辽宁省实验中学2026届高三上学期开学考试数学试卷（扫描版，含答案）

2025—2026学年度上学期期末考试高三年级数学试卷答案
一、单项选择题
1．D 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．D
二、多项选择题
9．BCD 10．BCD 11．ACD
三．填空题：
5 5
12． 13 6． 14． 或
2 8 32
四、解答题：
15．（Ⅰ） f (x) 4( 2 cos x 2 sin x) sin x 2 2 cos 2 x
2 2
2 2 sin x cos x 2 2 sin 2 x 2 2 cos 2 x
2 sin 2 x 2 2 1 cos 2 x 2 2 cos 2 x
2
2 sin 2 x 2 cos 2 x 2
2sin（2 x ) 2 .............4分
4
1 sin（2 x ) 1 y f x 的值域为[ 2 2,2 2] .............6分
4
2k 2 x 2k 3 （Ⅱ）由 ,k Z
2 4 2
2k 5 2k
得 4 x 4 ,k Z .............8分
2 2
f (x) 在区间 ( , )内单调递减
2
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1
2k

2k 4 4

2 2 ,k Z k 5 ,k Z .............11分
2k 5 8
4 0
2
k 5 5 1 1 5当 k 1时， 0；当 k 1时， k 2k k 0
8 8 4 4 8
1 5
即 的取值范围是 ， .............13分 4 8
16．（Ⅰ）用 A表示“甲在 4局以内（含 4局）赢得比赛”， Ak 表示“第 k局甲获胜”，Bk 表
2 1
示“第 k局乙获胜”，则 P(Ak ) ， P(Bk ) ,k 1, 2,3, 4,5，3 3
P(A) P(A1A2) P(B1A2A3) P(A1B2A3A4)
P(A1)P(A2 ) P(B1)P(A2 )P(A3) P(A1)P(B2 )P(A3)P(A4 )
2 2 1 2
2 2

2 1 2 56
3

3 3 3 3 3
. .............4分
81
（Ⅱ） X 的可能取值为 2,3, 4,5 .
P(X 2) P(A A ) P(B B ) P(A )P(A ) P(B )P(B ) 2 2 1 1 51 2 1 2 1 2 1 2 ， .............6分3 3 3 3 9
P(X 3) P(B1A2A3) P(A1B2B3) P(B1)P(A2 )P(A3) P(A1)P(B2 )P(B3)
1 2 2 2 1 1 2
， .............8分
3 3 3 3 3 3 9
P(X 4) P(A1B2A3A4 ) P(B1A2B3B4 ) P(A1)P(B2 )P(A3)P(A4 ) P(B1)P(A2 )P(B3)P(B4 )
2 1 2 2 1 2 1 1 10
.............10分
3 3 3 3 3 3 3 3 81
P(X 5) 1 P(X 2) P(X 3) P(X 4) 8 . .............12分
81
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故 X 的分布列为
X 2 3 4 5
5 2 8
P 10
9 9 81 81
.............14分
E(X ) 2 5 3 2 4 10 5 8 224所以 . .............15分
9 9 81 81 81
17．（Ⅰ）以 B为原点， BA，BC所在直线为 x, y轴，
过点 B作 z轴 平面 BAC ，建立空间直角坐标系，则
A 2,0,0, ,B 0,0,0 ,C 0,2 2,0 ，
x 2 2 y 2 z 2 14
P x, y, z x2 y2 z2设 ，所以由 6 ，可得：

2
x y 2 2
2
z2 6
x 1, y 2, z 3，所以 P 1, 2, 3 ， ........3分
1
则D ,
2 , 3 1 2 3 ，所以 E2 2 2
, ,
2 2 2
， F 1, 2,0 ，


AO 2, 2,0 , AD 5 ,
2 , 3
2 2 2



n AO 0 2x1 2y1 0
设平面 ADO的法向量为 n (x , y , z ) 1，则

1 1 1 1 ，得 ， n1 AD 0
5
x
2 3
1 y1 z1 0 2 2 2

令 x1 1，则 y1 2, z1 3，所以 n1 1, 2, 3 .............6分

BE 1 , 2 , 3

,BF 1, 2,0
2 2 2

设平面 BEF的法向量为 n2 x2 , y2 ,z2 ，
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n BE 0 1 x 2 3 2


