鲁教五四版七下8.1 为什么要证明 分层作业（含解析）

第八章 证明 为什么要证明 （分层作业）
1．某校举行“定向越野比赛”，将参赛人员分成若干小组，每组四人，四人需完成各自对应的挑战任务．比赛规则如下：
①出发规则：每次需两名队员从起点同时出发，沿路线完成挑战任务到达终点，耗时以两人中较慢者的挑战完成时间为准（例如甲完成他的挑战需1分钟，乙完成他的挑战需2分钟，则两人同时出发耗时2分钟）；
②返程规则：到达终点后，一人留在终点，另一人必须立即返回起点（返程也需完成对应的挑战任务，耗时与原挑战时间相同，即甲返程仍需1分钟）；
③重复规则：已到达终点的队友可多次参与后续往返；
④结束规则：当四人全部到达终点时，比赛结束．
某组的甲、乙、丙、丁四位队员完成单程挑战任务所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，则该组队员完成比赛所需的最短时间为（　　）
A．12分钟 B．13分钟 C．14分钟 D．15分钟
2．数独是一款风靡全球的逻辑推理填数游戏，起源于18世纪瑞士数学家莱昂哈德 欧拉研究的“拉丁方块”．其玩法规则是在一个9×9的方格网格中，用数字1到9填满整个网格，这个网格又被划分为9个3×3的小宫格，要求每一行、每一列、每一个3×3的小宫格都必须包含数字1到9，且不能重复．如图，在下面的数独游戏中，◆的位置应该填的数字是（　　）
A．3 B．6 C．4 D．7
3．三位同学玩“谁是卧底”游戏，其中卧底提供的信息是完全相反的．关于校篮球队本周比赛的得分，三人的说法如下：
珍珍：得分不少于67分；
欣欣：得分不少于64分；
丁丁：得分为奇数．
其中珍珍是卧底，则通过三人的对话，分析可知校篮球队本周比赛的得分为（　　）
A．63分 B．64分 C．65分 D．67分
4．一次游泳比赛，有甲、乙、两、丁四个人参加决赛，赛前他们对比赛进行了预测．甲说：“我第一，乙第二．”乙说：“我第一，甲第四．”丙说：“我第一，乙第四．”丁说：“我第四，丙第一．”比赛结果无并列名次，且四人各都只说对了一半，那么丁是第（　　）名．
A．二 B．一 C．四 D．三
5．为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如表所示，由此可以推断丁同学的得分为（　　）
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分
甲 √ × × √ × × 4分
乙 × √ × × √ × 4分
丙 × √ √ √ × √ 4分
丁 × × √ √ √ × ？
A．6 B．5 C．4 D．3
6．某工厂生产的一种产品由A，B两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有4条流水线生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）：
零件 流水线1 流水线2 流水线3 流水线4
A 80 90 70 60
B 100 120 110 70
程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换．
（1）如果只开通其中一条流水线，7天最多生产该产品　 　 件；
如果4条流水线都开通，7天最多生产该产品　 　 件．
1．有5个砝码，它们的质量分别为1000克、1001克、1002克、1004克和1007克，但砝码上并未注明质量而外观又完全相同．现有一台带指针的台秤，它可以称量物体质量的克数，怎样才能只称3次，就确定出重为1000克的砝码？
2．某校100名学生在一次语文，数学，英语三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加英语竞赛的有41人，既参加语文又参加数学竞赛的有14人，既参加数学又参加英语竞赛的有13人，既参加语文又参加英语竞赛的有9人，有1人这三项竞赛都不参加．三项都参加的有多少人？
答案：
基础巩固：
1．某校举行“定向越野比赛”，将参赛人员分成若干小组，每组四人，四人需完成各自对应的挑战任务．比赛规则如下：
①出发规则：每次需两名队员从起点同时出发，沿路线完成挑战任务到达终点，耗时以两人中较慢者的挑战完成时间为准（例如甲完成他的挑战需1分钟，乙完成他的挑战需2分钟，则两人同时出发耗时2分钟）；
