72°; 0.5-0.05= 0.45(元 /克) .
30+54 答:购买甲种原料的单价为 0.5 元 /克,购买乙种原料的(3)①根据题意,得 xA = ×100% = 84% ,xB = 20% +100 单价为 0.45 元 /克;
60% = 80% , (2)设购买甲种原料 m 克,则购买乙种原料(30-m)克.
∵ 84% >80% , 由题意,得 0.6m+0.4(30-m)≥16,解得 m≥20,
∴ xA>xB; 设费用为 W 元.
②5×84% +4×80% = 7.4(万人), 由题意,可得 W= 0.5m+0.45(30-m)= 0.05m+13.5,
即估计评分为好评的一共有 7.4 万人. ∵ 0.05>0,
20.(1)证明:∵ 点 F 是 BD 的中点, ∴ W 随 m 的增大而增大,
∴ DF=BF, ∴ 当 m取最小值 20 时,W 有最小值,最小值为 0.05×20+
又∵ CF=EF,∠CFD=∠EFB, 13.5=14.5,
7　2 　 模拟试卷参考答案

∴ 30-20= 10(克) .
答:当购买甲种原料 20 克,乙种原料 10 克时,才能使得
费用最低,最低费用为 14.5 元.
22.解:如图,延长 FE 交射线 CB 于点 M,过点
A 作 AN⊥FM 于点 N,
∴ HE∥BF,
由题意,得在 Rt△ABC 中,tan∠ACB= AB, =
BC ∵ DH 2BH,
∴ AB=BC·tan∠ACB≈0.6×3.7=2.22(米), ∴ DH=DE= 2,
HB EF
∵ AB⊥CB,NM⊥CB,AN⊥NM,
∵ AH∥OR∥BF,
∴ 四边形 ABMN 是矩形,
AO ER
∴ NM=AB= 2.22(米) . ∴ = = 1,BO RF
∵ ∠HEF= 90°,AN⊥FM,则 HE∥AN, 设 ER=RF=a,根据垂径定理可得 DR=RC,
∴ ∠FAN=∠FHE= 60°. ∴ DE=CF= 4a,
Rt△FAN ,FN=AF·sin∠FAN= 2.6× 3
= =
≈1.3×1.7 = ∴ DC DB 10a,在 中
2
∴ DH= 202.21(米), a,3
∴ DM=FN+NM-FD=2.21+2.22-1.4= 3.03≈3.0(米),
∴ EH= DH2-
16
DE2 = a,
∴ 篮框 D 到地面的距离约为 3.0 米. 3
23.(1)证明:∵ AB 是☉O 的直径, ∴ tan∠DHE=DE= 3 ,
EH 4
∴ ∠ACB= 90°,
∵ ∠ADE= 90°-∠HDE=∠DHE,
∴ ∠B+∠BAC= 90°,
3
∵ ∠DAB=∠EAC, ∴ tan∠ADE= ,4
∴ ∠DAB-∠EAB=∠EAC-∠EAB, ∴ AE= 3a,
∴ ∠DAE=∠BAC,
又∵ ∠D=∠B, ∴ S
1
△DAC = AE·DC=
1 ×3a×10a= 15a2,
2 2
∴ ∠D+∠DAE= 90°, ∵ EH∥BF,
∴ ∠AED= 90°, ∴ △DEH∽△DFB,
∴ AE⊥DC;
∴ DH=EH,
(2)证明:∵ ∠FDA+∠BAC= 90°,∠ABC+∠BAC= 90°, DB FB
∴ ∠FDA=∠ABC, 20 16
3 a 3 a
∵ AC=AC, 即 = ,10a BF
∴ ∠ABC=∠CDA, ∴ BF= 8a,
∴ ∠FDA=∠CDA, ∴ BC= BF2+CF2 = 4 5a,
又∵ DF=DC,AD=AD,
又∵ BC= 2 5,
∴ △FAD≌△CAD(SAS),
1
∴ ∠F=∠DCA, ∴ a= ,2
∵ AD=AD, 2∴ S 1 15△DAC = 15× ( ) = .
