2026年人教新版八年级（下）开学数学试卷（含答案）

2026年人教新版八年级数学（下册）开学数学试卷
一．A卷（共16小题，满分48分）
1．全能数学社的同学们准备设计一个中心对称图形作为社团标志，下列图形中符合要求的是（　　）
A．B．C．D．
2．要使分式有意义，则x应满足的条件是（　　）
A．x≠1 B．x≠1或x≠0 C．x≠0 D．x＞1
3．若a＞b，则下列变形正确的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．a2＞b2 C．﹣3a＞﹣3b D．a+2＞b+2
4．选拔一名选手参加区中学生男子百米比赛，我校四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数及其方差s2如表所示：
甲 乙 丙 丁
12″33 10″26 10″26 11″29
S2 1.1 1.1 1.3 1.6
要选拔一名成绩好且发挥稳定的同学，最合适的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．已知康乃馨每枝6元，百合每枝5元．小明购买这两种花18枝恰好用去100元，设他购买x枝康乃馨，y枝百合，可列出方程组为（　　）
A． B． C． D．
6．若点（a，b）在第四象限，则函数y＝ax+b的图象大致是（　　）
A．B． C．D．
7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
（多选）8．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法正确的是（　　）
A．甲乙两地相距1000千米 B．动车的速度是270千米/小时
C．普通列车从乙地到达甲地的时间为9小时 D．点B的实际意义是两车出发3小时后相遇
9．比较大小： 　 　 0．（填“＞”“＝”或“＜”）
10．若关于x的不等式3m﹣2x＜6的解集是x＞3，则m的值为　 　 ．
11．计算：　 　 ．
12．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为　 　 ．
13．解方程组和分式方程：
（1）；（2）．
14．因式分解：
（1）2x2﹣4x；（2）3a2﹣6ab+3b2．
15．如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣3，4）．
（1）平移△ABC到△A1B1C1，其中点A的对应点A1的坐标为（3，1），请在图中画出△A1B1C1；B点平移后对应点的坐标为　 　 ；
（2）请画出△ABC绕原点逆时针旋转90°得到的△A2B2C2．
（3）若△A2B2C2绕某点旋转可以得到△A1B1C1，则旋转中心的坐标为　 　 ．
16．为迎接“六一”，某儿童玩具店计划购进一批甲、乙两种玩具，已知2件甲种玩具的进价与1件乙种玩具的进价的和为90元，3件甲种玩具的进价与2件乙种玩具的进价的和为160元．
（1）求甲乙两种玩具每件进价各多少元？
（2）如果该玩具店准备购进甲乙两种玩具共20件，总进价不超过700元，且不低于600元，问有几种进货方案，哪种进货方案总进价最低？
二．B卷（共6小题，满分0分）
17．将多项式进行因式分解：x3﹣x＝　 　 ．
18．若分式的值为0，则实数x的值为 　 　 ．
19．如果关于x的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数a的和为　 　 ．
20．如图，一次函数y＝kx+b过点C（1，0）和点A（m，1），将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到线段BC，连接AB，点D在线段BC上，点E在线段AB上，且BD＝AE，当AD+CE最小值为时，则k的值为　 　 ．
21．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，3），直线yx+1与x轴交于点C，与直线AB交于点D．
（1）求直线AB的解析式及点D的坐标；
（2）如图2，H是直线AB上位于第一象限内的一点，连接HC，当S△HCD时，点M、N为y轴上两动点，点M在点N的上方，且MN＝1，连接HM、NC，求HM+MN+NC的最小值；
（3）将△OAB绕平面内某点E旋转90°，旋转后的三角形记为△O′A′B′，若点O′落在直线AB上，点A′落在直线CD上，请直接写出满足条件的点O′的坐标以及对应的点E的坐标．
22．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC．点D、点E分别在射线BA、射线BC上，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转至DF，使得点F恰好在射线BC上，旋转角为α．
（1）当点C、点E重合时，如图1，若α＝30°，∠B＝60°，AD＝4，求线段BC的长度；
（2）当点C、点F重合时，如图2，AC与DE交于点G，若DG＝EG，求证：BE＝CE；