2 2
y2 z2 0
则 ，得 2 2 ，
n2 BF 0 x2 2y2 0

令 x 2，则 y2 2, z2 0，所以 n2 2, 2,02 .............9分

n1 n2 2 1 2 2 0 0，
所以平面 ADO 平面 BEF .............11分

（Ⅱ）平面 ADO的法向量为 n1 1, 2, 3 ，平面 ACO的法向量为n3 0,0,1 ，
n1 n3 2
所以 cos n1,n3 .............13分
| n1 || n 23 |

因为 n1,n3 0,π 2，所以 sin n ,n 1 cos21 3 n1,n3 ，2
故二面角D AO C 2的正弦值为 .............15分
2
18．解：（Ⅰ）设 E(x, y)
y y 3
，则 .............2分
x 2 x 2 4
x2 y2
化简得 1 (x 2) .............4分
4 3
所以曲线 C是中心在原点焦点在 x轴上不含左、右顶点的椭圆． .............5分
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知直线 l与 x轴不重合，设 l： x my 1
x2 y2
代入 1得 (3m2 4)y2 6my 9 0
4 3
设 P x1, y
6m 9
1 ，Q x2 , y2 ，则 y1 y2 2 , y1y2 2 .............7分3m 4 3m 4
| PQ | 1 m2 | y1 y2 | 1 m
2 (y1 y
2
2 ) 4y1y2
1 m2 ( 6m )2 4( 9 ) 12(1 m
2 )
2 2 2 4
4
.............9分
3m 4 3m 4 3m 4 3m2 4
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当m 0时， | PQ |最小，最小值为 3 .............10分
y1 y2 2m 3 y1 yⅱ 2（ ）由（i）知 m y1y2 3 2 y1y2
G(4, y ),Q(my 1, y ) k y y y 2 1 2 y1 21 2 2 GQ ymy2 3 3 y1 y
1
2 y 3 3 .............13分
2 y1y
2
2
2
QG : y y1 y1(x 4) y
2 5
即 y1(x )3 3 2
QG
5
故直线 过定点H , 0 ． .............15分
2
因为OM QG，所以△OHM 为直角三角形，
N 5 1 5取 OH的中点 ,0 ，则 MN OH ，即 MN 为定值．
4 2 4
5
综上，存在定点 N ,0 ，使得 MN 为定值．.............17分
4
19．解：（I） f ' (x) ln x 1设切点为Q(x0 , y0 )，则
切线为 y x0 ln x0 (ln x0 1)(x x0 )，
将 (0, 1)代入，得 x0 1 ..............2分
切线方程为 y x 1 ..............3分
2x ln x 1
（II）当 x (1, )时， f (x) g(x)等价于 a 2 ..............5分x
h(x) 2x ln x 1设 2 ，则 h' (x)
2(x 1 x ln x)

x x3
设u(x) x 1 x ln x，则u' (x) ln x 0
u(x)在 (1, )上递减 u(x) u(1) 0 h' (x) 0
h(x)在 (1, )上递减 h(x) h(1) 1 a 1
a的取值范围是[1, ) ..............8分
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（III）由（II）取 a 1，当 x 0, 时， f (x) g(x)恒成立，
2
xlnx x 1 x
2 1
即 恒成立，即 lnx 恒成立 ..............10分
2 2x
(k 1)2k 1 k 1 1ln k 2k 1 1 1令 x ，得 k 1 ..............12分k k 2 2k(k 1) 2k 2(k 1)
k
ln n 1 1 1 , ln n 2 1 1 , ,
n 2n 2(n 1) n 1 2(n 1) 2(n 2)
ln 2n 1 1
2n 1 2(2n 1) 2(2n)
ln n 1 ln n 2 ln 2n
n n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1
2n 2(n 1) 2(n 1) 2(n 2) 2(2n 1) 2(2n)
1 1 1 1
n 1 n 2 2n 4n
ln 2 1 1 1 1 ..............16分
n 1 n 2 2n 4n
1 1 1 1
e n 1 n 2 2n e 4n 2(n N ) ..............17分
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