华东师大版（2024）八下15.4.1 零指数幂与负整数指数幂 学案（含答案）

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分课时学案
课题 15.4.1 零指数幂与负整数指数幂 单元 15 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.通过同底数幂除法法则的延伸推导，抽象出零指数幂与负整数指数幂的意义，理解指数幂的拓展逻辑，完善指数幂的运算体系，提升抽象概括能力。 2.经历零指数幂与负整数指数幂法则的“特殊到一般”推导过程，借助同底数幂除法法则进行演绎推理，明确法则的推导依据，培养严谨的逻辑推理能力和知识迁移能力。 3.能熟练运用零指数幂与负整数指数幂的运算性质，规范进行零指数幂、负整数指数幂的计算，能准确将负整数指数幂转化为正整数指数幂（或分数），解决简单的混合运算问题。
重点 1. 零指数幂的意义与运算性质。 2. 负整数指数幂的意义与运算性质，能熟练将负整数指数幂转化为正整数指数幂（或分数）。
难点 零指数幂、负整数指数幂与正整数指数幂的混合运算，规范运算顺序，准确处理符号问题。
教学过程
导入新课 思考：回答下面运算法则 (1)同底数幂的乘法： (2)幂的乘方： (3)积的乘方： (4)同底数幂的除法： 在同底数幂的除法公式am÷an=am-n中，有一个附加条件： m>n，即被除数的指数大于除数的指数. 【想一想】当被除数的指数不大于除数的指数， 即m=n或m新知讲解 探究零指数幂 【探索】先考察被除数的指数等于除数的指数的情况. 例如下列算式： 52÷52，103÷103，a5÷a5 (a ≠0). 想一想：怎样计算这几个算式？ 如果仿照同底数幂的除法公式来计算： 52÷52 =____________. 103÷103 =_____________. a5÷a5 =_________. 另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于_______. 你能得到什么结论？ 【概括】由此启发，我们规定： 【例】计算： （1）50；（2）( -2 )0；（3）（4 - π）0. 【探索】我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况， 例如下列算式： 52÷55，103÷107. 怎样计算这些算式？ 仿照同底数幂的除法公式来计算： 52÷55=____________. 103÷107 =____________. 另一方面，我们可以利用约分，直接算出这两个式子的结果： 你能得到什么结论？ 一般地，我们规定 【例1】 计算 【例2】 用小数表示下列各数： （1）10-4 ； （2）2.1×10-5 . 我们知道，正整数指数幂有如下运算性质： （1） am · an=am+n (m，n是正整数)； （2） am÷an=am-n (a≠0，m，n是正整数，m>n)； （3）（am）n=amn (m，n是正整数)； （4）（ab）n=an · bn (m，n是正整数). 我们已经引进零指数幂和负整数指数幂，指数的范围扩大到了全体整数，上述幂的运算性质是否还成立呢？也就是说，以上这些性质中，原来的限制是否可以取消，只要m、n是整数就可以了呢？ 例如，取m=2，n=-3，我们来检验性质（1）： 整数指数幂的运算性质，请尝试自己证明 (1) am· an=am+n(m， n 是整数)； (2) am÷ an=am-n( a ≠ 0， m， n 是整数)； (3) ( am) n=amn( m， n 是整数)； (4)( ab ) n=anbn( n 是整数).
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.（- ）0 =（ ） A.- B. C.0 D.1 2. 2-1 表示的是（ ）. A. 2的绝对值 B. 2的相反数 C. 2的倒数 D. 2的倒数的相反数 3. 已知a=-22，b=（-2）-2，c=（）-2，d=（ ）0，把a，b，c，d按从小到大的顺序排列为( ). A. a作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.下列式子中正确的是（ ）. A. 3-2=-6 B. 3-2=0.03 C. 3-2= D. 3-2= 2．若(a－1)0＋3(a－4)-2 有意义，则a的取值范围是(　　). A．a＞4 B．a＜4 C．a≠1且a≠4 D．a≠1 【知识技能类作业】选做题： 3. 若a2m－1÷a-3＝a-2，则m -2的值是(　　) A．－2 B．－3 C．4 D． 4.下列各式计算正确的有(　　) ①(－3)－1＝－3； ②3－2＝－32； ⑤(π－3)0＝1； ⑥2－3＝－8． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【综合拓展类作业】 5.【阅读材料】如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如30＝1； ②底数为1的整数幂，例如1-2＝1； ③底数为－1的偶数次幂，例如(－1)2＝1． 【知识运用】若(x＋2)x＋4＝1，求x的值；
答案：
巩固训练
【知识技能类作业】必做题：
2. 2-1 表示的是（ C ）.
A. 2的绝对值
B. 2的相反数
C. 2的倒数
D. 2的倒数的相反数
3. 已知a=-22，b=（-2）-2，c=（）-2，d=（ ）0，把a，b，c，d按从小到大的顺序排列为( A ).
A. aC. a4.计算：
(1)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；
(2)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
解：(1)原式＝9x4y-4÷x-6y3＝9x4y-4·x6y-3＝9x10y-7
(2)原式＝(27×10-15)÷(9×10-12)＝3×10－3
【知识技能类作业】选做题：
5. 若 (2x－1)0 有意义，则x的取值范围是(　C　).
A．x＝2 B．x≠0
C．x≠ D．x＝
6. 若(x－3)0－2(3x－6)-2有意义，则x的取值范围是(　C　).
A. x＞3
B. x≠3 且 x≠2
C. x≠3 或 x≠2
D. x＜2
【综合拓展类作业】
7. 已知| a+ |＋(b－1)2＝0，则4a-2b的值为多少？
解：∵ | a+|＋(b－1)2＝0，∴a＋＝0，b－1＝0.
∴a＝- ，b＝1.
∴4a－2b＝4× ×1＝36.
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1.下列式子中正确的是（ C ）.
A. 3-2=-6 B. 3-2=0.03
C. 3-2= D. 3-2=
2．若(a－1)0＋3(a－4)-2 有意义，则a的取值范围是(　C　).
A．a＞4
B．a＜4
C．a≠1且a≠4
D．a≠1
【知识技能类作业】选做题：
3. 若a2m－1÷a-3＝a-2，则m -2的值是(　D　)
A．－2 B．－3 C．4 D．
4.下列各式计算正确的有(　　)
①(－3)－1＝－3； ②3－2＝－32；
⑤(π－3)0＝1； ⑥2－3＝－8．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【综合拓展类作业】
5.【阅读材料】如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况：
①底数不为零的零指数幂，例如30＝1；
②底数为1的整数幂，例如1-2＝1；
③底数为－1的偶数次幂，例如(－1)2＝1．
【知识运用】若(x＋2)x＋4＝1，求x的值；
【解】分三种情况讨论：
①当x＋4＝0且x＋2≠0时，(x＋2)x＋4＝1，此时x＝－4；
②当x＋2＝1且x＋4为整数时，(x＋2)x＋4＝1，此时x＝－1；
③当x＋2＝－1且x＋4为偶数时，(x＋2)x＋4＝1，此时x无解．
综上所述，若(x＋2)x＋4＝1，则x的值为－4或－1.
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