2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册课时达标4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册课时达标4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 52.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-04 00:00:00 | ||
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文档简介
4.3.1第2课时 等比数列的性质及应用
一．选择题
1.已知等比数列{an},a3a10a17=8,则a10=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2.若{an}为等比数列,则“a1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等,且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率f10=440 Hz,则与第四个单音的频率f4最接近的是( )
A.880 Hz B.622 Hz C.311 Hz D.220 Hz
4.若数列{an}的通项公式为an=(-)n,则( )
A.数列{an+an+1}是首项为,公比为的等比数列
B.数列{an+an+1}是首项为-,公比为-的等比数列
C.数列{an+an+1}是首项为-,公比为的等比数列
D.数列{an+an+1}是首项为-,公比为-的等比数列
5. (多选题)无穷等比数列{an}的首项为a1,公比为q,下列条件能使{an}既有最大值,又有最小值的有( )
A.a1>0,00,-1C.a1<0,q=-1 D.a1<0,q<-1
6. (多选题)已知数列{an}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为 ( )
A.-36 B.36 C.-36 D.36
7.(2025江苏南京高三期中)已知等比数列{an}满足a4a5a6=64,则a2a4+a6a8的最小值为( )
A.48 B.32
C.24 D.8
8.(2025四川绵阳高二检测)我国某西部地区要进行沙漠治理,已知某年年底(记为第1年)该地区有土地1万平方千米,其中70%是沙漠.从第2年起,该地区进行绿化改造,每年把原有沙漠的16%改造成绿洲,同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设第n年年底绿洲面积为an万平方千米,则数列{an}的通项公式为( )
A.an=-
B.an=-
C.an=-
D.an=
9.已知正项等比数列{an}满足a3=a2+2a1,若存在am,an,使得aman=16,则的最小值为( )
A. B.16
C. D.
10.两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn,若=2,则=( )
A.512
B.32
C.8
D.2
二．填空题
11.已知是等比数列{an}图象上的两点,则an= .
12.在正项等比数列{an}中,+2a6a8+=100,则a5+a9= .
13.( 2025湖南衡阳高二检测)《尘劫记》中记载了问题:假设每对老鼠每月生子一次,每月生16只,且雌雄各半.1个月后,有一对老鼠生了16只小老鼠,一共有18只;2个月后,每对老鼠各生了16只小老鼠,一共有162只.以此类推,假设n个月后共有老鼠an只,则an= .
14.在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,若an-1anan+1=324(n≥2),则n= .
15.(2025河北邢台高二检测)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积,则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 026积数列”,且a1>1,则当其前n项的乘积取得最大值时,n的值为 .
三．解答题
16.已知数列{an}是一个各项均为正数,且递增的等比数列,其前4项之积为16,第2项与第3项之和为5,求这个等比数列的前4项.
17.设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求an.
18.在等比数列{an}中,公比q∈(0,1),且满足a3=2,a1a3+2a2a4+a3a5=25.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,当+…+取最大值时,求n的值.
19.某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午8时和晚上8时各服一片.现知该药片每片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,该药物在人体内的残留量超过380毫克,就将产生副作用.
(1)某人上午8时第一次服药,问到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留多少
(2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用 说明理由.
参考答案
1.B 由题意可得a3a10a17=(a10)3=8,则a10=2.故选B.
2.B “数列{an}是递增数列” “a1∴“a13.C 由题意,设十三个单音的频率构成的等比数列{fn}的公比为q,则=q12=2,即q=.
f4=f10·q-6=440×=220≈311.08,故第四个单音的频率f4最接近311 Hz.故选C.
4.B 因为an=(-)n,所以an+an+1=(-)n+(-)n+1=(-)n(1-)=×(-)n=-(-)n+1,所以{an+an+1}是首项为-,公比为-的等比数列.故选B.
5.BC 当a1>0,0当a1>0,-1当a1<0,q=-1时,奇数项都相等且小于零,偶数项都相等且大于零,所以等比数列{an}有最大值,也有最小值,所以C正确;
当a1<0,q<-1时,因为|q|>1,所以{an}无最大值,奇数项为负,无最小值,偶数项为正,无最大值,所以D错误.
故选BC.
6.CD 设{an}的公比为q,则a9+a11=q6(a3+a5),于是q6==8,因此q3=±2,所以a6+a8=q3(a3+a5)=±36.故选CD.
