31.4 用列举法求简单事件的概率 课后培优提升训练（含答案）冀教版2025—2026学年九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 31.4 用列举法求简单事件的概率 课后培优提升训练（含答案）冀教版2025—2026学年九年级数学下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 434.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-03 00:00:00 | ||
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文档简介
31.4用列举法求简单事件的概率课后培优提升训练冀教版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（ ）
A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大
C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断
2．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（ ）
A．连续抛一枚均匀硬币2次，有1次正面朝上是随机事件
B．连续抛一枚均匀硬币10次，10次均正面朝上是不可能事件
C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
3．体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（ ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积）
A． B． C． D．
4．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（ ）种染色方案？
A．13230 B．27000 C．12300 D．14400
6．甲、乙两人用两个骰子做游戏，两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点和一个6点，那么乙赢；如果出现其他情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是（ ）
A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法评价
7．某口袋中有10个球，其中白球有2个，绿球有5个，其余为黑球．从袋中任意摸出1个球，若为绿球，则甲获胜；若为黑球，则乙获胜．为使游戏对甲、乙双方公平，丙放入x个黑球，则x为（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
8．如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解：
甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域；
乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域；
丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样；
丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大．
其中，见解正确的为（ ）．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
9．某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是 ．
10．如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小彤帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机投点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为 ．
11．在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为 次．
12．已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是 ．
三、解答题
13．甲、乙两人用两颗骰子玩游戏．这两颗骰子的一些面标记字母A，而其余的面则标记字母B．两个人轮流掷骰子，游戏规则如下：两颗骰子的顶面字母相同时，甲赢；两颗骰子的顶面字母不同时，乙赢．已知第一颗骰子的6个面的标记为，回答下列问题：
(1)若第二颗骰子各面的标记为，求甲、乙两人获胜的概率各是多少？
(2)若要使两人获胜概率相等，则第二颗骰子要有______个面标记字母A．
14．有两个可以自由转动的均匀转盘，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．规则如下：①分别转动转盘A，B；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘，（若指针停止在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某份为止）．
(1)用列表法（或画树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率；
(2)小明和小亮想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小明得2分；数字之积为5的倍数时，小亮得3分．这个游戏对双方公平吗？若认为公平，请说明理由；若认为不公平，试修改得分规定，使游戏对双方公平．
15．数学活动课上，老师在一个暗箱中放入四个小球，上面分别标注有如下数字，四个小球除标注数字不同外其他完全相同．
(1)小何从暗箱中随机摸取一个小球，摸取小球上的数字是无理数的概率是______．
(2)现在有一张电影票，老师要分享给小何和小楠中的一位，现制定规则如下：先从暗箱中随机摸取一个小球，不放回摇匀后再随机摸取一个小球，若两次摸取的小球上的数字都是无理数，电影票给小何，否则给小楠．这个规则公平吗？请用所学概率知识说明理由．
16．如图，一个均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这几个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字（指向分界线重转）．
(1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向的汉字的笔画数是偶数的概率是____________；
(2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画数不小于8时，小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由．
17．某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题：
(1)若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？
(2)若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？
(3)若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色．
18．某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下．
摸球方案：
在一个不透明的盒子中装入个除颜色外完全一样的小球，其中个黄球，个白球；
