第1章第2节 功率
题型1 功率的定义、物理意义和计算式的推导 题型2 平均功率的计算
题型3 瞬时功率的计算 题型4 机车以恒定功率启动
题型5 机车以恒定加速度启动
▉题型1 功率的定义、物理意义和计算式的推导
【知识点的认识】
1.义：功与完成这些功所用时间的比值．
2.理意义：描述做功的快慢。
3.质：功是标量。
4.计算公式
（1）定义式：P，P为时间t内的平均功率．
（2）机械功的表达式：P＝Fvcosα（α为F与v的夹角）
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
推导：如果物体的受力F与运动方向的夹角为α，从计时开始到时刻t这段时间内，发生的位移是l，则力在这段时间所做的功
W＝Flcosα
因此有
Pcosα
由于位移l是从开始计时到时刻t这段时间内发生的，所以是物体在这段时间内的平均速度v，于是上式就可以写成
P＝Fvcosα
可见，力对物体做功的功率等于沿运动方向的分力与物体速度的乘积。
通常情况下，力与位移的方向一致，即F与v的夹角一致时，cosα＝1，上式可以写成P＝Fv。
从以上推导过程来看，P＝Fv中的速度v是物体在恒力F作用下的平均速度，所以这里的功率P是指从计时开始到时刻t的平均功率。如果时间间隔非常小，上述平均速度就可以看作瞬时速度，这个关系式也就可以反映瞬时速度与瞬时功率的关系。
5.额定功率：机械正常工作时输出的最大功率．
6.实际功率：机械实际工作时输出的功率．要求不大于额定功率．
1．完全相同的小球a、b、c距地面高度相同，现将a向下抛出，将b与水平成45°向下抛出，c沿与水平成45°角的斜面运动，如图。三者初速度大小相同，运动过程中均不计阻力。a、b、c刚要落地时重力的功率分别为Pa、Pb、Pc，则（ ）
A．Pa＞Pb＞Pc B．Pa＞Pb＝Pc C．Pa＝Pb＝Pc D．Pa＝Pb＞Pc
【答案】A
【解答】解：a球竖直下抛，b球斜向下抛出，c球沿斜面运动，初速度大小相等，只有重力做功，根据动能定理可知，末速度大小相等。
三球落地时速度方向不同，将三球的末速度分解可知，a球的竖直分速度vy最大，c球最小，根据P＝mgvy可知，Pa＞Pb＞Pc，故A正确，BCD错误。
故选：A。
2．质量为2kg的小球从某一高度由静止释放，经3s到达地面，不计空气阻力，g取10m/s2．则（ ）
A．落地时重力的瞬时功率为900W
B．落地时重力的瞬时功率为450W
C．3s内重力的平均功率为600W
D．3s内重力的平均功率为300W
【答案】D
【解答】解：AB、小球只受重力，做自由落体运动，则3s末速度为：v＝gt＝10×3m/s＝30m/s，所以落地时重力的瞬时功率P＝mgv＝2×10×30W＝600W，故AB错误；
CD、3s内小球下落的高度为：h45m，3s内重力做功：W＝mgh＝900J，3s内重力的平均功率为：P'W＝300W，故C错误，D正确。
故选：D。
3．某电动汽车在平直路面上进行性能测试，速度v随时间t的变化情况如图所示，已知汽车所受阻力恒定不变，0～t1时间小于t2～t3时间，关于这辆电动汽车，下列说法正确的是（ ）
A．0～t1时间内汽车以额定功率行驶
B．t1～t2时间内汽车以恒定功率行驶
C．0～t1时间内与t2～t3时间内阻力做功相等
D．0～t1时间内与t2～t3时间内合力做正功
【答案】B
【解答】解：A、根据题图可知，0～t1时间内速度均匀增大，加速度恒定，牵引力恒定，根据
P＝Fv
可知，功率随速度的增大而增大，故A错误；
B、根据题图可知，t1～t2时间内汽车匀速运动，牵引力恒定，根据
P＝Fv
可知发动机功率恒定，故B正确；
C、依据v﹣t图像与坐标轴围成的面积等于位移可知，0～t1时间内与t2～t3时间内位移不等，根据
W＝fx
可知，阻力做功不相等，故C错误；
D、根据动能定理可知，0～t1时间内速度增大，合力做正功，t2～t3时间内速度减少，合力做负功，故D错误。
故选：B。
4．高压水枪竖直向上喷出的水柱，使一个质量为40kg的小铁盒开口向下顶在空中，如图所示。已知水以20m/s的恒定速率从横截面积为S＝10﹣3m2的水枪中持续喷出，向上运动并冲击铁盒后，以原速率竖直返回，忽略水与铁盒作用时水受到的重力的影响，水的密度为103kg/m3，取重力加速度大小g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．水冲击铁盒后以8m/s的速度返回