∴ ∠DBA=∠DCA, 2 4
∴ ∠F=∠DBA, 24.解:(1)依题意,分别把 A(3,0),C(0,3)代入 y = -x
2 +
∴ DF=DB, bx+c,
∴ CD=BD; {0= -9+3b+c, b= 2,得 解得{
(3)解:如图,过点 B 作 BF⊥CD 于点 F,过点 O 作 OR⊥ 3= c, c= 3;
CD 于点 R. (2)由(1)得 b= 2,c= 3,
则 y= -x2+2x+3,C(0,3),
令 y= 0,则-x2+2x+3= 0,
∴ x1 = 3,x2 = -1,
模拟试卷参考答案　 7　3

( (
( (
故 B(-1,0), 合题意的.
如图 1 所示,分别过点 E,D 作 EN⊥OA 于点 N,DM⊥ 当 m= 1 时,则 5-3m= 5-3= 2,3m= 3,此时 D(2,3),
OA 于点 M,
当 m= 4 时,则 5 - 3m = 5- 4 = 1,3m = 3× 4 = 4,此时
3 3
D(1,4),
综上所述,点 D 的坐标为(2,3)或(1,4);
(3)存在.
由(2)得 y= -x2+2x+3,
图 1
整理,得 y= -x2+2x+3= -(x-1) 2+4,
∴ ∠DMB=∠ENB= 90°, ∵ 点 F 为抛物线的顶点,
又∵ ∠DBM=∠EBN, ∴ 点 F 的坐标为(1,4),
∴ △DMB∽△ENB,
如图 2 所示.
∴ DM=BD,
EN BE
∵ DE ∶ BE= 1 ∶ 2,
∴ DB ∶ BE= 3 ∶ 2,
∴ DM= 3 ,
EN 2
图 2
设点 E 的纵坐标为 2m,则点 D 的纵坐标为 3m,
由题意,得平移后的抛物线的解析式为 y= -(x-m) 2+n,
设 AC 的解析式为 y= kx+r(k≠0),
把 x= 1 代入 y= -(x-m) 2+n,
∵ C(0,3),A(3,0),
得 y = -(1-m) 2+n,
{3= r, {r=
N
3,
∴ 解得 ∵ 点 P(m,n)在 y= -(x-1) 2+4 上,
0= 3k+r, k= -1,
∴ n= -(m-1) 2+4,
∴ AC 的解析式为 y= -x+3,
∴ (m-1) 2 = 4-n,
把 y= 2m 代入 y= -x+3,
∴ yN = -(1-m) 2+n= -4+n+n= - += - + 4 2n,得 2m x 3,
- +
∴ x= -
∴ N(1, 4 2n),
3 2m,
∴ E(3-2m,2m), ∵ 点 P(m,n),N(1,
-4+2n),F(1,4),
BE y= tx+q( t≠0), ∴ PF
2 = (m- 1) 2 +( n- 4) 2,PN2 = (m- 1) 2 +[ n-( - 4+
设 的解析式为
E(3-2m,2m),B(-1,0) y= tx+q, 2n)]
2 =(m-1) 2+(n-4) 2,
把 分别代入
m ∴ PF
2 =PN2,
ì
= - ={2m t(3 2m)+q,
t
2-m
, 即 PF=PN,
得 解得
0= -t+q, í m ∴ △PFN 是等腰三角形, q= 2-m
,
过点 P 作 PH⊥FN 于点 H,
∴ BE 的解析式为 y= m x+ m = m (x+1), ∵ ∠FPN= 120°,
2-m 2-m 2-m
∴ ∠FPH= 1m ×120° = 60°,
依题意,把 y= 3m 代入 y= (x+ 2
2-
1),
m
m 则 tan∠FPH=
-
tan 60° =FH= 4 n =- 3,得 3m= - (x
