“正弦定理”的教学
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课堂教学案例
“正弦定理”的教学
------ 数学知识的发现学习
[提示] 发现学习，指学生在学习情境中通过自己的探索、调查从而获得问题和形成观念的一种学习方式．发现包括让学生独立思考，改组材料，自行发现知识，发现事物的意义，掌握原理和原则．“正弦定理”的教学案例让我感受到，发现学习是极为生动活泼的学习．
片段一：正弦定理的推导、发现
教学情境：
[老师先利用多媒体投影直角三角形，引导学生观察，再提问引入]
老师：同学们，三角形是从小学开始我们就认识的图形，而直角三角形又是最简单的三角形，谁能说说直角三角形有哪些边角关系？（由于问题简单，同学们纷纷举手回答）
学生： ，， ， 等
老师：同学们回答得很好，在关系式 与 中，它们有何联系？与会相等吗？
学生：相等，由变形可知 ．
老师：因此，两边与它们对角正弦值的比相等．该比值与相等吗？为什么？
学生：因为， 所以： ．
老师： 对于锐角三角形，关系式： 是否成立？要找出边与角的正弦之间的关系，就要把锐角三角形转化直角三角形，如何转化？
学生：作高．则，，
所以
同理可证： ，
所以在锐角三角形中也有：
．
老师：从上面的探究我们发现，在直角和锐角三角形中都有：各边和它所对角的正弦的比相等．而在钝角三角形有这样的结论吗？请同学们同桌之间相互讨论，共同探究，说明理由．
[让两位同学把自己的推理过程用展台展示，老师点评，共同归纳，正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
即
片段二：三角形解的个数的发现
教学情境：
[老师设计关于‘已知两边和一边对角解三角形’的三个问题，由同学们讨论分析，并让三位学生上黑板表演]
1. 在中，已知 ，，，求．
2．在中，已知，，，求.
3．在中，已知 ，，，求．
学生一：由正弦定理得：
，
学生二：∵，
，
学生三：在中，
，
教师问：哪位同学来评析，问题1的解题过程是否严谨？为什么？
学生答：不严谨，因为若，满足的角有无穷多个，
因此必需说明：在中，，．
教师讲：这位同学说得很好．数学是清楚的，推理是严密的，不存在丝毫的含糊．我们再来看题二、题三的解题过程，它们是否也存在问题？哪两位同学上来评析，并改正．
学生甲：因为，满足 的角有两个，所以
或 ．
学生乙：因为，满足 的角有两个，所以
或 ．
教师问：甲乙两位同学的评析是否有道理？谁还有补充，请举手．
[有的说对，有的说错，有的同桌交流讨论，有的举手…… ]
学生丙：我认为，在题三中，虽然，满足 的角有两个，但已知，，因此应舍去
则有 ．
[老师当场表扬丙同学的思维严密，步步有理．]
学生丁：在题二中，答案或 没错，但为什么取两解而不是一解？要有充分的理由：， .否则思维不严密．
教师讲：（先肯定两位同学的补充）从上面三个问题的探究，你们发现什么问题？得否出什么结论？
学生： 已知两边和一边对角解三角形，三角形可能有一解，也可能有两解，解的情况要根据三角形中大边对大角，小边对小角的原则来判定．
………
[案例分析]
从新课程教学论的观点看：教学过程既是学生的认识过程，又是学生发展的过程．数学教师的主要任务就是为学生设计学习的情境，提供全面、清楚的有关信息，引导学生在教师创设的教学情境中，自己开动脑筋进行探究学习，发现和掌握数学知识．在学生思考问题时，不到有所领悟时，不告诉他答案，使学生的思考‘跳一跳，够得着’，使学生体验到学习的快乐．
本案例的教学特点是：第一、老师精心设计问题情境，循序渐进，有利于激发学生的学习兴趣．第二，从直角三角形引入探究正弦定理，顺应学生的思维，符合学生的认知规律，学生学得自然．第三，采用指导发现法，教师在关键时指导，学生探究、讨论、发现，形成数学理论.如要求学生从直角三角形到一般三角形推导正弦定理，从学生板演三个练习讨论发现三角形解的情况，充分体现了“学生是课堂的主体”这一课改理念; 体现了课堂教学不仅是传授知识的过程，而且更应该是师生共同建构知识的过程; 体现了课堂教学不是教师单独表演的过程，而是师生交流互动的过程．第四，本案例的教学，还体现了方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等数学思想方法在解题中的应用.