B．铁盒距水枪口的距离为15m
C．水枪的输出功率为6kW
D．水柱返回时做自由落体运动
【答案】B
【解答】解：A.极短时间Δt内水与小铁盒作用过程中，对水，由动量定理可得：FΔt＝ρv0ΔtS×2v，其中F＝m铁盒g，解得水冲击铁盒后的速度：，故A错误；
B.水从枪口喷出到铁盒处，由：，
解得：，故B正确；
C.假设枪口离地高度为h，则时间Δt内从枪口喷出水的动能为：
则水枪的输出功率为：
4kW，故C错误；
D.水冲击铁盒后的速度：v＝10ms，水柱返回时初速度不为零，故做的不是自由落体运动，故D错误。
故选：B。
（多选）5．放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6s内其速度与时间图像和该拉力的功率与时间图像分别如图所示，g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．0～2s内物体位移大小为6m
B．0～2s内拉力恒为5N
C．合力在0～6s内做的功与0～2s内做的功不同
D．动摩擦因数为μ＝0.30
【答案】AB
【解答】解：A、根据面积表示位移，可得，0～2s内物体的位移大小x2×6m＝6m。故A正确。
B、在0～2s内，物体的加速度 a3m/s2，由图，当P＝30W时，v＝6m/s，得到牵引力 F5N．故B正确。
C、在2～6s内，物体做匀速运动，合外力做零，合外力做功为零，则合外力在0～6s内做的功与0～2s内做的功相等。故C错误。
D、在2～6s内，v＝6m/s，P＝10W，物体做匀速运动，摩擦力f＝F，得到f＝FNN。
在t＝2s末，根据牛顿第二定律得：F﹣f＝ma，得 mkg
动摩擦因数为 μ0.15．故D错误。
故选：AB。
（多选）6．某人用同一水平力F先后两次拉同一物体，第一次使此物体从静止开始在光滑水平面上前进l距离，第二次使此物体从静止开始在粗糙水平面上前进l距离．若先后两次拉力做的功分别为W1和W2，拉力做功的平均功率分别为P1和P2，则（ ）
A．W1＝W2 B．W1＞W2 C．P1＞P2 D．P1＝P2
【答案】AC
【解答】解：A、由题知，用同一水平力F拉物体，物体运动的距离s相同，由功的公式有：
W＝Fs，
可知拉力做的功为：W1＝W2；故A正确，B错误；
C、又因为P，由于第二次在粗糙水平面上运动；故运动时间：t1＜t2，
拉力做功功率：P1＞P2．故C正确，D错误
故选：AC。
▉题型2 平均功率的计算
【知识点的认识】
平均功率的计算式：
①功率的定义式：P
②恒力做功：P＝Fv（v是平均速度）
7．某风力发电机，它的叶片转动时可形成大小为S＝100m2的受风面积。某段时间内该地区的风速是v＝20m/s，风向恰好跟叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为ρ＝1.3kg/m3。假如这个风力发电机能将受风面积内10%的空气动能转化为电能，则该风速下发电机的发电功率P为（ ）
A．5.2×105W B．5.2×104W C．5.2×103W D．5.2×102W
【答案】B
【解答】解：在时间t内，通过风力发电机的空气的质量为m＝ρSvt，这些空气的动能为Ekmv2，则发电机的发电功率为
P＝10%EkρSv31.3×100×203W＝5.2×104W，故B正确，ACD错误。
故选：B。
8．质量为m的物体从静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，在运动时间为t的过程中，合外力对它做功的平均功率为（ ）
A．ma2t B．ma2t C．2ma2t D．ma2t
【答案】B
【解答】解：物体做的是匀加速直线运动，
t时刻的速度的大小为 v＝at，
该过程的平均速度的大小为 vat，
此时物体受到的合外力为 F＝ma，
所以合外力对它做功的平均功率为 P＝Fmaat，所以B正确。
故选：B。
9．如图所示，质量为2kg的物块放在水平面上，物块与水平面之间的动摩擦因数为0.2，现对A施加大小为6N的水平拉力F，取g＝10m/s2．则物块运动4s内拉力做功的平均功率为（ ）
A．12W B．24W C．36W D．72W
【答案】A