从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回．
获奖规则：
若取出的是黄球，则获得奖品；
若取出的是白球，则获得奖品．
(1)求该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是______；“获得奖品”的概率是______；
(2)若从原方案的盒子中取走个黄球和个白球，请利用剩下的个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等．
参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．B
4．D
5．A
6．C
7．D
8．C
二、填空题
9．三等奖
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：(1)如下表所示，列出所有可能出现的结果．
A A B B B B
A
A
A
A
B
B
由上表可知，共有36种等可能性结果．
其中“两颗骰子的顶面字母相同”记为事件M，结果有16种，；
“两颗骰子的顶面字母不同”记为事件N，结果有20种，．
所以甲、乙两人获胜的概率分别是，．
（2）解：若要使两人获胜概率相等，则第二颗骰子要有3个面标记字母A．
如下表所示，此时甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
A A A B B B
A
A
A
A
B
B
故答案为：3．
14．【详解】（1）解：每次游戏可能出现的所有结果列表如下：
转盘B 转盘A 的数字 的数字 4 5 6
1
2
3
由表可知，表格中共有9种等可能的结果，
则数字之积为3的倍数的有5种，其概率为，数字之积为5的倍数的有3种，其概率为．
（2）解：这个游戏对双方不公平，
∵小明平均每次得分为（分），小亮平均每次得分为（分），
由于，
∴游戏对双方不公平，修改得分规定为：
若数字之积为3的倍数，小明得3分；若数字之积为5的倍数，小亮得5分即可．
15．【详解】（1）解：∵，
∴四个小球中，数字是无理数的有、共两个，
即摸取小球上的数字是无理数的概率是．
故答案为：；
（2）解：这个规则不公平，
理由：设四个数字依次为A，B，C，D，画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中两次摸取的小球上的数字都是无理数结果有2种，
∴两次摸取的小球上的数字都是无理数的概率，
∴小何获得电影票的概率，小楠获得电影票的概率．
∵，
∴这个规则不公平．
86．【详解】（1）解：转动转盘，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是 ，
故答案为：；
（2）解：游戏公平．理由如下：
因为笔画数不小于8的汉字有“骄”“傲”“是”“国”，笔画数小于8的汉字有“我”“中”“人”，
所以小明获胜的概率为，小华获胜的概率为．
因为，所以游戏公平．
17．【详解】（1）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会，所以她获得购物券的概率是．
（2）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会．
∵转盘被等分成份，黄色区域占份，白色区域占份，
∴她获得元、元购物券的概率分别是，．
（3）（份），要使指针对准红色区域的概率是，只要使转盘上共有份为红色区域即可．
如图所示：
18．【详解】（1）解：由题意知，共有9种等可能的结果，其中取出的是黄球结果有种，取出的是白球的结果有种，
∴该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”的概率为，“获得奖品B”的概率为，
故答案为：，；
（2）解：新的摸球方案：从袋中剩余的个黄球，个白球中先随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再随机摸取一个小球；
获奖规则：若取出的两个球颜色相同，则获得奖品；若取出的两个球颜色不同，获得奖品，
此时列表如下：
黄 白 白
黄 黄，黄 黄，白 黄，白
白 白，黄 白，白 白，白
白 白，黄 白，白 白，白
共有种等可能的结果，其中取出的两个球颜色相同的结果有种，取出的两个球颜色不同的结果有种，
∴“获得奖品A”的概率，“获得奖品”的概率．
一、选择题
1．小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（ ）
A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大
C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断
2．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（ ）
A．连续抛一枚均匀硬币2次，有1次正面朝上是随机事件
B．连续抛一枚均匀硬币10次，10次均正面朝上是不可能事件
C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
3．体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（ ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积）
A． B． C． D．
4．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（ ）种染色方案？
A．13230 B．27000 C．12300 D．14400
6．甲、乙两人用两个骰子做游戏，两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点和一个6点，那么乙赢；如果出现其他情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是（ ）
A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法评价
7．某口袋中有10个球，其中白球有2个，绿球有5个，其余为黑球．从袋中任意摸出1个球，若为绿球，则甲获胜；若为黑球，则乙获胜．为使游戏对甲、乙双方公平，丙放入x个黑球，则x为（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
8．如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解：
甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域；
乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域；
丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样；
丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大．
其中，见解正确的为（ ）．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
9．某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是 ．
10．如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小彤帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机投点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为 ．
11．在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为 次．
