2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册课时达标4.3.2　第1课时　等比数列的前n项和（含答案）

4.3.2　等比数列的前n项和公式
第1课时　等比数列的前n项和
一．选择题
1.在等比数列{an}中,Sn是其前n项和,若a1=-1,a4=64,则S4=(　　)
A.5 B.51 C.455 D.-21
2.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,若a5-a3=12,a6-a4=24,则=(　　)
A.15 B.-14
C. D.-
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=2,则=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.在各项均为正数的等比数列{an}中,a2=4,a6=64,前n项和Sn=510,则n=(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
5.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=15,a3=5,则公比q的值为(　　)
A.- B.1
C.-或1 D.或1
6.( 2025北京西城高二检测)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-1,32S10=31S5,则a6=(　　)
A.- B.- C. D.
7.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n+b(b为常数),则b的值为(　　)
A.- B.
C.-1 D.1
8.( 2025四川达州高三开学考试)将正整数1,2,3,…按从小到大的顺序分组,第n组含2n-1个数,分组如下:(1),(2,3),(4,5,6,7),(8,9,10,11,12,13,14,15),…,则2 025在第(　　)
A.9组 B.10组
C.11组 D.12组
9.记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S6=4S3,a2+a5=8,则a8=(　　)
A.6 B.6 C.6 D.18
10.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若2S3=3a2+8a1,则公比q=(　　)
A.2 B.-
C.2或- D.2或
11.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则an=(　　)
A.2n B.2n-1 C.2n D.2n-1
12.等比数列{an}的前n项和为Sn=2·3n+b,则数列{}的前n项和为(　　)
A.(1-) B.(1-)
C.(3n-1) D.(3n-1)
13.(多选题)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在a,b,c∈R,使得Sn=a·bn+c,则(　　)
A.ac<0
B.b是数列{an}的公比
C.数列{Sn}可能为等比数列
D.数列{an}不可能为常数列
二．填空题
14.已知等比数列{an}是递减数列,Sn是{an}的前n项和,若a1,a2是方程2x2-3x+1=0的两个根,则公比q=　　　　　,S5=　　　　　.
15.已知等比数列{an}的前n项和Sn=λ·3n-1-1(λ∈R),则=　　　　　.
16.(2025江苏泰州高三检测)记Sn为等比数列{an}的前n项的和,若S3=,S6=,则a12=　　　　　.
17.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若3S2>S6>0,则公比q的取值范围为　　　　　.
三．解答题
18.在等比数列{an}中,
(1)已知a1=1,公比q=-2,求前8项和S8;
(2)已知a1=-,a4=96,求前4项和S4;
(3)已知公比q=,前5项和S5=,求a1,a5.
19.(2025甘肃兰州高二检测)已知等比数列{an}是递增数列,且a1+a5=17,a2a4=16.
(1)求数列{an}的公比;
(2)若数列{an}的前n项和为Sn,且S2n>an,求n的最小值.
20.(2025江苏南通高二检测)设等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=4,a1,a3,a2成公差不为零的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}中的最大项与最小项.
参考答案
1.B　根据题意,设等比数列{an}的公比为q(q≠1),
由a1=-1,a4=64,则q3==-64,解得q=-4,则S4==51.故选B.
2.C　设数列{an}的公比为q,显然q≠1且q≠-1,由已知,得q==2.所以.故选C.
3.C　设等比数列{an}的公比为q,根据题意得,=q3=2,
则=1+q3=3.
故选C.
4.C　由题意知q4==16且q>0,则q=2,a1=2,∴Sn==510,解得n=8.
5.C　设等比数列{an}的公比为q,
若q=1,则an=a3=5,S3=3a3=15,成立.
若q≠1,∵S3=15,a3=5,
∴
解得q=1(舍去)或q=-.
综上,q=1或q=-.故选C.
6.C　设等比数列{an}的公比为q,由32S10=31S5可知q≠1(否则320a1=155a1不成立),
则有32×=31×,化简得32(1+q5)=31,解得q=-,
于是a6=a1q5=-.
7.C　由题意等比数列{an}的前n项和Sn=2n+b,
则当n=1时,a1=S1=2+b,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+b-2n-1-b=2n-1.
因为{an}是等比数列,故a1=2+b一定符合上式,
故a1=2+b=1,∴b=-1.故选C.
8.C　由题意可设前n组里含有的正整数的个数为Sn,
则Sn=1+2+22+23+…+2n-1==2n-1,
由于S10=210-1=1 023<2 025,S11=211-1=2 047>2 025,故2 025在第11组.