【解答】解：根据牛顿第二定律：F﹣μmg＝ma
求得：a＝1m/s2。
4s末的速度为：v＝at＝4m/s
4s内的位移为：x8m
4s内拉力为做功为：W48J
拉力的平均功率为：12W
故A正确，BCD错误
故选：A。
10．质量为1kg的物体从某一高度自由下落，设1s内物体未着地，则该物体下落1s内重力做功的平均功率是（取g＝10m/s2）（ ）
A．25W B．50W C．75W D．100W
【答案】B
【解答】解：物体做自由落体运动，1s内下降的高度是hgt210×12m＝5m，
重力做的功为W＝mgh＝1×10×5J＝50J，
所以重力的平均功率为P50W。
故选：B。
（多选）11．图甲所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动．监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图乙、丙所示．取g＝10m/s2，则（ ）
A．第1 s内推力做功为1 J
B．第2 s内物体克服摩擦力做的功为W＝2.0 J
C．第1.5 s时推力F的功率为3W
D．第2 s内推力F做功的平均功率1.5 W
【答案】BC
【解答】解：A、由图可知，第1s内物体的速度为零，故位移为零，推力不做功，故A错误；
B、第2s内推力为3N；第3s内物体做匀速直线运动，可知，物体所受的摩擦力 f＝F＝2N；
物体经过的位移 x2×1＝1m；则物体克服摩擦力做功为 W＝fx＝2×1＝2.0J，故B正确；
C、第1.5s时推力为3N；速度v＝1m/s；则推力的功率P＝Fv＝3×1＝3W；故C正确；
D、第2 s内推力F做功为 WF＝Fx＝3×1J，推力做功的平均功率3W，故D错误；
故选：BC。
12．如图所示，在光滑的水平面上，质量m＝3kg的物体，在水平拉力F＝6N的作用下，从静止开始运动，经过3s运动了9m。求：
（1）力F在3s内对物体做功的平均功率；
（2）在3s末，力F对物体做功的瞬时功率。
【答案】（1）力F在3s内对物体做功的平均功率为18W；
（2）在3s末，力F对物体做功的瞬时功率为36W。
【解答】解：（1）根据恒力做功公式得：
W＝Fscosθ＝6×9J＝54J
平均功率W＝18W
（3）根据牛顿第二定律得：am/s2＝2m/s2
根据匀加速直线运动位移—速度公式得：
v2＝2as
所以3s末的速度为vm/s＝6m/s
所以在3s末，力F对物体做功的瞬时功率P＝Fv＝6×6W＝36W。
答：（1）力F在3s内对物体做功的平均功率为18W；
（2）在3s末，力F对物体做功的瞬时功率为36W。
▉题型3 瞬时功率的计算
【知识点的认识】
1.对于恒力做功，瞬时功率为P＝Fvcosα（v是瞬时速度，α是力与速度的夹角）
2.如果力与速度的方向一致，则P＝Fv
13．如图，是某公园的喷泉示意图。假设某一水珠从喷出到落回地面在同一竖直线上运动，且运动过程中水珠质量不变，受到空气阻力的大小与速度成正比。则关于该水珠在空中运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．该水珠在落回地面前瞬间，重力的瞬时功率最小
B．该水珠上升过程处于超重状态，下落过程处于失重状态
C．上升过程所用时间小于下落过程所用时间
D．上升过程克服空气阻力做的功等于下落过程克服空气阻力做的功
【答案】C
【解答】解：A．水珠重力的瞬时功率P＝mgv
水珠在最高点时，速度是零，则重力的瞬时功率最小，故A错误；
B．该水珠上升过程做减速运动，水珠的加速度方向向下，处于失重状态；下落过程水珠向下加速，加速度方向向下，也处于失重状态，故B错误；
C．水珠上升过程受重力与空气阻力方向相同，下落过程空气阻力与重力方向相反，由牛顿第二定律可知，上升过程的加速度大于下落过程的加速度，水珠上升过程与下落过程的位移大小相等，可知上升过程所用时间小于下落过程所用时间，故C正确；
D．由题设条件可知，水珠受到空气阻力的大小与速度成正比，上升过程所用时间小于下落过程所用时间，上升过程与下落过程的位移大小相等，则上升过程平均速度大小大于下落过程的平均速度大小，可知水珠上升过程受空气阻力大小大于下落过程受空气阻力大小，由功的计算公式可知，上升过程克服空气阻力做的功大于下落过程克服空气阻力做的功，故D错误。
故选：C。