7.B 由a4a5a6=64,得(a5)3=64,解得a5=4,
∴a2a4+a6a8=≥2a3a7=2=32,当且仅当a3=a7时,等号成立.
8.A 由题意得,当n≥2时,an=(1-4%)an-1+(1-an-1)×16%=0.96an-1+0.16-0.16an-1=0.8an-1+0.16=an-1+,
所以an=an-1+(n≥2,n∈N*),
可变形为an-.
又a1-=1×(1-70%)-=-≠0,
所以数列是以-为首项,为公比的等比数列,
所以an-=-,
故an=-.
9.C 设等比数列的公比为q,根据题意,a1q2=a1q+2a1.
因为数列{an}是正项等比数列,所以a1>0,q>0,故由上式可解得q=2,
又aman=16,
所以qm-1qn-1=16,
即2m+n-2=16,所以m+n=6,
则(m+n)()=(10+)≥×(10+2×3)=,当且仅当n=3m,即m=,n=时,等号成立,
因为m,n为正整数,所以当m=2,n=4时,可得的最小值为.故选C.
10.A 因为A9=a1a2a3…a9=,B9=b1b2b3…b9=,
所以=()9=512.
11.3× 设等比数列{an}的公比为q,由题意知a2=,a5=,
∴q3=,∴q=,
∴an=a2·qn-2==3×.
12.10 在正项等比数列{an}中,+2a6a8+=100,
∵a6a8=a5a9,
∴(a5+a9)2=100,a5+a9>0,
解得a5+a9=10.
13.2×9n 假设n个月后共有老鼠an只,则n+1个月后共有老鼠an+1只,
所以an+1=an+16×=9an(n∈N*).
又a1=18,所以=9,
所以数列{an}是以18为首项,9为公比的等比数列,
所以an=18×9n-1=2×9n.
14.14 设数列{an}的公比为q,由a1a2a3==4与a4a5a6==12,可得=(q3)3,q9=3.又an-1anan+1==(a2qn-2)3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14.
15.1 012或1 013 由题可知在等比数列{an}中,a1a2a3·…·a2 026=a2 026,故a1a2a3·…·a2 025=(a1 013)2 025=1.
设数列{an}的公比为q,因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,且a1>1,
所以a1 013=1,所以01且0故当数列{an}的前n项的乘积取得最大值时,n的值为1 012或1 013.
16.解 (方法一)设这个等比数列的前4项分别为a,aq,aq2,aq3,
由题意,得
即
联立①②消去a,得,
整理得4q2-17q+4=0,解得q=4或q=.
因为{an}各项均为正数,且是递增的等比数列,所以a>0,q>1,即q=4,a=.所以这个等比数列的前4项分别为,1,4,16.
(方法二)根据数列{an}是一个各项均为正数的等比数列,
可设这个数列的前4项分别为,aq,aq3.其中aq>0,公比为q2.
由题意,得
解得
又因为数列{an}单调递增,
所以q2>1,即
所以这个等比数列的前4项分别为,1,4,16.
17.解设数列{an}的公比为q,则a1>0,q>0,
∵b1+b2+b3=3,
∴log2a1+log2a2+log2a3=3,
∴log2(a1a2a3)=3,
∴a1a2a3=8,
∴a2=2.
∵b1b2b3=-3,
∴log2a1·log2a2·log2a3=-3,
∴log2a1·log2a3=-3,
∴log2·log2a2q=-3,
即(log2a2-log2q)·(log2a2+log2q)=-3,即(1-log2q)·(1+log2q)=-3,解得log2q=±2.
当log2q=2时,q=4,a1=,
∴an=×4n-1=22n-3;
当log2q=-2时,q=,a1==8,∴an=8×=25-2n.
18.解(1)∵a1a3+2a2a4+a3a5=25,由等比数列的性质可得+2a2a4+=25,∴(a2+a4)2=25.
∵a3=2,q∈(0,1),则对任意的n∈N*,可得出an>0,∴a2+a4=5.
∴解得因此,an=a1qn-1=8×()n-1=24-n.
(2)bn=log2an=log224-n=4-n,则数列{bn}为等差数列,可得Sn=,
∴,
则=-,
∴数列{}为等差数列,则+…+=-(n-)2+,由n∈N*,可得n=6或n=7时,+…+取得最大值.
19.解(1)设人第n次服药后,药在体内的残留量为an毫克,则a1=220,a2=220+a1×(1-60%)=220×1.4=308,a3=220+a2×(1-60%)=343.2,即到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留343.2毫克.