（3）当BE＝CE＝CF，∠B＝30°时，如图3，点P是射线BA上的动点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°至线段CP′，连接FP′．将△CFP′沿直线FP′翻折至△CFP′所在平面内得到△C′FP′，直线C′P′与射线BC交于点Q．在点P运动过程中，当FP′最小时，请直接写出的值．
参考答案与试题解析
一．A卷（共16小题，满分48分）
1．选：B．2．选：A．3．选：D．4．选：B．5．选：A．
6．解：∵点（a，b）在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴直线y＝ax+b经过第一、三、四象限，故选：C．
7．解：如图，∠ACB＝∠ACB＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m．
在Rt△ABC中，AB2.5（m）．
∵AB＝BE，∴BE＝2.5（m），∴BD1.5（m），
∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米．故选：C．
8．解：A、由x＝0时，y＝1000知，甲地和乙地相距1000千米，故A正确；
B、普通列车的速度是（千米/小时），设动车的速度为千米/小时，根据题意，得：3x+31000，解得：x＝250，动车的速度为250千米/小时，故B错误；
C、由图象知x＝t时，动车到达乙地，∴x＝12时，普通列车到达甲地，
即普通列车到达终点共需12小时，故C错误；
D、如图，1000÷（250）＝3，即出发后3小时，两车之间的距离为0，可知点B的实际意义是两车出发后3小时相遇，故D正确，故选：AD．
9．解：∵，∴，∴3，∴0．故答案为：＞．
10．解：解3m﹣2x＜6，得x＞1.5m﹣3，由不等式的解集，1.5m﹣3＝3，
解得：m＝4，故答案为：4．
11．解：1．
12．解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴∠BCD＝∠ECD，∠BDC＝∠EDC＝90°，
在△BCD和△ECD中，，
∴△BCD≌△ECD（ASA），∴BC＝CE．又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE．
∴．
∵AC＝10，BC＝6，∴，故答案是：2．
13．解：（1），
由①得x＝﹣2y ③
把③代入②，得3×（﹣2y）+4y＝6，
解得y＝﹣3，
把y＝﹣3代入③，得x＝6，
所以，原方程组的解为；
（2）去分母，得14＝5（x﹣2），
解得x＝4.8，
检验：当x＝4.8时，2（x﹣2）≠0，
所以，原方程的解为x＝4.8．
14．解：（1）原式＝2x（x﹣2）；
（2）原式＝3（a2﹣2ab+b2）
＝3（a﹣b）2．
15．解：（1）由题意得，△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，
如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，B点平移后对应点的坐标为B1（1，1）．
故答案为：（1，1）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）连接A1A2，B1B2，C1C2，分别作线段A1A2，B1B2，C1C2的垂直平分线，相交于点P，
则△A2B2C2绕点P顺时针旋转90°可以得到△A1B1C1，
∴旋转中心的坐标为（2，﹣2）．
故答案为：（2，﹣2）．
16．解：（1）设甲、乙两种玩具每件进价分别为x元、y元，由题意，得
，解得：，
答：甲、乙两种玩具每件进价分别为20元、50元；
（2）设总进价为W元，购进甲玩具a件，由题意得
W＝20a+50（20﹣a）＝1000﹣30a，
由600≤20a+50（20﹣a）≤700，解得：10≤a，
∵a为整数，∴a＝10，11，12，13，
由一次函数W＝1000﹣30a可知，k＝﹣30＜0，W随a增大而减小．∴当a＝13时，W取得最小值；
答：有4种进货方案，其中购进甲玩具13件，乙玩具7件的方案总进价最低．
二．B卷（共6小题，满分0分）
17．解：x3﹣x＝x（x2﹣1）
＝x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
18．解：由题可知，
x2﹣9＝0且x﹣3≠0，
解得x＝﹣3．
故答案为：﹣3．
19．解：如果关于x的不等式组有且只有5个整数解，
由，得x≤5，
由3x+6＞a+4，得，
∵关于x的不等式组有且只有5个整数解，
∴这5个整数解是1，2，3，4，5，
∴，
解得：2≤a＜5，
∴满足条件的整数a的值为2，3，4，
∴符合条件的所有整数a的和为9，
故答案为：9．
20．解：过C作CA⊥AF，使AF＝AB，连接EF，CF，
由条件可知AC＝BC，∠BCA＝90°，
∴，∠CAB＝∠B＝45°，
由勾股定理可得，
∴∠EAF＝∠CAF﹣∠CAB＝45°＝∠CAB＝∠B，
∵BD＝AE，AF＝AB，∠EAF＝∠B，
∴△ABD≌△FAE（SAS），
∴AD＝EF，
∴AD+CE＝EF+CE≤CF，
∴当E在CF上时AD+CE取最小值，最小值，
