19.1 数据的集中趋势 课件(共54张PPT) 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

(共54张PPT)
19.1 数据的集中趋势
第十九章 数据的分析
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
平均数
加权平均数
中位数
众数
平均数、中位数和众数的选用
知1－讲
感悟新知
知识点
平均数
1
1. 定义：一般地，对于 n 个数x1， x2，…， xn，我们把 ( x1+x2+…+xn)叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数，记作“”，读作：“x 拔” ，即 ( x1+x2+…+xn).
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1.一组数据的平均数是唯一的，它不一定是这组数据中的某个数据 ；
2. 算术平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关，其中任何一个数据的变动都可能会引起算术平均数的变动.
感悟新知
2.计算方法：
(1)定义法： 求平均数，只要把所有数据加起来求出总和，再除以数据的总个数即可 . 即：如果有 n 个数 x1， x2，…，xn，那么 = ( x1+x2+…+xn ) ；
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感悟新知
(2) 新数据法： 当所给的数据较大，且所给数据大部分都在某一个常数 a 附近上、下波动时，可计算各数据与 a 的差：x1 － a=x1′， x2 － a=x2′，…， xn － a=xn′， 则 =a+ ( x1′ +x2′ +…+xn′ ) .
知1－讲
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3. 拓展：若 x1， x2，…， xn 的平均数为，则有
(1) nx1， nx2，…， nxn 的平均数为 n ；
(2) x1+b， x2+b，…， xn+b 的平均数为 +b；
(3) nx1+b， nx2+b，…， nxn+b 的平均数为 n +b.
知1－讲
知1－练
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[ 中考·长沙 ] 睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到班上某位学生的 5 天睡眠时间(单位：h)如下：10，9，10，8，8，则该学生这 5 天的平均睡眠时间是 ______h．
例1
9
知1－练
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解：该学生这 5 天的平均睡眠时间是
(10+9+10+8+8)÷5=9(h)．
解题秘方：紧扣“平均数的定义”求解.
知1－练
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1-1. [ 期末·开封] 在某次数学测验中，小明得了99 分，小华得了90分，小龙的成绩比小华好，但不超过 93 分．请估计这三人的平均成绩在( )
A. 90 分以下
B. 94 分以上
C. 93 分~94 分之间
D. 90 分~93 分之间
C
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知2－讲
知识点
加权平均数
2
1.定义 :一般来说，由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重. 我们把各指标在总结果中所占的百分比称为每个指标获得的权重，简称“权”，各指标乘以相应的权后所得的平均数就叫做加权平均数.
知2－讲
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特别提醒
1.权能够反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重越大，反之越小.
2.权的表现形式为：
(1)数据的个数； (2)数据的百分比； (3)数据的比 .
3. 拓展：数据分组后，常用各组的组中值，即各组中两个端点的数的平均数代表各组的实际数据，这时“权”就是各组数据的频数.
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知2－讲
说明：在求 n 个数的平均数时，如果 x1 出现 f1 次，x2 出现f2 次，…， xk 出现 fk 次(这里 f1+f2+…+fk=n，k ≤ n)，那么这 n 个数的平均数 = 也叫做 x1， x2，…， xk 这 k 个数的加权平均数，其中 f1， f2，…， fk 分别叫做 x1， x2，…， xk 的权 .
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2. 分布式计算方法：利用已经有的各单位各自的平均数，辅以各单位的权重信息，再次计算得到所有单位总的平均数的方法，被称为分布式计算方法.
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3.算术平均数与加权平均数的联系与区别：
区别 联系
算术平均数 算术平均数对应的一组数据中的各个数据的“重要程度”相同 (1)都反映一组数据的集中趋势；
(2)若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，因而算术平均数实际上是加权平均数的一种特例
加权平均数 加权平均数对应的一组数据中的各个数据的“重要程度”不一定相同，即各个数据的权不 一定相同 感悟新知
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[母题 教材P154 练习T1]在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组 8 名同学捐款的金额如下表所示：
这 8 名同学捐款的平均金额为_________ .
25 元
例2
金额(元) 15 20 30 50
人数 2 3 2 1
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解题秘方：根据加权平均数的定义进行计算.
解：捐款的平均金额为=25(元) .