(2)由题意,得an+1=220+an,
∴an+1-,
∴是以a1-=-为首项,为公比的等比数列,
∴an-=-.
∵-<0,∴an<=366,∴an<380.
故若人长期服用这种药,这种药不会对人体产生副作用.
一．选择题
1.已知等比数列{an},a3a10a17=8,则a10=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2.若{an}为等比数列,则“a1
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等,且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率f10=440 Hz,则与第四个单音的频率f4最接近的是( )
A.880 Hz B.622 Hz C.311 Hz D.220 Hz
4.若数列{an}的通项公式为an=(-)n,则( )
A.数列{an+an+1}是首项为,公比为的等比数列
B.数列{an+an+1}是首项为-,公比为-的等比数列
C.数列{an+an+1}是首项为-,公比为的等比数列
D.数列{an+an+1}是首项为-,公比为-的等比数列
5. (多选题)无穷等比数列{an}的首项为a1,公比为q,下列条件能使{an}既有最大值,又有最小值的有( )
A.a1>0,0
6. (多选题)已知数列{an}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为 ( )
A.-36 B.36 C.-36 D.36
7.(2025江苏南京高三期中)已知等比数列{an}满足a4a5a6=64,则a2a4+a6a8的最小值为( )
A.48 B.32
C.24 D.8
8.(2025四川绵阳高二检测)我国某西部地区要进行沙漠治理,已知某年年底(记为第1年)该地区有土地1万平方千米,其中70%是沙漠.从第2年起,该地区进行绿化改造,每年把原有沙漠的16%改造成绿洲,同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设第n年年底绿洲面积为an万平方千米,则数列{an}的通项公式为( )
A.an=-
B.an=-
C.an=-
D.an=
9.已知正项等比数列{an}满足a3=a2+2a1,若存在am,an,使得aman=16,则的最小值为( )
A. B.16
C. D.
10.两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn,若=2,则=( )
A.512
B.32
C.8
D.2
二．填空题
11.已知是等比数列{an}图象上的两点,则an= .
12.在正项等比数列{an}中,+2a6a8+=100,则a5+a9= .
13.( 2025湖南衡阳高二检测)《尘劫记》中记载了问题:假设每对老鼠每月生子一次,每月生16只,且雌雄各半.1个月后,有一对老鼠生了16只小老鼠,一共有18只;2个月后,每对老鼠各生了16只小老鼠,一共有162只.以此类推,假设n个月后共有老鼠an只,则an= .
14.在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,若an-1anan+1=324(n≥2),则n= .
15.(2025河北邢台高二检测)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积,则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 026积数列”,且a1>1,则当其前n项的乘积取得最大值时,n的值为 .
三．解答题
16.已知数列{an}是一个各项均为正数,且递增的等比数列,其前4项之积为16,第2项与第3项之和为5,求这个等比数列的前4项.
17.设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求an.
18.在等比数列{an}中,公比q∈(0,1),且满足a3=2,a1a3+2a2a4+a3a5=25.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,当+…+取最大值时,求n的值.
19.某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午8时和晚上8时各服一片.现知该药片每片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,该药物在人体内的残留量超过380毫克,就将产生副作用.
(1)某人上午8时第一次服药,问到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留多少
(2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用 说明理由.
参考答案
1.B 由题意可得a3a10a17=(a10)3=8,则a10=2.故选B.
2.B “数列{an}是递增数列” “a1
f4=f10·q-6=440×=220≈311.08,故第四个单音的频率f4最接近311 Hz.故选C.
4.B 因为an=(-)n,所以an+an+1=(-)n+(-)n+1=(-)n(1-)=×(-)n=-(-)n+1,所以{an+an+1}是首项为-,公比为-的等比数列.故选B.
5.BC 当a1>0,0
当a1<0,q<-1时,因为|q|>1,所以{an}无最大值,奇数项为负,无最小值,偶数项为正,无最大值,所以D错误.
故选BC.
6.CD 设{an}的公比为q,则a9+a11=q6(a3+a5),于是q6==8,因此q3=±2,所以a6+a8=q3(a3+a5)=±36.故选CD.
7.B 由a4a5a6=64,得(a5)3=64,解得a5=4,
∴a2a4+a6a8=≥2a3a7=2=32,当且仅当a3=a7时,等号成立.