∴，
由条件可得：，
解得m＝3或m＝﹣1，
∵由图形可知A（m，1）在第一象限，
∴m＞0，
∴m＝3，
∴A（3，1），
把C（1，0）和A（3，1），代入y＝kx+b得，
解得，
故答案为：．
21．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A（﹣1，0），B（0，3）代入，
∴，
∴，
∴y＝3x+3，
联立方程组，
∴，
∴D（，）；
（2）设H（t，3t+3），
∵OA＝1，OB＝3，
∴tan∠ABO，
直线yx+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点C（3，0），
∴tan∠DCA，
∴∠DCA＝∠ABO，
∴∠CDB＝90°，
∵CD，
∵S△HCDDH，
∴DH，
∵，
∴t＝2或t，
∵H是直线AB上位于第一象限内的一点，
∴t＝2，
∴H（2，9），
如图1，作H点关于y轴的对称点H'，过点C作CG⊥x轴，且CG＝1，
∴G（3，1），H'（﹣2，9），连接H'G交y轴于点M，∵MN＝1，
∴四边形MNCG是平行四边形，∴MG＝CN，
由对称性可知，MH＝MH'，∴HM+MN+NC＝MH'+MN+MG≥1+H'G，
∴当H'、M'、G三点共线时，HM+MN+NC的值最小，∵H'G，
∴HM+MN+NC的最小值为1；
（3）将△OAB逆时针旋转90°时，如图2，
∵点O′落在直线AB上，点A′落在直线CD上，
设O'（m，3m+3），∵OA⊥y轴，∴O'A'⊥x轴，
∵OA＝O'A'＝1，∴A'（m，3m+2），
∴m+1＝3m+2，∴m，
∴O'（，），A'（，），过点E作y轴的平行线交x轴于点H，过点A'作A'G⊥GH于点G，
∵∠HEA+∠GEA'＝90°，∵∠HEA+∠HAE＝90°，
∴∠GEA'＝∠HEA，∵AE＝A'E，∴△AEH≌△EA'G（AAS），
∴EH＝A'G，EG＝HA，设E（x，y），∴HA＝﹣1﹣x，GEy，GA'x＝y，
∴﹣1﹣xy，yx，解得x，y，∴E（，）；将△OAB顺时针旋转90°时，如图3，∵点O′落在直线AB上，点A′落在直线CD上，
设O'（m，3m+3），∵OA⊥y轴，∴O'A'⊥x轴，
∵OA＝O'A'＝1，∴A'（m，3m+4），
∴m+1＝3m+4，∴m，∴O'（，），A'（，），
过点E作MN⊥x轴，交x轴于点M，过点A'作A'N⊥MN交于点N，
∵∠DEN+∠AEM＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠AEM＝∠EDN，∵EA'＝AE'，∴△A'EN≌△EAM（AAS），
∴NE＝AM，DN＝EM，
设E（x，y），∴xy，x+1y，解得x，y，∴E（，）；
综上所述：O'（，），E（，）或O'（，），E（，）．
22．（1）解：如图1，
作CG⊥BF，交BD于G，∴∠BCG＝90°，∵DE＝DF，∠EDF＝α＝30°，∴∠DEF＝∠F75°，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BGC＝90°﹣∠B＝30°，
∴BC＝AC，∠BDC＝∠DEF﹣∠B＝15°，∴∠GCD＝∠BGC﹣∠BDC＝30°﹣15°＝15°，
∴∠GCD＝∠BDC，∴DG＝CG，∵CGAG，∴DG（4﹣DG），
∴DG＝6﹣2，∴BC＝AC＝AG＝4﹣（6﹣2）＝2；
（2）证明：如图2，在CG上截取GH＝AG，连接DH，AE，∵DG＝EG，
∴四边形AEHD是平行四边形，∴AE∥DH，AD∥EH，∴∠GEH＝∠ADE，∵DE＝∠DC，AB＝AC，
∴∠DEC＝∠DCE，∠B＝∠ACB，∴∠DEC﹣∠B＝∠DCE﹣∠ACB，∴∠ADE＝∠DCA，∴∠GEH＝∠DCA，∴∠DEC﹣∠GEH＝∠DCE﹣∠DCA，∴∠HEC＝∠HCE，∴EH＝CH，∴DH⊥CE，
∴AE⊥BC，∴BE＝CE；
（3）解：如图3，作CG⊥BD于G，作∠GCH＝60°，且CH＝CG，连接HF，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°至线段CP′，
∴∠PCP′＝60°，PC＝P′C，∴∠GCH＝∠PCP′，
∴∠GCH﹣∠PCH＝∠PCP′﹣∠PCH，∴∠GCP＝∠HCP′，
∴△CHP′≌△CGP（SAS），∴∠CHP′＝∠CGP＝90°，
∴点P′在与CH垂直的直线上运动，
作FP″⊥HP′，FP′最短，此时点P′在P″处，
将△CP′″F沿FP″翻折至△C″P″F，交射线BC于Q′，
∵∠B＝30°，∴∠BCG＝90°﹣∠B＝60°，
∵∠GCH＝60°，∴∠HCF＝180°﹣∠GCH﹣∠BCG＝60°，
∵∠H＝∠FP″H＝90°，∴CH∥FP″，
∴∠P″FC″＝∠CFP″＝180°﹣∠HCF＝120°，∠P″FQ′＝60°，
∴∠Q′FC″＝∠P″FC″﹣∠P″FQ′＝60°，∴
∵CG＝CEBC，CF＝CE，∴CH＝CF，∵∠CHF＝∠HCF＝60°，
∴△HCF是等边三角形，∴∠FHP″＝∠CHP″﹣∠CHF＝90°﹣60°＝30°，
∴FP″HFCFFC″，∴，即：当FP′最小时，．