+1), HP m 1
2 m
- =
x= 5-3m, ∴ 4 n 3(m
-1),
则
即点 D(5-3m,3m), 令 t=m-1,
∵ 点 D 为抛物线 y= -x2+2x+3 上第一象限内一点, ∴ 4-n= 3 t,
∴ 3m= -(5-3m) 2+2(5-3m)+3, 即 n= - 3 t+4,
整理,得 3m2-7m+4= 0, ∵ n= -(m-1) 2+4,
∴ m = 1,m = 4 , ∴ - 3 t+4= -t
2+4,
1 2 3
即 t2- 3 t= 0,m
此时 y= (x+1)中的 2-- m≠0,故 m1
= 1,m2 =
4
是符
2 m 3 ∴ t( t- 3)= 0,
7　4 　 模拟试卷参考答案

∴ t BA=DA,1 = 0,t2 = 3, ì
∴ m-1= 0,或 m-1= 3, í∠BAP=∠DAP′,
AP=AP′,∴ m= 1(舍去)或 m= 3 +1,
∴ △BAP≌△DAP′(SAS),
∴ P(1+ 3,1), ∴ BP=DP′,
∴ 平移后的抛物线解析式为 y= -(x-1- 3) 2+1, ∴ BP+DP=PP′,
令 y= 0,则 0= -(x-1- 3) 2+1, 在 Rt△APP′中,PP′= AP2+AP′2 = AP2+AP2 = 2AP,
∴ (x-1- 3) 2 = 1, ∴ BP+DP= 2AP;
即 x-1- 3 = ±1, (3)由折叠的性质可得 DC=DC′=DA= 4,
∴ x1 = 2+ 3,x2 = 3, ∴ 点 C′在以点 D 为圆心,半径为 4 的圆上运动,如
则 | x1-x2 | = 2+ 3 - 3 = 2, 图 2所示,
∴ 新抛物线与 x 轴存在两个不同的交点,这两个交点之 ∴ 当 点 C′ 在 BD 上 时, △ACC′ 的 面 积 最 大, 此 时
间的距离为 2. C′O⊥AC,
25.解:(1) ∵ 把△CDE 沿 DE 所在直线折叠,点 C 落在点
C′处,
∴ CD=C′D,∠CDE=∠C′DE= 1 ∠CDC′,
2
∵ 四边形 ABCD 图 2是正方形,
∴ AD=CD,∠ADC= 90°, ∵ AD=CD= 4,
∴ AD=C′D, ∴ AC= 4 2,OD= 1 AC= 2 2,
2
∵ 沿 DF 所在直线折叠使得点 A 与点 C′重合,
∴ C′O=C′D-OD= 4-2 2,
∴ △ADF≌△C′DF,
∴ △ACC′ 1面积的最大值为 AC·OC′ = 1 ×4 2 ×(4-
∴ ∠FDA=∠FDC′= 1 ∠ADC′, 2 2
2
2 2)= 8 2 -8.
∴ ∠FDC′ + ∠C′ DE = 1 ∠ADC′ + 1 ∠CDC′ =
2 2
1 (∠ADC′+∠CDC′)= 1 ∠ADC= 45°,
2 2
∴ ∠FDP 的度数不变且为 45°.
(2)BP+DP= 2AP,证明如下:
如图 1,过点 A 作 AP′⊥AP,交 PD 的延长线于点 P′,
图 1
∴ ∠PAP′= 90°,
在正方形 ABCD 中,DA=BA,∠BAD= 90°,
∴ ∠BAD-∠PAD=∠PAP′-∠PAD,即∠BAP=∠DAP′,
由(1)可知,∠FDP= 45°,∠DFP= 90°,
∴ ∠APD= 90°-∠FDP= 45°,
∴ 在 Rt△APP′中,∠P′= 90°-∠APD= 45°,
∴ ∠P′=∠APP′= 45°,
∴ AP=AP′,
在△BAP 和△DAP′中,
模拟试卷参考答案　 7　5