9.D　设等比数列{an}的公比为q,若q=1,则由S6=4S3,得6a1=12a1,所以a1=0,不符合题意;
故q≠1,则由S6=4S3,得=4·,
则1+q3=4,所以q3=3,
因为a2+a5=a2(1+q3)=4a2=8,
所以a2=2,所以a8=a2q6=2×9=18.故选D.
10.A　根据题意,等比数列{an}的公比q>0.由2S3=3a2+8a1,有2(a1+a2+a3)=3a2+8a1,即2a3-a2-6a1=0,由等比数列的通项公式得2a1q2-a1q-6a1=0,即2q2-q-6=0,解得q=2或q=-(舍去).故选A.
11.C　当n=1时,a1=S1=2(a1-1),可得a1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,所以an=2an-1,
所以数列{an}为等比数列,公比为2,首项为2,
所以通项公式为an=2n,故选C.
12.A　设等比数列{an}的公比为q(q≠1),由于数列是等比数列,Sn=qn,通过对比系数可知b=-2,且公比q=3,故Sn=2·3n-2,首项a1=S1=6-2=4.故是首项为,公比为的等比数列,其前n项和为(1-),故选A.
13.ABD　设等比数列{an}的公比为q.对于A,B,当q≠1时,Sn=qn,则c=,a=-,b=q,所以ac=-<0,故A,B正确;
对于C,若{Sn}为等比数列,则其通项公式必须满足a·bn的形式,此时c=0,则a=0,显然不符合,故C错误;
对于D,当q=1时,Sn=na1,显然是一次函数形式,不是指数形式,所以q≠1,故{an}不可能为常数列,所以D正确.故选ABD.
14.　∵a1,a2是方程2x2-3x+1=0的两根,且等比数列{an}是递减数列,∴a1=1,a2=,则公比q=,∴S5=.
15.9　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=λ·3n-1-1-(λ·3n-2-1)=2λ·3n-2,
故a2=2λ,等比数列的公比为3.
∵a1=S1=λ·31-1-1=λ-1,
∴3(λ-1)=2λ,解得λ=3,a1=λ-1=2,∴数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列,
∴=9.
16.1 024　设等比数列{an}的公比为q(q≠0),
由S3=,S6=,则S6≠2S3,
即q≠1,
所以S3=,S6=,
将上面两个等式的两边分别相除,得1+q3=9,解得q=2.
由S3=,可得a1=,因此a12=×211=1 024.
17.(-1,0)∪(0,1)　由题可知q≠1,则S6==a1(q+q2+1)(1+q3).
因为q+q2+1=>0,所以由S6>0,可得a1(1+q3)>0,
由3S2>S6,可得3a1+3a1q>a1(q+q2+1)(1+q3),
即3a1(1+q)>a1(1+q)(q2+q+1)(q2-q+1),
则3a1(1+q)>a1(1+q)(q4+q2+1),即-a1(1+q)(q2-1)(q2+2)>0,
即-a1(1+q)2(q-1)(q2+2)>0,
则a1(q-1)<0.因为q≠0,
若a1>0,则
解得q∈(-1,0)∪(0,1);
若a1<0,则
解得q∈ .
故公比q的取值范围为(-1,0)∪(0,1).
18.解(1)∵a1=1,公比q=-2,
∴前8项和S8==-85.
(2)设等比数列{an}的公比为q,
∵a1=-,a4=96,
∴-q3=96,解得q=-4,∴前4项和S4=.
(3)∵公比q=,前5项和S5=,∴a1·,解得a1=2,
∴a5=2×()4=.
19.解(1)因为在等比数列{an}中,a1+a5=17,a2a4=a1a5=16,可得
且数列{an}是递增数列,
则
设等比数列{an}的公比为q,可得a5=a1q4=16,解得q=±2.
因为{an}为递增数列,所以q=2(负值舍去).
(2)由(1)可知a1=1,q=2,an=2n-1,则Sn==2n-1.
若S2n>an,即22n-1>×2n-1=×2n,
整理可得22n-×2n-1>0,解得2n>9或2n<-(舍去),
且n∈N*,所以n的最小值为4.
20.解(1)设等比数列的公比为q,由a1,a3,a2成公差不为零的等差数列,
可知2a1q2=a1+a1q,即2q2=1+q,解得q=-或q=1(舍去),所以an=a1qn-1=4×=(-2)3-n.
(2)因为q≠1,所以Sn=,
所以当n为奇数时,单调递减,故当n=1时,有最大值,且>0;
当n为偶数时,=-单调递增,故当n=2时有最小值-,且-<0.
综上,可知Sn有最大值=4,最小值=2.