15.1 分式及其基本性质 课件(共59张PPT) 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

(共59张PPT)
15.1 分式及其基本性质
第十五章 分式
学习目标
课时讲解
1
分式的概念
分式有(无)意义的条件
分式的值为 0 的条件
分式的基本性质
分式的约分
分式的通分
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时流程
2
知识点
知1－讲
感悟新知
1
分式的概念
定义：形如 (A， B是整式，且B中含有字母)的式子，叫做分式 . 其中 A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母 .
分式的“三要素”：(1)形如的式子；
(2) A， B为整式；(3)分母B 中含有字母.
知1－讲
感悟新知
2. 分式与分数、整式的关系：
(1)分式中分母含有字母．由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性. 分数是分式中字母取特定值时的特殊情况.
(2)分式与整式的根本区别就是分式的分母中含有字母.
知1－讲
感悟新知
3.有理式： 整式和分式统称有理式，
即有理式
知1－讲
感悟新知
特别解读
1. 分式可看成是两个整式的商，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用和整体作用 .
2.判断一个式子是不是分式，要看式子原本的样子，不能化简后再判断．如： 是分式 .
感悟新知
知1－练
[母题 教材P2 例1]下列有理式中，哪些是分式？哪些是整式？
例 1
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用分式的三要素判断即可，关键是分母中是否含有字母.
π是常数不是字母 .
知1－练
感悟新知
1-1. 代数式 x， ， ，x2－ ， ， 中，属于分式的有( )
A.2 个　　　B.3 个
C.4 个　　　D.5 个
B
知识点
分式有(无)意义的条件
知2－讲
感悟新知
2
分式有意义的条件 分式的分母不等于为0，即B ≠ 0
分式无意义的条件 分式的分母等于0，即B=0
知2－讲
感悟新知
注意
1. 分式有无意义只与分母有关，而与分子无关.
2. 分母不为0 是指表示分母的整式的值不为0，而不是分母中字母的值不为0.
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 讨论分式有(无)意义，一定要对原分式进行讨论，而不能将原分式化简后再讨论．
2. 没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的，即分式中的分母不等于0．
感悟新知
知2－练
[母题 教材P3 例2]当x 取什么值时，下列分式有意义？
例2
解题秘方：分母的值不等于0 时，分式有意义.
感悟新知
知2－练
解：分母5x－3 ≠ 0，即x ≠ .
所以，当x ≠ 时，分式 有意义.
分母|x|－1 ≠ 0，即x ≠ ±1 .
所以，当x ≠ ±1时，分式 有意义.
感悟新知
知2－练
解：因为无论x 取什么值，都有x2+3>0，
所以x 取任何实数，分式 都有意义.
分母(x－2)(x+4)≠ 0，即x ≠ 2 且x ≠ －4 时，
所以，当x ≠ 2 且x ≠ －4 时，分式 有意义.
知2－练
感悟新知
2-1. [ 模拟·商丘] 下列分式中，无论m 取什么值，分式总有意义的是 ( )
A. B.
C. D.
C
知2－练
感悟新知
2-2.[ 中考·广西] 写出一个使分式有意义的x 的值，可以是 __________．
2
(答案不唯一)
感悟新知
知2－练
分式 中的x 满足什么条件时分式无意义？
解题秘方：分母的值等于0 时，分式无意义.
例 3
解：要使分式 无意义，则分母x2－16=0，
即x2=16，解得x=±4.
所以，当x=±4 时，分式 无意义.
知2－练
感悟新知
－1
3-1.[ 期末·周口]当x=1时，分式无意义，则a=__________ ．
知识点
分式的值为0的条件
知3－讲
感悟新知
3
1. 分式的值为0 的条件 ：当分式的分子等于0 且分母不等于0 时，分式的值为0.
即：对于分式，当A=0 且B ≠ 0 时，=0.
知3－讲
感悟新知
2. 对常见的几种特殊分式值的讨论：
(1)若的值为正数，则A， B 同号，或
(2)若的值为负数，则A， B 异号， 或
(3)若的值为1，则A= B ，且B≠ 0.
(4)若的值为－ 1，则A =－ B ，且B≠ 0.
知3－讲
感悟新知
特别提醒
1.分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的，所以分式的值为0的条件： A=0 且B ≠ 0 ，二者缺一不可.
2.对于分式的几种特殊值的讨论既要考虑分子，又要考虑分母.
感悟新知
知3－练
当x 取何值时，下列分式的值为0 ？
例4
知3－讲
感悟新知
解题秘方：分式的值为0 的条件：分子为0，分母不为0.
感悟新知
知3－练
解：由 得x=－2，
所以，当x=－2 时，分式 的值为0.
感悟新知
知3－练
解：由 得x=－3，
所以，当x=－3 时，分式 的值为0.
由 ，得x=3，
所以，当x=3 时，分式 的值为0.