14．如图所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，（不计空气阻力）则球落在斜面上时重力的瞬时功率为（ ）
A．mgv0tanθ B． C． D．mgv0cosθ
【答案】B
【解答】解：（1）由平抛运动得：
vx＝v0
vy＝gt
根据平行四边形定则知：
tanθ
则：
t
故重力的瞬时功率为：
P＝mgvy＝mg gt
故选：B。
15．质量为2kg的物体做自由落体运动，经过2s落地，取g＝10m/s2，关于重力做功、功率，下列说法正确的是（ ）
A．下落过程中重力做功是4000J
B．下落过程中重力的平均功率是1000W
C．落地前的瞬间重力的瞬时功率是20000W
D．落地前的瞬间重力的瞬时功率是400W
【答案】D
【解答】解：A、物体下落的高度为hm＝20m，下落过程中重力做的功为W＝mgh＝2×10×20m＝400J，故A错误；
B、下落过程中重力的平均功率为W＝200W，故B错误；
CD、落地时速度为v＝gt＝10×2m/s＝20m/s，则重力的瞬时功率为P＝mgv＝20×20W＝400W，故C错误，D正确。
故选：D。
（多选）16．质量为m的滑雪运动员沿着倾角为60°的一段斜坡从静止开始自由滑下，下滑过程中运动员加速度大小为，g为重力加速度；滑雪者沿坡道下滑L的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动员重力做功
B．克服摩擦阻力做功
C．合力做功为
D．下滑时重力与合力瞬时功率之比为3：1
【答案】CD
【解答】解：A、运动员重力做功
W1＝mgLsin60°
代入数据解得
故A错误；
B、因为ma＝mgsin60°﹣Ff
代入数据解得
则克服摩擦力做功
故B错误；
C、合力做功为
W合＝ma L
代入数据解得
故C正确；
D、设下滑时的瞬时速度为v，此时重力的瞬时功率P1＝mgvsin60°
合力的瞬时功率P＝mav
代入数据解得P1：P＝3：1
故D正确。
故选：CD。
（多选）17．如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，则在此过程中（ ）
A．重力的瞬时功率先增大后减小
B．重力的瞬时功率在不断增大
C．空气阻力做功为
D．空气阻力做功为﹣F阻L
【答案】AC
【解答】解：AB、最初，小球的速度为零，重力做功的功率为零；在摆动过程中，重力与小球的速度成锐角，功率不为零；在最低点，小球的速度与重力垂直，则重力做功的功率为零，所以，重力做功的功率先增大后减小，故A正确，B错误；
CD、空气阻力的大小不变，空气阻力的方向始终与速度方向相反，所以空气阻力对小球做功为
故C正确，D错误。
故选：AC。
18．质量m＝1kg的小球在长为L＝0.5m的细绳作用下，在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力Tmax＝42N，转轴离地高度h＝5.5m，不计阻力，重力加速度取g＝10m/s2，求：
（1）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求此时小球的速度大小；
（2）绳断后小球对应的水平射程x；
（3）小球平抛过程中，重力做的功？小球要落地时重力的瞬间功率？
【答案】（1）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求此时小球的速度大小为4m/s；
（2）绳断后小球对应的水平射程为4m；
（3）小球平抛过程中，重力做的功为50J，小球要落地时重力的瞬间功率为100W。
【解答】解：（1）设细绳恰好被拉断时，小球的速度大小为v1，此时对小球由牛顿第二定律有Tmax﹣mg＝m
解得v1＝4m/s
（2）此后小球做平抛运动，设运动时间为t，则对小球由平抛运动的规律有，x＝v1t
联立解得t＝1s，x＝4m
（3）小球平抛过程中，重力做的功为W＝mg（h﹣L），解得W＝50J
小球要落地时重力的瞬间功率为P＝mgvy＝mg2t，解得P＝100W。
答：（1）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求此时小球的速度大小为4m/s；
（2）绳断后小球对应的水平射程为4m；
