辽宁省实验中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷（扫描版，含答案）

2025—2026学年度上学期期末考试高二年级数学试卷
参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A D D C D D
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 BC ABD ACD
三、填空题
29
12. 24 13. ( 2 6 1, 1) ( 1,2 6 1) 14. 7
四、解答题
15.解：（1）因为C3n C
2022
n ，所以n 3 2022 2025 .………………2分
所以展开式中所有二项式系数的和等于 22025.………………4分
（2）设 t x ，则 g(t) (t 2)2025 ，
所以 ( x 2)2025展开式中奇数项的系数即为 (t 2)2025 展开式中奇次项的系数
g(1) g( 1) 32025 1
所以 ( x 2)2025展开式中所有奇数项的系数和等于 .
2 2
……………8分
（3）设 ( x 2)2025展开式中系数最大的项是第 r 1项
C r 2025 2
r C r 1 r 12025 2 4049 4052则 ，解得 r ， r r
C2025 2 C
r 1 2r 1 3 32025
又因为 r *N ，所以 r 1350，………………12 分
所以展开式中系数最大项是第1351项.………………13分
16.解：（1）连接BD，交 AC于点O ，因为 AB BC 2， ABC 60 ，所以 AC 2
又因为 AA1 AC 2， A1AC 60 ，所以 A1A A1C 2，
因为O 是 AC的中点，所以 A1O AC ………………2分
又因为平面 AA1C1C 平面 ABCD ，平面 AA1C1C 平面 ABCD AC ，
所以 A1O 平面 ABCD ………………4分
高二数学参考答案第 1 页共 5 页

以点O 为原点，OB,OC,OA 的方向分别为 x轴， y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐1
标系.………………5分
则 A(0, 1,0) ，C(0,1,0)， B1( 3,1, 3) ，D( 3,0,0) ，C1(0,2, 3)

则 AC (0,2,0)，CB1 ( 3,0, 3)

设平面B AC 的一个法向量为 n (x , y , z ) ， 1 1 1 1 1
2y1 0
则 ，可以取 n1 (1,0, 1) ………………7分
3x1 3z1 0

设CP CC1(0 1) ，则DP ( 3,1 , 3 )

由 n DP 0 ，得 3 3 0，即 1，………………8分 1
从而点 P 即C ，则CP CC 2 .………………9分 1 1

（2）依题意CC1 (0,1, 3)， DC ( 3,1,0)

设平面CDC 的一个法向量为 n2 (x ， 1 2 , y2 , z2 )
y 3z 0
则 2 2 ，可以取 n2 (1, 3,1)………………11分
3x2 y2 0

因为BD1 ( 2 3,1, 3)………………12分
设直线 BD 与平面CDC 所成角为 ， 1 1
2 3 3 3 15
则 sin cos BD ,n .………………14分 1 2
4 5 10
15
所以直线 BD 与平面1 CDC 所成角的正弦值为 . ………………15分 1
10
p p
17.解：（1）设点M (x, y)，则 | MF | x 1，………………2分
2 2
所以 p 2，抛物线 E 的方程为 y2 4x .………………4分
（2）设点 A(x1, y1)，B(x2 , y2) ， F(1,0)，
设直线 l : x my 3，代入 y2 4x，得 y2 4my 12 0，
因为 0，所以 y1 y2 4m， y1 y2 12 ………………6分
高二数学参考答案第 2 页共 5 页

FA FB (x 1, y ) (x 1, y )
因为直线 FT 平分 AFB，所以 FT ( ) ( 1 1 2 2 )
| FA | | FB | x1 1 x2 1
x 1 x
( 1 2
1 y
, 1
y
2 ) (1,1)
x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
x1 1 x 1 y y
由此可得
2 1 2 ，即2x1x2 2 y1(x2 1) y2(x1 1)
x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
y 2 y 2
所以 2 1 2 2 y1(my2 4) y2 (my1 4) 2my1y2 4(y1 y ， 2 )
4 4
将 y1 y2 4m， y1 y2 12 代入整理得 8m 16，即m 2，………………8分
1
即直线 l 的斜率等于 .………………9分
2
（3）因为 | AB | 1 m2 | y1 y2 | 4 35 ………………10分