②返程规则：到达终点后，一人留在终点，另一人必须立即返回起点（返程也需完成对应的挑战任务，耗时与原挑战时间相同，即甲返程仍需1分钟）；
③重复规则：已到达终点的队友可多次参与后续往返；
④结束规则：当四人全部到达终点时，比赛结束．
某组的甲、乙、丙、丁四位队员完成单程挑战任务所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，则该组队员完成比赛所需的最短时间为（　　）
A．12分钟 B．13分钟 C．14分钟 D．15分钟
【分析】通常在这种问题中，最优策略是让最快的两个人（甲和乙）多次往返，以减少返程时间．具体策略先让最快的两人（甲和乙）一起出发，然后让最快的（甲）返回．然后让最慢的两人（丙和丁）一起出发，让次快的（乙）返回．最后让最快的两人（甲和乙）一起出发．结合题意求得最短时间，即可求解．
【解答】解：由题意可得：要使得该组队员完成比赛所需的最短时间，
∴让最快的两个人（甲和乙）多次往返，以减少返程时间，
第一次出发：甲（1）和乙（2）一起出发．耗时：max（1，2）＝2分钟．
第一次返程：甲（1）返回．总时间：2+1 ＝ 3分钟，
第二次出发：丙（3）和丁（5）一起出发．耗时：max（3，5）＝5分钟．
总时间：3+5＝8分钟，
第二次返程：乙（2）返回．耗时：2分钟．
总时间：8+2＝10分钟，
第三次出发：甲（1）和乙（2）一起出发．耗时：max（1，2）＝2分钟．
总时间：10+2＝12分钟，
总计：2+1+5+2+2＝12分钟．
故选：A．
2．数独是一款风靡全球的逻辑推理填数游戏，起源于18世纪瑞士数学家莱昂哈德 欧拉研究的“拉丁方块”．其玩法规则是在一个9×9的方格网格中，用数字1到9填满整个网格，这个网格又被划分为9个3×3的小宫格，要求每一行、每一列、每一个3×3的小宫格都必须包含数字1到9，且不能重复．如图，在下面的数独游戏中，◆的位置应该填的数字是（　　）
A．3 B．6 C．4 D．7
【分析】观察发现第一列的6出现在第一个小宫格，第二列的6出现在第二个小宫格，第三列的6可以出现在第三个小宫格的◆的位置和A的位置，通过观察可以发现，A所在的行已有6出现，那么6只能在◆的位置．
【解答】解：根据题意，每一列都要出现一个6，第一列的6出现在第一个小宫格，第二列的6出现在第二个小宫格，第三列的6可以出现在第三个小宫格的◆的位置和A的位置，通过观察可以发现，A所在的行已有6出现，那么6只能在◆的位置．
故选：B．
3．三位同学玩“谁是卧底”游戏，其中卧底提供的信息是完全相反的．关于校篮球队本周比赛的得分，三人的说法如下：
珍珍：得分不少于67分；
欣欣：得分不少于64分；
丁丁：得分为奇数．
其中珍珍是卧底，则通过三人的对话，分析可知校篮球队本周比赛的得分为（　　）
A．63分 B．64分 C．65分 D．67分
【分析】根据题意，根据丁丁和欣欣说的是真话，可得珍珍说的是相反的，则校篮球队本周比赛的得分是奇数，据此即可解答．
【解答】解：根据题意，珍珍是卧底，珍珍提供的信息是完全相反的，丁丁和欣欣的说法正确的，
根据丁丁和欣欣的说法，则校篮球队本周比赛的得分是奇数，且得分少于67分；不少于64分；
即得分取值范围为大于等于64分，少于67分，且为奇数，
故校篮球队本周比赛的得分为65分，
故选：C．
4．一次游泳比赛，有甲、乙、两、丁四个人参加决赛，赛前他们对比赛进行了预测．甲说：“我第一，乙第二．”乙说：“我第一，甲第四．”丙说：“我第一，乙第四．”丁说：“我第四，丙第一．”比赛结果无并列名次，且四人各都只说对了一半，那么丁是第（　　）名．
A．二 B．一 C．四 D．三
【分析】通过假设甲所说的话中一句正确、一句错误，逐步推理出每个人的名次，最终确定丁的名次．
【解答】解：根据这四人中都只说对了一半，采用假设法，假设甲的说法中“甲第一”正确，则根据乙说的“我第一，甲第四”可得甲第四正确；互相矛盾，所以甲的说法中“乙第二”正确，甲不是第一；因为每人都只说对了一半，根据乙的说法可得甲第四；根据丙的说法确定了丙第一；剩下的丁是第三名，即丙第一，乙第二，丁第三，甲第四．
故选：D．
5．为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如表所示，由此可以推断丁同学的得分为（　　）