（3）小球平抛过程中，重力做的功为50J，小球要落地时重力的瞬间功率为100W。
▉题型4 机车以恒定功率启动
【知识点的认识】
对机车启动问题应首先弄清是功率恒定还是加速度恒定．对于机车以恒定加速度启动问题，机车匀加速运动能维持的时间，一定是机车功率达到额定功率的时间．弄清了这一点，利用牛顿第二定律和运动学公式就很容易求出机车匀加速运动能维持的时间．
汽车在平直路面上保持发动机功率不变，即以恒定功率启动，其加速过程如下所示：
其P﹣t图和v﹣t图如下：
19．五菱宏光汽车广受车友们的爱戴，被称为“中国神车”。某型号的五菱汽车发动机铭牌如图所示，该汽车在水平路面上启动的过程中，保持发动机的输出功率恒为最大净功率，假定汽车受到的总阻力大小恒为1800N。下列说法正确的是（ ）
A．汽车启动的过程中，发动机提供的牵引力恒为1800N
B．汽车匀速行驶时，发动机提供的牵引力为1800N
C．汽车启动过程中，速度为30m/s时合力为2000N
D．汽车启动过程中，所能达到的最大速度为33.3km/h
【答案】B
【解答】解：A、根据P＝Fv可知，汽车启动的过程中，速度v增大，依题意可知汽车功率保持不变，所以发动机提供的牵引力减小，故A错误；
B、汽车匀速行驶时受力平衡，有：F＝f＝1800N，故B正确；
C、设汽车启动过程中，速度为v＝30m/s时，牵引力为F'，有：P＝F'v，又F合＝F'﹣f，联立可得：F合＝200N，故C错误；
D、当汽车所受牵引力等于阻力时，速度达到最大，有：P＝Fvm＝fvm，解得：vm＝33.3m/s，故D错误。
故选：B。
20．质量为m的汽车在平直的路面上启动，启动过程的速度—时间图像如图所示，其中OA段为直线，AB段为曲线，B点后为平行于横轴的直线。已知从t1时刻开始汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力的大小恒为f，以下说法正确的是（ ）
A．0～t1时间内，汽车牵引力的功率保持不变
B．t1～t2时间内，汽车的功率等于
C．t1～t2时间内，汽车的平均速率小于
D．汽车运动的最大速率
【答案】D
【解答】解：A、由题图可知，0～t1阶段，汽车做匀加速直线运动，a，F1﹣f＝ma，联立得，F1＝m f，A错误；
B、在t1时刻汽车达到额定功率P＝F1v1＝（m f）v1，t1～t2时间内，汽车保持额定功率不变，B错误；
C、由v﹣t图线与横轴所围面积表示位移的大小可知，t1～t2时间内，汽车的平均速度大于 ，C错误；
D、t2时刻，速度达到最大值v2，此时刻F2＝f，P＝F2v2，v2（ 1）v1，故D正确。
故选：D。
21．“祝融号”火星车驶上火星表面满100天时，在着陆点以南方向累计行驶了1064m.在某次探测任务中，火星车以恒定的功率启动在水平地面上做直线运动，行进过程中所受阻力恒为重力的0.2倍，一段时间后，达到最大行进速度180m/h.已知“祝融号”火星探测车总质量为240kg，火星表面的重力加速度约为4m/s2，则该过程中火星车发动机的输出功率为（ ）
A．4.8W B．9.6W C．14.4W D．19.2W
【答案】B
【解答】解：达到最大速度时，牵引力F与阻力f相等，f＝0.2mg＝0.2×240×4N＝192N，
最大速度运动时功率P＝Fvm＝fvm＝192W＝9.6W，故B正确，ACD错误；
故选：B。
22．一电动公交车从静止开始以恒定加速度启动在平直公路上做直线运动，输出功率达到额定功率后保持不变，其速度一时间图像如图所示，t＝30s时发动机因故障熄火，此后公交车滑行至停止。已知公交车的总重量为10t，且整个过程中公交车受到的阻力恒定不变，则下列说法正确的是（ ）
A．公交车受到的阻力大小为2.0×104N
B．在前5s内，发动机提供的牵引力大小为3.0×104N
C．在第30s末，发动机的输出功率为2.0×105W
D．公交车匀加速阶段运动的时间为12s
【答案】C
【解答】解：A、30﹣50s内，公交车做匀减速运动，根据v﹣t图像的斜率表示加速度，可知其加速度大小为a2m/s2＝1m/s2，公交车受到的阻力大小为f＝ma2＝10×103×1N＝1.0×104N，故A错误；
B、在前5s内，加速度大小为a1m/s2＝1m/s2，由牛顿第二定律得：F﹣f＝ma1，解得发动机提供的牵引力大小为：F＝2.0×104N，故B错误；