FA FB (x1 1)(x 1) y y 3cos AFB 2 1 2 ………………12分
| FA | | FB | (x1 1)(x2 1) 4
7
所以 sin AFB ………………13分
4
设△ ABF 外接圆的半径为 R ，
| AB |
则 2R 16 5 ，所以R 8 5 ………………14分
sin AFB
所以△ ABF 外接圆的面积为320 ．………………15分
18.解：（1）因为PA 平面 ABCD ， AD 平面 ABCD ，所以PA AD
因为 AB 3， BC 3， ABC 90 ，所以 BAC 60
因为∠BAD 150 ，所以 DAC 90 ，即 AD AC，
又 PA AC A，所以 AD 平面PAC ………………4分
（2）依题意，直线 AC, AD, AP两两垂直，

以点 A为原点， AC, AD, AP的方向分别为 x轴， y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐
标系.………………5分
3 3
则 A(0,0,0)， B( , ,0)，C(2 3,0,0)，D(0,3,0)，
2 2
高二数学参考答案第 3 页共 5 页

设 P(0,0,h) ，PE PB， PF PC ，PG mPD(0 , ,m 1)
3 3
由 AE GF 可得 ( , ,(1 )h) 2 3 , 3m,(m )h ，
2 2
4 1 2
解得 , ,m ………………9分
5 5 5
2 3 6 h 6 3h
所以 AE ( , , )， EF (0, , ) .
5 5 5 5 5
6 6
又因为 | AE | | EF |，所以 h ，即 PA ………………11分
2 2
2 3 6 6 6 3 6
（3）依题意 AE ( , , )， AG (0, , )
5 5 10 5 10

设平面 AEFG的一个法向量为 n1 (x, y, z) ，
2 3 6 6
x y z 0
5 5 10
则 ，可以取 n1 (4 2, 6, 4)………………13 分
6 3 6
y z 0
5 10

又因为平面 ABCD 的一个法向量为 n2 (0,0,1) ………………14分
设直线 AEFG与平面 ABCD 所成角为 ，
4 2 6
则 cos cos n1,n2 ………………16分
1 32 6 16 9
2 6
所以直线 AEFG与平面 ABCD 所成角的余弦值为 ………………17 分
9
19.解：（1）设圆C 的半径为 r 0，因为圆C 内切于圆C ， 2 1
所以圆C 与圆C 内切时， | CC1 | 3 r 3，圆C 与圆C 外切时， | CC2 | 1 r 1， 1 2
所以 | CC1 | | CC2 | 4 2 | C1C2 |，
x2 y2
由椭圆的定义可知，轨迹 E 的方程为 1（ x 2）.………………4分
4 3
x2 y2
（2）设直线 AB的方程为 y kx m，代入 1，
4 3
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得 (4k2 3)x2 8kmx 4m2 12 0，
所以当 48(4k2 m2 3) 0时，
8km
x x 2，即 4k
2 3 4km………………6分
1 2
4k 2 3
1 m 3 4k
2 m2
因为 S△ m x x 2 3 ………………7分 OAB 1 2
2 3 4k 2
m2 3 4k 2 m2
所以 S 2 ………………8分 OAB 2 3 3
3 4k 2
当且仅当 m 3 4k 2 m2 时取等号，
又因为 24k2 3 4km，由此可解m 2km 0 得m 2k 或m 0（舍）
3 3
代入 24k2 3 4km，可得 k ，即 k （满足 0）
4 2
3
所以当 k 时，△OAB面积的最大值为 3 . ………………10分
2
3 3
（3）由PA PB 0，所以 (x1 1)(x2 1) (y1 )(y2 ) 0
2 2
2 3k 2 13即 (1 k )x1x2 (km 1)(x1 x2 ) m 3m 0
2 4
9
即 7m2 (8k 9)m k 2 0 ………………12分
4
3 3
所以 (7m k )(m k ) 0，………………13分
2 2
3 3
所以 k 7m 或 k m
2 2
3 3
因为直线 l 不经过点 P(1, )，所以 k m ………………15分
2 2
3 3
所以直线 l 为 y ( 7m )x m m(1 7x) x
2 2
1 3
直线 l 恒过定点 ( , ) .………………17分
7 14
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