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2-1.为了解乡镇企业的水资源利用情况，市水利管理部门抽查了部分乡镇企业某月的用水情况，其中用水15 吨的有3 家，用水 20 吨的有 5 家，用水 30 吨的有 7 家，那么平均每家企业该月用水约( )
A. 23.7 吨 B. 21.7 吨
C. 20 吨 D.5.416 吨
A
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[中考·广西]某班需从甲、乙两名同学中推荐一人参加校史馆讲解员的选拔，班委决定从口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表四项内容进行考查．全班同学投票确定了各项所占的百分比，结果如图19.1-1 ①，再对甲、乙进行考查并逐项打分，成绩如图19.1-1 ② .
例3
知2－练
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解题秘方：根据加权平均数的定义进行计算，然后比较大小作判断.
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(1)在所考查的四项内容中，甲比乙更具优势的有哪些？
解： 由条形统计图可知，甲在口头表达能力和仪容仪表方面得分高于乙，∴甲比乙更具优势的有口头表达能力和仪容仪表．
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(2)按照图19.1-1①的各项占比计算甲、乙的综合成绩，并确定推荐人选．
解： 甲的综合成绩为9×40%+8×30%+7×20%+9×10%=8.3(分)，
乙的综合成绩为8×40%+9×30%+9×20%+8×10%=8.5(分)．
∵ 8.5>8.3，∴推荐乙同学参加．
知2－练
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3-1. [中考·自贡][母题教材P152 问题1] 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如图所示，平均分最高的是( )
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 平均分都相同
B
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某科技公司对一款新型电动汽车的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务四项指标进行测评，下表是这款新型电动汽车四项指标测评得分(满分：10 分)：
根据指标测评标准，外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务这四项指标测评得分依次按3∶2∶3∶2 的比例确定综合成绩，则该款新型电动汽车的综合成绩为______分．
例4
测评项目 测评得分（单位：分）
外观造型 9
舒适程度 8
操控性能 9
售后服务 8
8.6
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解：该款新型电动汽车的综合成绩为
=8.6(分)．
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4-1. 小明参加演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分、8 分、8 分. 若将这三项得分依次按3：4：3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为 ________分.
8.3
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知2－练
设 A，B两家网站用户的日人均上网时间分别是a h和b h，A，B两家网站平均每天的上网用户分别为m人和n人，你能求出这两家网站所有用户的日人均上网时间吗？
例5
知2－练
感悟新知
解题秘方：本题属于分布式计算平均数，权重， 反映了两家网站用户的分布情况 .
解：这两家网站所有用户的日人均上网时间为 ·a+ ·b= (h).
知2－练
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5-1. 某 超 市 有 5 家 分店，其中一天的营业情况统计结果如下表所示 . 这家超市的每人次平均消费金额是多少？
知2－练
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知3－讲
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知识点
中位数
3
1.中位数：将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数据为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数 .
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知3－讲
特别解读
1.一组数据的中位数是唯一的，它可能是这组数据中的某个数据，也可能不是这组数据中的数据 .
2.中位数是刻画一组数据的“中等水平”的一个代表，反映了一组数据的集中趋势 .
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2.求中位数的步骤：
知3－讲
知3－练
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[母题 教材 P157问题3]已知杭州市某天六个整点时的气温如图19.1-2 所示，则这六个整点时气温的中位数是________ ．
例6
15.6℃
知3－练
感悟新知
解：把这些数据从小到大排列为 4.5， 10.5， 15.3， 15.9，19.6， 20.1，∵这组数据有 6 个，
最中间的两个数的平均数是 (15.3+15.9)÷ 2=15.6，
∴这六个整点时气温的中位数是 15.6℃ .
解题秘方：紧扣“中位数的定义”解答 .
知3－练
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6-1.[ 中考·徐州] 铜桐收藏有 7 枚南宋铁钱 “庆元通宝”(如图所示)，测得它们的质量 (单位：g)分别为 6.9，7.5，6.6，6.6，6.8，7.4，7.7．这组数据的中位数为( )
A. 7.1 B. 6.9
C. 6.8 D. 6.6
B
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知4－讲
知识点
众数
4
众数 ：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数 .
说明：
(1) 如果一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数并列最多，那么把这几个数据都作为这组数据的众数，如果一组数据中没有出现相同的数据，那么就认为这组数据没有众数；
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知4－讲
(2)一组数据的众数的大小只与这组数据中的个别数据有关，它一定出现在这组数据中；
(3)众数是描述一组数据集中趋势的量，众数只与数据出现的频数有关，不受个别数据影响，有时是我们最为关心的统计数据.