C、在第30s末，发动机的输出功率为P＝F′v＝fv＝1.0×104×20W＝2.0×105W，故C正确；
D、设匀加速运动的末速度为v′，此时发动机的功率达到额定功率，由P＝Fv′，得v′m/s＝10m/s，则公交车匀加速阶段运动的时间为ts＝10s，故D错误。
故选：C。
（多选）23．如图所示，是小朋友非常喜欢的一款电动玩具小车，我们可以通过玩具小车在水平面上的运动来研究功率问题。已知小车质量为m，小车刚达到额定功率开始计时，且此后小车保持功率不变，小车的v﹣t图像如图甲所示，t0时刻小车的速度达到最大速度的倍，小车速度由v0增加到最大值的过程中，小车的牵引力F与速度v的关系图像如图乙所示，运动过程中小车所受阻力恒定，下列说法正确的是（ ）
A．小车的额定功率为4F0v0
B．小车的最大速度为3v0
C．t0时刻，小车加速度大小为
D．0﹣t0时间内，小车运动的位移大小为
【答案】AD
【解答】解：A、小车刚达到额定功率开始计时，由图甲可知t＝0时刻小车的速度为v0，由图乙可知汽车速度为v0时，牵引力为4F0，则小车的额定功率：P额＝4F0×v0＝4F0v0，故A正确；
B、由乙图可知，小车的阻力大小为：f＝F0，则小车的最大速度：，故B错误；
C、t0时刻小车的速度：，此时小车的牵引力大小：
由牛顿第二定律有：F﹣f＝ma，可得：，故C错误；
D、0﹣t0时间内，对小车利用动能定理有：
代入数据可得：，故D正确。
故选：AD。
（多选）24．我国新能源汽车发展迅猛，已成为全球最大的新能源汽车产销国。质量为m的某新能源汽车在水平路面上以恒定加速度a启动，其v﹣t图像如图所示，其中OA段和BC段为直线。已知汽车动力系统的额定功率为P，汽车所受阻力大小恒为f，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车做匀加速运动的最大速度
B．汽车能达到的最大行驶速度
C．汽车速度为时的功率为
D．汽车速度为时的加速度大小为
【答案】CD
【解答】解：A、在匀加速阶段，据牛顿第二定律有：F﹣f＝ma
解得牵引力大小：F＝f+ma
则汽车做匀加速运动的最大速度：，故A错误；
B、当牵引力与阻力平衡时，汽车达到最大行驶速度，由功率公式可得最大速度：，故B错误；
C、汽车速度为时，功率为为，故C正确；
D、汽车速度为时，根据功率公式可得牵引力大小为：
根据牛顿第二定律有：F′﹣f＝ma′
联立以上几式解得：，故D正确。
故选：CD。
▉题型5 机车以恒定加速度启动
【知识点的认识】
汽车以恒定加速度起动，汽车的功率逐渐增大，当功率增大到额定功率时，匀加速运动结束，此时汽车的速度为匀加速运动的末速度，但并不是汽车所能达到的最大速度，此后汽车还可以保持功率不变做加速度逐渐减小的加速运动，直到加速度减小到零时速度才达到最大，具体变化过程及运动中v与t关系如图所示．
25．在通往某景区的公路上，一辆小汽车沿水平面由静止启动，在前20s内做匀加速直线运动，第20s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t图像如图所示。已知汽车的质量m＝1×103kg，汽车受到地面的阻力和空气阻力的合力大小恒为车重的0.2倍，重力加速度g＝10m/s2。则汽车的最大速度为（ ）
A．25m/s B．28m/s C．30m/s D．35m/s
【答案】C
【解答】解：由v﹣t图像可知做匀加速时的加速度为
由题意可知汽车受到地面的阻力和空气阻力的合力大小为
f＝0.2mg，解得f＝2000N
根据牛顿第二定律可得
F1﹣f＝ma
解得匀加速时的牵引力大小为
F1＝3000N
当速度为v1＝20m/s时，功率达到额定功率，则有
P额＝F1v1，解得P额＝60000W
当牵引力等于阻力时，汽车的速度达到最大，则有
，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（多选）26．一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t图像如图所示。已知汽车的质量m＝2×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g＝10m/s2。则（ ）
A．汽车在前5s内的位移大小为75m
B．汽车在前5s内的牵引力为8×103N