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分
甲 √ × × √ × × 4分
乙 × √ × × √ × 4分
丙 × √ √ √ × √ 4分
丁 × × √ √ √ × ？
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据甲、乙、丙、丁的得分，找出相同的答案，判断每个题的最终答案，最后根据答案去得出结果．
【解答】解：试题由6道判断题组成，每题正确得1分，甲、乙都得4分，
则甲、乙至少有2道题目结果相同，
由表可得：第3题和第6题正确答案为“×”；
所以，丙：第3题和第6题判断错误，
丙得了4分则表示其余4题都判断正确；
所以，6道题的正确答案为：1×，2√，3×，4√，5×，6×，
所以丁第2题第3题第5题判断错误，其余3题都正确，得3分．
故选：D．
6．某工厂生产的一种产品由A，B两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有4条流水线生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）：
零件 流水线1 流水线2 流水线3 流水线4
A 80 90 70 60
B 100 120 110 70
程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换．
（1）如果只开通其中一条流水线，7天最多生产该产品　360　 件；
（2）如果4条流水线都开通，7天最多生产该产品　1250　 件．
【分析】（1）通过推理即可求解；
（2）通过推理即可求解．
【解答】解：（1）如果只开通一条流水线，比较可知，开通流水线2最合适，零件A生产4天共360个，零件B生产3天共360个，7天正好可以生产360个，
故答案为：360；
（2）整体比较各条流水线的产能，，，，
流水线4只生成A最合适，7天生成420个A；
流水线3只生成B最合适，7天生成770个A；
流水线1只生成A最合适，7天生成560个A；
产能最高的流水线B，负责调配差额，
讨论可得，3天生产270个A，4天生成480个B，
综上可得，7天共生成1250个零件，
故答案为：1250．
培优提升：
1．有5个砝码，它们的质量分别为1000克、1001克、1002克、1004克和1007克，但砝码上并未注明质量而外观又完全相同．现有一台带指针的台秤，它可以称量物体质量的克数，怎样才能只称3次，就确定出重为1000克的砝码？
【分析】第一步：任取3个砝码一起称重，得到总质量S1，于任意3个砝码的质量之和都是唯一的，可通过S1的值确定这3个砝码的组合；第二步：分两种情况讨论即可．
【解答】解：第一步：任取3个砝码一起称重，得到总质量S1，由于任意3个砝码的质量之和都是唯一的，可通过S1的值确定这3个砝码的组合；
第二步：分情况讨论：
情况一：若确定的3个砝码组合中不含1000克，则1000克砝码在另外2个未称量的砝码中；再称量这2个中的任意1个，即可确定哪个是1000克．此过程共称2次；
情况二：若确定的3个砝码组合中包含1000克，则我们已将范围缩小到这3个砝码．再从中任取1个称量，若为1000克则找到；若不是，再称量第二个，若为1000克则找到；若还不是，则剩下第3个必是1000克．此过程最多称3次；
综上，最多3次即可确定1000克的砝码．
2．某校100名学生在一次语文，数学，英语三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加英语竞赛的有41人，既参加语文又参加数学竞赛的有14人，既参加数学又参加英语竞赛的有13人，既参加语文又参加英语竞赛的有9人，有1人这三项竞赛都不参加．三项都参加的有多少人？
【分析】先用总人数减去三项竞赛都不参加的1人得出参加竞赛的人数，然后把参加各项人次和减去参加竞赛的人数得出重复参赛的人次，即为参加了二项和三项竞赛的总人次，再把参加了二项人次和减去重复参赛的人次，多出的人次即为参加了三项竞赛的人次，即三项都参加的人数．
【解答】解：根据题意得参加竞赛的人数为100﹣1＝99（人），
参加了二项和三项竞赛的总人次为49+41+39﹣99＝30（人），
∴13+9+14﹣30＝6（人），
答：三项都参加的有6人．