12．已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是 ．
三、解答题
13．甲、乙两人用两颗骰子玩游戏．这两颗骰子的一些面标记字母A，而其余的面则标记字母B．两个人轮流掷骰子，游戏规则如下：两颗骰子的顶面字母相同时，甲赢；两颗骰子的顶面字母不同时，乙赢．已知第一颗骰子的6个面的标记为，回答下列问题：
(1)若第二颗骰子各面的标记为，求甲、乙两人获胜的概率各是多少？
(2)若要使两人获胜概率相等，则第二颗骰子要有______个面标记字母A．
14．有两个可以自由转动的均匀转盘，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．规则如下：①分别转动转盘A，B；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘，（若指针停止在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某份为止）．
(1)用列表法（或画树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率；
(2)小明和小亮想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小明得2分；数字之积为5的倍数时，小亮得3分．这个游戏对双方公平吗？若认为公平，请说明理由；若认为不公平，试修改得分规定，使游戏对双方公平．
15．数学活动课上，老师在一个暗箱中放入四个小球，上面分别标注有如下数字，四个小球除标注数字不同外其他完全相同．
(1)小何从暗箱中随机摸取一个小球，摸取小球上的数字是无理数的概率是______．
(2)现在有一张电影票，老师要分享给小何和小楠中的一位，现制定规则如下：先从暗箱中随机摸取一个小球，不放回摇匀后再随机摸取一个小球，若两次摸取的小球上的数字都是无理数，电影票给小何，否则给小楠．这个规则公平吗？请用所学概率知识说明理由．
16．如图，一个均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这几个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字（指向分界线重转）．
(1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向的汉字的笔画数是偶数的概率是____________；
(2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画数不小于8时，小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由．
17．某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题：
(1)若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？
(2)若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？
(3)若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色．
18．某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下．
摸球方案：
在一个不透明的盒子中装入个除颜色外完全一样的小球，其中个黄球，个白球；
从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回．
获奖规则：
若取出的是黄球，则获得奖品；
若取出的是白球，则获得奖品．
(1)求该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是______；“获得奖品”的概率是______；
(2)若从原方案的盒子中取走个黄球和个白球，请利用剩下的个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等．
参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．B
4．D
5．A
6．C
7．D
8．C
二、填空题
9．三等奖
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：(1)如下表所示，列出所有可能出现的结果．
A A B B B B
A
A
A
A
B
B
由上表可知，共有36种等可能性结果．
其中“两颗骰子的顶面字母相同”记为事件M，结果有16种，；
“两颗骰子的顶面字母不同”记为事件N，结果有20种，．
所以甲、乙两人获胜的概率分别是，．
（2）解：若要使两人获胜概率相等，则第二颗骰子要有3个面标记字母A．
如下表所示，此时甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
A A A B B B
A
A
A
A
B
B
故答案为：3．
14．【详解】（1）解：每次游戏可能出现的所有结果列表如下：
转盘B 转盘A 的数字 的数字 4 5 6
1
2
3
由表可知，表格中共有9种等可能的结果，
则数字之积为3的倍数的有5种，其概率为，数字之积为5的倍数的有3种，其概率为．
（2）解：这个游戏对双方不公平，
∵小明平均每次得分为（分），小亮平均每次得分为（分），
由于，
∴游戏对双方不公平，修改得分规定为：
若数字之积为3的倍数，小明得3分；若数字之积为5的倍数，小亮得5分即可．
15．【详解】（1）解：∵，
∴四个小球中，数字是无理数的有、共两个，
即摸取小球上的数字是无理数的概率是．
故答案为：；
（2）解：这个规则不公平，
理由：设四个数字依次为A，B，C，D，画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中两次摸取的小球上的数字都是无理数结果有2种，
∴两次摸取的小球上的数字都是无理数的概率，
∴小何获得电影票的概率，小楠获得电影票的概率．
∵，
∴这个规则不公平．
86．【详解】（1）解：转动转盘，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是 ，
故答案为：；
（2）解：游戏公平．理由如下：
因为笔画数不小于8的汉字有“骄”“傲”“是”“国”，笔画数小于8的汉字有“我”“中”“人”，
所以小明获胜的概率为，小华获胜的概率为．
因为，所以游戏公平．
17．【详解】（1）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会，所以她获得购物券的概率是．
（2）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会．
∵转盘被等分成份，黄色区域占份，白色区域占份，
∴她获得元、元购物券的概率分别是，．
（3）（份），要使指针对准红色区域的概率是，只要使转盘上共有份为红色区域即可．
如图所示：
18．【详解】（1）解：由题意知，共有9种等可能的结果，其中取出的是黄球结果有种，取出的是白球的结果有种，
∴该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”的概率为，“获得奖品B”的概率为，
故答案为：，；
（2）解：新的摸球方案：从袋中剩余的个黄球，个白球中先随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再随机摸取一个小球；
获奖规则：若取出的两个球颜色相同，则获得奖品；若取出的两个球颜色不同，获得奖品，
此时列表如下：
黄 白 白
黄 黄，黄 黄，白 黄，白
白 白，黄 白，白 白，白
白 白，黄 白，白 白，白
共有种等可能的结果，其中取出的两个球颜色相同的结果有种，取出的两个球颜色不同的结果有种，
∴“获得奖品A”的概率，“获得奖品”的概率．