2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册课时达标4.3.1　第1课时　等比数列的概念及通项公式（含答案）

4.3.1　等比数列的概念
第1课时　等比数列的概念及通项公式
一．选择题
1.在等比数列{an}中,a3=1,a7=3,则a15的值为(　　)
A.9 B.27
C.81 D.243
2.在数列{an}中,an+1=-2an,且a2=1,则an=(　　)
A.2n-2 B.(-2)n-2
C.2n-1 D.(-2)n-1
3.( 2025江苏苏州高二检测)在2和8之间插入3个实数a,x,b使得2,a,x,b,8成等比数列,则x的值为(　　)
A.-4 B.-4或4
C.4 D.5
4.将公比为q的等比数列a1,a2,a3,a4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,….此数列是(　　)
A.公比为q的等比数列
B.公比为q2的等比数列
C.公比为q3的等比数列
D.不一定是等比数列
5.( 2025湖北荆州模拟)已知等差数列{log3an}的公差为1,则=(　　)
A.1 B.3
C.9 D.27
6.在等比数列{an}中,2a2+a3=3,2a5+a6=24,则数列{an}的公比为(　　)
A. B.2 C. D.3
7.在数列{an}中,对任意n∈N*,都有an+1-2an=0,则=(　　)
A. B. C. D.1
8.在数列{an}中,a1=,am+n=aman( m,n∈N*),则a6=(　　)
A. B. C. D.
9.设数列{an}是公比为q的等比数列,|q|>1.若数列{an}的连续四项构成集合{-24,-54,36,81},则公比q为(　　)
A.-2 B.2 C.- D.
二．填空题
10.在等比数列{an}中,若a1=,公比q=2,则a4与a8的等比中项是　　　　.
11.(山东青岛高二检测)已知数列{an}满足a1=2,若2Sn=an+1+2,则{an}的通项公式为　　　　　.
12.已知等比数列{an}的各项均为正数,且它的任何一项都等于它后两项的和,则它的公比q=　.
13.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=　　　　　.
14.已知数列{an}满足a1=,an+1=,若bn=-1,则数列{bn}的通项公式为bn=　　　　　　.
三．解答题
15.( 2025山东青岛高三检测)记数列{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,且a2是a1和a4的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足b1=a1-1,b2=a3+3,bn+2=3bn+1-2bn-10,求证:{bn+1-bn-10}为等比数列.
16.已知在数列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*).
(1)求证:数列{an+}为等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
17.(2025山东聊城高三检测)数列{an}中,若 d∈R,使得 n∈N*,都有an+2+2an+1+an=d成立,则称数列{an}为“三合定值数列”,已知a1=5,a2=-3,d=0.
(1)求a3,a4,a5;
(2)设bn=an+1+an,证明:数列{bn}为等比数列,并求an.
参考答案
1.B　设等比数列{an}的公比为q,由a7=a3q4,得q4=3,所以a15=a3q12=a3(q4)3=33=27.故选B.
2.B　∵an+1=-2an,a2=1,
∴a1=-,∴数列{an}是首项为-,公比为-2的等比数列,
∴an=-×(-2)n-1=(-2)n-2.
故选B.
3.C　由x为等比中项可知,x2=2×8=16.又a2=2x,可知x>0,所以x=4.
4.B　因为=q·q=q2,n≥2,所以新数列{anan+1}是公比为q2的等比数列.
5.D　由题意可知log3an+1-log3an=log3=1,即=3,
所以数列{an}为等比数列,公比q=3,所以=27.
6.B　设等比数列{an}的公比为q,
因为2a2+a3=3,2a5+a6=2a2q3+a3q3=24,
所以q3==8,则q=2.
故选B.
7.A　由an+1-2an=0得=2,即数列{an}是以2为公比的等比数列,则.
8.C　由于 m,n∈N*,有am+n=aman,且a1=.令m=1,则an+1=a1an=an,即数列{an}是首项为,公比为的等比数列,
所以an=×()n-1=()n,
故a6=()6=.
9.C　由题意等比数列{an}的连续四项构成集合{-24,-54,36,81},
则可知等比数列的项一定为正负相间,公比为负数,
由于|q|>1,故后一项的绝对值大于前一项的绝对值,
故集合{-24,-54,36,81}中的这四个数在数列中排列为-24,36,-54,81,则q==-.故选C.
10.±4　依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.
11.an=　当n=1时,2S1=2a1=a2+2.
因为a1=2,所以a2=2.
当n≥2时,2Sn-1=an+2,
则2an=2Sn-2Sn-1=an+1-an,
即3an=an+1,=3,
所以{an}是以a2=2为首项,3为公比的等比数列,
则an=a2qn-2=2×3n-2,n≥2.
当n=1时,a1=2不符合上式.
所以an=
12.　设公比为q,易知q>0,依题意,得an=an+1+an+2,所以an=anq+anq2.因为an>0,所以q2+q-1=0,解得q=(q=舍去).
13.32　由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.
14.2n-1　因为an+1=,所以-1,所以-1=-2=2(-1),而-1=1,且bn=-1.
所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,所以bn=1×2n-1=2n-1.
15.(1)解设{an}的公差为d(d≠0),因为a2是a1和a4的等比中项,则(a1+d)2=a1(a1+3d),
所以d2-a1d=0,
即d2-2d=0,而d≠0,故d=2,
故an=2+(n-1)×2=2n.
(2)证明由(1)得,b1=a1-1=1,b2=a3+3=9,
而bn+2=3bn+1-2bn-10,故bn+2-bn+1-10=2(bn+1-bn-10).
又b2-b1-10=-2≠0,bn+1-bn-10≠0,所以=2,
所以{bn+1-bn-10}为等比数列,且公比为2,首项为-2.
16.(1)证明∵2an+1=6an+2n-1(n∈N*),∴an+1=3an+n-,
∴=3.∵a1+=1+,
∴数列{an+}为等比数列,首项为,公比为3.
(2)解由(1)得,an+×3n-1=×3n,∴an=×3n-.
17.(1)解因为d=0,所以an+2+2an+1+an=0,且a1=5,a2=-3,
则a3+2a2+a1=0,即a3+2×(-3)+5=0,解得a3=1.
又a4+2a3+a2=0,即a4+2×1+(-3)=0,解得a4=1.
又a5+2a4+a3=0,即a5+2×1+1=0,解得a5=-3.
所以a3=1,a4=1,a5=-3.
(2)证明因为bn=an+1+an,
则bn+1=an+2+an+1,
且an+2+2an+1+an=0,即an+2+an+1+an+1+an=0,所以bn+1+bn=0,
即bn+1=-bn.又b1=a2+a1=-3+5=2≠0,则=-1,
所以数列{bn}是以2为首项,-1为公比的等比数列,
所以bn=2·(-1)n-1,
即an+1+an=2·(-1)n-1,
所以a2k+1+a2k=2·(-1)2k-1=-2,k∈N*, ①
则a2k+a2k-1=2,k∈N*, ②
两式相减可得a2k+1-a2k-1=-4,
即{an}的奇数项为等差数列,且a2k-1=5-4(k-1)=-4k+9.
令n=2k-1,则k=,所以an=-2-2n+9=-2n+7(n为奇数).
又a2k+2+a2k+1=2·(-1)2k=2, ③
由③-①可得a2k+2-a2k=4,k∈N*,所以{an}的偶数项为等差数列,且a2k=-3+4(k-1)=4k-7,
令n=2k,则k=,即an=2n-7,
综上,an=