若ab≠0，
则a≠0且b≠0.
若ab=0，
则a=0或b=0.
知3－练
感悟新知
4-1. 当 x=1 时，下列分式的值为 0 的是( )
A. B.
C. D.
B
知3－练
感悟新知
4-2. 若分式 的值等于 0， 则x 的值为( )
A.± 1 B.0
C. － 1 D.1
D
知3－练
感悟新知
4-3.当 x=____ 时，分式的值为 0.
2
知识点
分式的基本性质
知4－讲
感悟新知
4
分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或都除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变
字母表示 = ，= ，其中 A，B， C 是整式 ， C≠ 0
注意事项 (1)分子和分母要同时做“乘法(或除法)”运算
(2)乘以(或除以)的对象必须是同一个不等于零的整式
用途 进行分式的恒等变形
其中B≠0 是概念条件，一般不
特别说明，但C≠0 需强调．
知4－讲
感悟新知
特别解读
运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变其形式.
感悟新知
知4－练
写出下列等式中未知的分子或分母：
例5
(1) =； (2) = ；
(3) = ； (4) = .
2－
x
2x
感悟新知
知4－练
解题秘方：观察等号两边已知的分子或分母发生了什么样的变化，再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子.
感悟新知
知4－练
解：
知4－练
感悟新知
5-1.根据分式的基本性质填空：
(1) = ； (2) = ；
(3) = ； (4) = .
3b
m2－n2
x2
2x2
知识点
分式的约分
知5－讲
感悟新知
5
1. 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分.
约分的关键是正确找出分子与分母的公因式．
知5－讲
感悟新知
特别解读
1. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积的形式 .
3. 约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式 .
知5－讲
感悟新知
2. 找公因式的方法:
(1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；
(2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式.
3. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式称为最简分式.
感悟新知
知5－练
[母题 教材P3 例3]约分：
解题秘方：(1)中的分子、分母都是单项式，可以直接约分；(3)中的分子、分母都是多项式，先将多项式分解因式，再进行约分.
例6
感悟新知
知5－练
解：
= =m+n．
知5－练
感悟新知
6-1.约分： (1) ；
(2) ；
(3) .
感悟新知
知5－练
下列各式中，最简分式有______________.
例7
感悟新知
知5－练
解题秘方：根据最简分式的定义识别.
解：
知5－练
感悟新知
7-1. 下列分式中， 最简分式是( )
A. B.
C. D.
A
感悟新知
知6－讲
知识点
分式的通分
6
1. 分式的通分： 分式的通分，即把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式 .
依据：分式的基本性质．
感悟新知
知6－讲
2. 最简公分母： 确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母 .
感悟新知
知6－讲
3.确定最简公分母的方法：
类别 示例 方法总结
各分母为单项式 与的最简公分母为10 a2 b2c 各分母能因式分解的先因式分解，将各分母系数的最小公倍数、相同字母(因式)的最高次幂和单独出现的字母(因式)的幂的乘积作为最简公分母
各分母中有多项式 与的最简公分母为3(x-y)(x+y) 感悟新知
知6－讲
注意
(1)互为相反数的因式看作相同因式；
(2)若有能约分的分式，则要化简后再找最简公分母；
(3)如果分母是不能分解的多项式，那么要把它看作一个整体.
知6－讲
感悟新知
特别解读
约分与通分的联系与区别：
1.约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变形之后每个分式的值都不变 .
2.约分是针对一个分式来说的，约分可使分式得以简化，而通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母的分式化为同分母的分式 .
感悟新知
知6－讲
4. 通分的一般步骤：
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式．
感悟新知
知6－练
[母题 教材P4 例4]通分：
(1) 和 ；(2) 和；
(3) ，和 .
先因式分解，再取各分母
所有因式的最高次幂的积 .
例8
知6－练
感悟新知
解题秘方：先确定最简公分母，再通分 .
解：最简公分母是 12x3y2z3，所以
= = ，
= = .
(1) 和
4 和 6 的最小公倍数是12，x，y，z 分别取最高次幂 .
知6－练
感悟新知
解：最简公分母是( x＋1)(x－1) ，所以
= = =，
= = =.
(2) 和
知6－练
感悟新知
解：最简公分母是 3( x－y) 2，所以 =
==，
= ==，
= ==.
(3) ，和 .
知6－练
感悟新知
8-1. (1) 分式 ， 的最简公分母是_______， 通分为_______________ ；
(2)分式 ，的最简公分母是 _____________，通分为
________________________________ .
3a2b2c
a(a＋1)(a－1)
知6－练
感悟新知
8-2.通分： (1) ， ；
(2) x － y， ；
知6－练
感悟新知
(3) ， ， .
课堂小结
分式及其基本性质
分式的基
本性质
约分
分式有(无)
意义的条件
分式的值为
0的条件
分式
通分