知4－讲
感悟新知
特别提醒
1.一组数据的众数不一定唯一，可能有一个或几个，也可能没有.
2.众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数 .
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知4－练
[中考·南充]一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表：则这20 名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是( )
A.6 B.9
C.11 D.15
个数 6 9 11 12 15
人数 2 5 8 3 2
例7
C
知4－练
感悟新知
解：观察统计表中“个数”对应的“人数”，个数6 出现2 次，个数9 出现5 次，个数11 出现8 次，个数12 出现3 次，个数15 出现2 次，因为8>5>3>2，即个数11 出现的次数最多，所以这20 名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是11.
解题秘方：确定众数时，是求频数(人数)最大的数据(个数)，而不是最大的频数(人数)
知4－练
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7-1.[ 中考·长沙改编] 某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组 8 名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量(单位：千克) 数据， 依次为：76，78，77，79，78，75，78，80. 则这组数据的众数是( )
A. 77 B. 78
C. 79 D. 80
B
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知5－讲
知识点
平均数、中位数和众数的选用
5
平均数、中位数和众数的联系与区别
区别 联系
优点 缺点 平均数 平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中较为常用 在计算平均数时，所有的数据都参与运算，所以它易受极端值的 影响 平均数、中位数和众数都能反映一组数据的集中趋势，刻画一组数据的“一般水平”
感悟新知
知5－讲
区别 联系
优点 缺点 中位数 中位数不受个别偏大或偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用中位数来描述集中趋势 不能充分地利用各数据的 信息 平均数、中位数和众数都能反映一组数据的集中趋势，刻画一组数据的“一般水平”
感悟新知
知5－讲
区别 联系
优点 缺点 众数 众数考察的是各数据出现的次数，其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题的实质 当各数据重复出现的次数大致相等时，它往往就没有什么特别意义 平均数、中位数和众数都能反映一组数据的集中趋势，刻画一组数据的“一般水平”；
知5－讲
感悟新知
特别提醒
1.平均数、中位数和众数从不同的角度反映数据的集中趋势，在实际应用中，需要根据具体情况选择适当的量来分析数据，避免仅从一个方面考虑，就轻易下结论 .
2.特殊情况下，平均数、中位数和众数可能是同一个数据 .
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知5－练
为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，某中学积极组织全体教师开展“课外访万家活动”，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，从中随机抽取15 名学生家庭的年收入情况，整理数据如下表：
年收入/万元 2 2.5 3 4 5 9 13
家庭个数 1 3 5 2 2 1 1
例8
知5－练
感悟新知
解题秘方：紧扣“平均数需计算，中位数、众数需排序查找”，并结合“三数”的特点进行解答.
感悟新知
知5－练
(1)求这15 名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数.
解 ： 这15名学生家庭年收入的平均数是(2+2.5×3+3×5+4×2+5×2+9+13)÷15=4.3(万元).
将这15 个数据从小到大排列，最中间的数是3，
所以中位数是3 万元.
在这一组数据中3 出现的次数最多，故众数是3 万元.
感悟新知
知5－练
(2)你认为用(1)中的哪个数据来代表这 15 名学生家庭的年收入情况较为合适？请简要说明理由.
解 ： 用中位数或众数代表这15 名学生家庭年收入的情况较为合适.
理由：虽然平均数为4.3 万元，但年收入达到4.3 万元的家庭只有4 个，大部分家庭的年收入未达到这一水平，而中位数或众数为3 万元，3 万元是大部分家庭可以达到的水平，因此用中位数或众数较为合适.
知5－练
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8-1.某工艺品厂共有16 名工人，调查每名工人的日均生产件数，获得如下数据：
日均生产件数 人数
10 1
11 3
12 5
13 4
14 2
15 1
知5－练
感悟新知
(1)求这 16 名工人日均生产件数的平均数、众数、中位数；
知5－练
感悟新知
(2)若要使 75% 的工人都能完成任务，应选什么统计量(平均数、众数、中位数)作为日生产件数的定额？
解：若要使75%的工人都能完成任务，应选中位数或众数作为日生产件数的定额.
数据的集中趋势
数据的集中趋势
权的 形式
加权平均数
个数
比例
百分比
平均数
众数
中位数