本案例主要采用指导发现法进行教学，发现学习的优点有：
（1）有利于激发学生的好奇心及探索未知事物的兴趣．
（2）通过练习解决问题，有助于学会发现探索的技巧与方法，有助于学生解决今后实际生活中的问题．
（3）有助于学生增进记忆能力，主动改进知识结构，因而提高有效检索信息的能力．
（4）有提高智慧的作用．发现学习有助于学生直觉思维、批判性思维、 创造性思维的发挥．
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课堂教学案例
“正弦定理”的教学
------ 数学知识的发现学习
[提示] 发现学习，指学生在学习情境中通过自己的探索、调查从而获得问题和形成观念的一种学习方式．发现包括让学生独立思考，改组材料，自行发现知识，发现事物的意义，掌握原理和原则．“正弦定理”的教学案例让我感受到，发现学习是极为生动活泼的学习．
片段一：正弦定理的推导、发现
教学情境：
[老师先利用多媒体投影直角三角形，引导学生观察，再提问引入]
老师：同学们，三角形是从小学开始我们就认识的图形，而直角三角形又是最简单的三角形，谁能说说直角三角形有哪些边角关系？（由于问题简单，同学们纷纷举手回答）
学生： ，， ， 等
老师：同学们回答得很好，在关系式 与 中，它们有何联系？与会相等吗？
学生：相等，由变形可知 ．
老师：因此，两边与它们对角正弦值的比相等．该比值与相等吗？为什么？
学生：因为， 所以： ．
老师： 对于锐角三角形，关系式： 是否成立？要找出边与角的正弦之间的关系，就要把锐角三角形转化直角三角形，如何转化？
学生：作高．则，，
所以
同理可证： ，
所以在锐角三角形中也有：
．
老师：从上面的探究我们发现，在直角和锐角三角形中都有：各边和它所对角的正弦的比相等．而在钝角三角形有这样的结论吗？请同学们同桌之间相互讨论，共同探究，说明理由．
[让两位同学把自己的推理过程用展台展示，老师点评，共同归纳，正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
即
片段二：三角形解的个数的发现
教学情境：
[老师设计关于‘已知两边和一边对角解三角形’的三个问题，由同学们讨论分析，并让三位学生上黑板表演]
1. 在中，已知 ，，，求．
2．在中，已知，，，求.
3．在中，已知 ，，，求．
学生一：由正弦定理得：
，
学生二：∵，
，
学生三：在中，
，
教师问：哪位同学来评析，问题1的解题过程是否严谨？为什么？
学生答：不严谨，因为若，满足的角有无穷多个，
因此必需说明：在中，，．
教师讲：这位同学说得很好．数学是清楚的，推理是严密的，不存在丝毫的含糊．我们再来看题二、题三的解题过程，它们是否也存在问题？哪两位同学上来评析，并改正．
学生甲：因为，满足 的角有两个，所以
或 ．
学生乙：因为，满足 的角有两个，所以
或 ．
教师问：甲乙两位同学的评析是否有道理？谁还有补充，请举手．
[有的说对，有的说错，有的同桌交流讨论，有的举手…… ]
学生丙：我认为，在题三中，虽然，满足 的角有两个，但已知，，因此应舍去
则有 ．
[老师当场表扬丙同学的思维严密，步步有理．]
学生丁：在题二中，答案或 没错，但为什么取两解而不是一解？要有充分的理由：， .否则思维不严密．
教师讲：（先肯定两位同学的补充）从上面三个问题的探究，你们发现什么问题？得否出什么结论？
学生： 已知两边和一边对角解三角形，三角形可能有一解，也可能有两解，解的情况要根据三角形中大边对大角，小边对小角的原则来判定．
………
[案例分析]
从新课程教学论的观点看：教学过程既是学生的认识过程，又是学生发展的过程．数学教师的主要任务就是为学生设计学习的情境，提供全面、清楚的有关信息，引导学生在教师创设的教学情境中，自己开动脑筋进行探究学习，发现和掌握数学知识．在学生思考问题时，不到有所领悟时，不告诉他答案，使学生的思考‘跳一跳，够得着’，使学生体验到学习的快乐．
本案例的教学特点是：第一、老师精心设计问题情境，循序渐进，有利于激发学生的学习兴趣．第二，从直角三角形引入探究正弦定理，顺应学生的思维，符合学生的认知规律，学生学得自然．第三，采用指导发现法，教师在关键时指导，学生探究、讨论、发现，形成数学理论.如要求学生从直角三角形到一般三角形推导正弦定理，从学生板演三个练习讨论发现三角形解的情况，充分体现了“学生是课堂的主体”这一课改理念; 体现了课堂教学不仅是传授知识的过程，而且更应该是师生共同建构知识的过程; 体现了课堂教学不是教师单独表演的过程，而是师生交流互动的过程．第四，本案例的教学，还体现了方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等数学思想方法在解题中的应用.
本案例主要采用指导发现法进行教学，发现学习的优点有：
（1）有利于激发学生的好奇心及探索未知事物的兴趣．
（2）通过练习解决问题，有助于学会发现探索的技巧与方法，有助于学生解决今后实际生活中的问题．
（3）有助于学生增进记忆能力，主动改进知识结构，因而提高有效检索信息的能力．
（4）有提高智慧的作用．发现学习有助于学生直觉思维、批判性思维、 创造性思维的发挥．
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