C．汽车的额定功率为90kW
D．汽车的最大速度为60m/s
【答案】BD
【解答】解：A．根据v﹣t图像与横轴围成的面积表示位移，可知汽车在前5s内的位移大小为
故A错误；
BC．根据图像斜率可得汽车在前5s内的加速度大小为
根据牛顿第二定律可得
F﹣f＝ma
汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，
即f＝0.1mg
解得前5s内的牵引力大小为
F＝8×103N
汽车在t＝5s时达到额定功率，则汽车的额定功率为
故B正确，C错误；
D．当牵引力等于阻力时，汽车的速度达到最大，则有
故D正确。
故选：BD。
（多选）27．有一辆质量为1kg的电动玩具车，从t＝0时刻在水平面上由静止开始做加速度大小为1.5m/s2的匀加速直线运动，当前进3m的距离时，马达输出的功率达到额定功率，此后保持额定功率直到玩具车最后匀速直线运动。玩具车所受阻力恒为在匀加速直线运动时牵引力的，则玩具车（ ）
A．匀加速运动的时间为2s
B．最大速度等于3m/s
C．匀加速时的牵引力等于5N
D．玩具车额定功率为5W
【答案】AD
【解答】解：A、当前进3m的距离时，马达输出的功率达到额定功率，可知玩具车匀加速运动的位移为L＝3m，根据，解得匀加速运动的时间为t＝2s，故A正确；
B、匀加速运动的末速度v＝at＝1.5×2m/s＝3m/s。匀加速阶段结束后，玩具车开始做加速度减小的加速运动，所以最大速度vm＞v＝3m/s，故B错误；
C、设匀加速运动的牵引力为F，根据牛顿第二定律得，解得，故C错误；
D、玩具车的额定功率，故D正确。
故选：AD。
28．随着国产汽车的日益崛起，越来越多的人选择购买国产汽车，某国产汽车发动机的额定功率为P，驾驶员和汽车的总质量为m＝3000kg，当汽车在水平路面上行驶时受到的阻力为车重力的0.1倍。若汽车从静止开始在水平路面上匀加速启动，t1＝5s时，速度v1＝10m/s，功率达到额定功率，此后汽车以额定功率运行，t2＝65s时速度达到最大值vm＝30m/s，汽车运动的v﹣t图像如图所示，取g＝10m/s2，求：
（1）汽车的额定功率P；
（2）汽车在0至t1期间牵引力的大小F以及汽车在0至t1期间牵引力做的功W；
（3）汽车在t1至t2期间的位移的s2大小。
【答案】（1）汽车的额定功率P为90kW；
（2）汽车在0至t1期间牵引力的大小F为9000N，汽车在0至t1期间牵引力做的功W为2.25×105J；
（3）汽车在t1至t2期间的位移的s2大小为1400m。
【解答】解：（1）汽车受到的阻力为
f＝0.1mg＝3000N
当牵引力等于阻力时，汽车速度达到最大，则汽车的额定功率为
P＝F牵vm＝fvm＝3000×30W＝90000W＝90kW
（2）从0到t1＝5s时间内，汽车做匀加速直线运动，加速度大小为
2m/s2
汽车匀加速直线运动的位移为
25m
根据牛顿第二定律可得
F﹣f＝ma
解得
F＝9000N
在0至t1期间牵引力做的功为
W＝Fx1＝9000×25J＝2.25×105J
（3）在t1至t2期间，由动能定理得
解得
s2＝1400m
答：（1）汽车的额定功率P为90kW；
（2）汽车在0至t1期间牵引力的大小F为9000N，汽车在0至t1期间牵引力做的功W为2.25×105J；
（3）汽车在t1至t2期间的位移的s2大小为1400m。
29．如图所示，一质量m＝2×103kg、额定功率P＝72kW的汽车，当它行驶在倾角为α（sinα＝0.08）的长直公路上时，所受摩擦阻力大小为车重的0.1倍，不计空气阻力，重力加速度大小g＝10m/s2，求：
（1）求汽车在长直公路上行驶的最大速度vm；
（2）若汽车从静止开始以大小a＝0.6m/s2的加速度匀加速启动，求该匀加速过程的时间t。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）汽车在长直公路上行驶时所受的阻力：F1＝kmg+mgsinα
解得：
当汽车达到最大速度时，加速度为零，此时牵引力F＝F1
而P＝Fvm
解得：vm＝20m/s。
（2）汽车从静止开始以大小a＝0.6m/s2的加速度匀加速行驶，根据牛顿第二定律得：
F′﹣F1＝ma
解得：F′＝4.8×103N
当汽车的实际功率等于额定功率时，匀加速的速度达到最大，设匀加速行驶的最大速度为vm′，则P＝F′vm′