8.A 由题意得,当n≥2时,an=(1-4%)an-1+(1-an-1)×16%=0.96an-1+0.16-0.16an-1=0.8an-1+0.16=an-1+,
所以an=an-1+(n≥2,n∈N*),
可变形为an-.
又a1-=1×(1-70%)-=-≠0,
所以数列是以-为首项,为公比的等比数列,
所以an-=-,
故an=-.
9.C 设等比数列的公比为q,根据题意,a1q2=a1q+2a1.
因为数列{an}是正项等比数列,所以a1>0,q>0,故由上式可解得q=2,
又aman=16,
所以qm-1qn-1=16,
即2m+n-2=16,所以m+n=6,
则(m+n)()=(10+)≥×(10+2×3)=,当且仅当n=3m,即m=,n=时,等号成立,
因为m,n为正整数,所以当m=2,n=4时,可得的最小值为.故选C.
10.A 因为A9=a1a2a3…a9=,B9=b1b2b3…b9=,
所以=()9=512.
11.3× 设等比数列{an}的公比为q,由题意知a2=,a5=,
∴q3=,∴q=,
∴an=a2·qn-2==3×.
12.10 在正项等比数列{an}中,+2a6a8+=100,
∵a6a8=a5a9,
∴(a5+a9)2=100,a5+a9>0,
解得a5+a9=10.
13.2×9n 假设n个月后共有老鼠an只,则n+1个月后共有老鼠an+1只,
所以an+1=an+16×=9an(n∈N*).
又a1=18,所以=9,
所以数列{an}是以18为首项,9为公比的等比数列,
所以an=18×9n-1=2×9n.
14.14 设数列{an}的公比为q,由a1a2a3==4与a4a5a6==12,可得=(q3)3,q9=3.又an-1anan+1==(a2qn-2)3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14.
15.1 012或1 013 由题可知在等比数列{an}中,a1a2a3·…·a2 026=a2 026,故a1a2a3·…·a2 025=(a1 013)2 025=1.
设数列{an}的公比为q,因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,且a1>1,
所以a1 013=1,所以0
16.解 (方法一)设这个等比数列的前4项分别为a,aq,aq2,aq3,
由题意,得
即
联立①②消去a,得,
整理得4q2-17q+4=0,解得q=4或q=.
因为{an}各项均为正数,且是递增的等比数列,所以a>0,q>1,即q=4,a=.所以这个等比数列的前4项分别为,1,4,16.
(方法二)根据数列{an}是一个各项均为正数的等比数列,
可设这个数列的前4项分别为,aq,aq3.其中aq>0,公比为q2.
由题意,得
解得
又因为数列{an}单调递增,
所以q2>1,即
所以这个等比数列的前4项分别为,1,4,16.
17.解设数列{an}的公比为q,则a1>0,q>0,
∵b1+b2+b3=3,
∴log2a1+log2a2+log2a3=3,
∴log2(a1a2a3)=3,
∴a1a2a3=8,
∴a2=2.
∵b1b2b3=-3,
∴log2a1·log2a2·log2a3=-3,
∴log2a1·log2a3=-3,
∴log2·log2a2q=-3,
即(log2a2-log2q)·(log2a2+log2q)=-3,即(1-log2q)·(1+log2q)=-3,解得log2q=±2.
当log2q=2时,q=4,a1=,
∴an=×4n-1=22n-3;
当log2q=-2时,q=,a1==8,∴an=8×=25-2n.
18.解(1)∵a1a3+2a2a4+a3a5=25,由等比数列的性质可得+2a2a4+=25,∴(a2+a4)2=25.
∵a3=2,q∈(0,1),则对任意的n∈N*,可得出an>0,∴a2+a4=5.
∴解得因此,an=a1qn-1=8×()n-1=24-n.
(2)bn=log2an=log224-n=4-n,则数列{bn}为等差数列,可得Sn=,
∴,
则=-,
∴数列{}为等差数列,则+…+=-(n-)2+,由n∈N*,可得n=6或n=7时,+…+取得最大值.
19.解(1)设人第n次服药后,药在体内的残留量为an毫克,则a1=220,a2=220+a1×(1-60%)=220×1.4=308,a3=220+a2×(1-60%)=343.2,即到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留343.2毫克.
(2)由题意,得an+1=220+an,
∴an+1-,
∴是以a1-=-为首项,为公比的等比数列,
∴an-=-.
∵-<0,∴an<=366,∴an<380.
故若人长期服用这种药,这种药不会对人体产生副作用.