由速度公式得：vm′＝at
解得t＝25s
答：（1）汽车在长直公路上行驶的最大速度vm为20m/s；
（2）该匀加速过程的时间t为25s。第1章第2节 功率
题型1 功率的定义、物理意义和计算式的推导 题型2 平均功率的计算
题型3 瞬时功率的计算 题型4 机车以恒定功率启动
题型5 机车以恒定加速度启动
▉题型1 功率的定义、物理意义和计算式的推导
【知识点的认识】
1.义：功与完成这些功所用时间的比值．
2.理意义：描述做功的快慢。
3.质：功是标量。
4.计算公式
（1）定义式：P，P为时间t内的平均功率．
（2）机械功的表达式：P＝Fvcosα（α为F与v的夹角）
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
推导：如果物体的受力F与运动方向的夹角为α，从计时开始到时刻t这段时间内，发生的位移是l，则力在这段时间所做的功
W＝Flcosα
因此有
Pcosα
由于位移l是从开始计时到时刻t这段时间内发生的，所以是物体在这段时间内的平均速度v，于是上式就可以写成
P＝Fvcosα
可见，力对物体做功的功率等于沿运动方向的分力与物体速度的乘积。
通常情况下，力与位移的方向一致，即F与v的夹角一致时，cosα＝1，上式可以写成P＝Fv。
从以上推导过程来看，P＝Fv中的速度v是物体在恒力F作用下的平均速度，所以这里的功率P是指从计时开始到时刻t的平均功率。如果时间间隔非常小，上述平均速度就可以看作瞬时速度，这个关系式也就可以反映瞬时速度与瞬时功率的关系。
5.额定功率：机械正常工作时输出的最大功率．
6.实际功率：机械实际工作时输出的功率．要求不大于额定功率．
1．完全相同的小球a、b、c距地面高度相同，现将a向下抛出，将b与水平成45°向下抛出，c沿与水平成45°角的斜面运动，如图。三者初速度大小相同，运动过程中均不计阻力。a、b、c刚要落地时重力的功率分别为Pa、Pb、Pc，则（ ）
A．Pa＞Pb＞Pc B．Pa＞Pb＝Pc C．Pa＝Pb＝Pc D．Pa＝Pb＞Pc
2．质量为2kg的小球从某一高度由静止释放，经3s到达地面，不计空气阻力，g取10m/s2．则（ ）
A．落地时重力的瞬时功率为900W
B．落地时重力的瞬时功率为450W
C．3s内重力的平均功率为600W
D．3s内重力的平均功率为300W
3．某电动汽车在平直路面上进行性能测试，速度v随时间t的变化情况如图所示，已知汽车所受阻力恒定不变，0～t1时间小于t2～t3时间，关于这辆电动汽车，下列说法正确的是（ ）
A．0～t1时间内汽车以额定功率行驶
B．t1～t2时间内汽车以恒定功率行驶
C．0～t1时间内与t2～t3时间内阻力做功相等
D．0～t1时间内与t2～t3时间内合力做正功
4．高压水枪竖直向上喷出的水柱，使一个质量为40kg的小铁盒开口向下顶在空中，如图所示。已知水以20m/s的恒定速率从横截面积为S＝10﹣3m2的水枪中持续喷出，向上运动并冲击铁盒后，以原速率竖直返回，忽略水与铁盒作用时水受到的重力的影响，水的密度为103kg/m3，取重力加速度大小g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．水冲击铁盒后以8m/s的速度返回
B．铁盒距水枪口的距离为15m
C．水枪的输出功率为6kW
D．水柱返回时做自由落体运动
（多选）5．放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6s内其速度与时间图像和该拉力的功率与时间图像分别如图所示，g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．0～2s内物体位移大小为6m
B．0～2s内拉力恒为5N
C．合力在0～6s内做的功与0～2s内做的功不同
D．动摩擦因数为μ＝0.30
（多选）6．某人用同一水平力F先后两次拉同一物体，第一次使此物体从静止开始在光滑水平面上前进l距离，第二次使此物体从静止开始在粗糙水平面上前进l距离．若先后两次拉力做的功分别为W1和W2，拉力做功的平均功率分别为P1和P2，则（ ）
A．W1＝W2 B．W1＞W2 C．P1＞P2 D．P1＝P2
▉题型2 平均功率的计算
【知识点的认识】
平均功率的计算式：
①功率的定义式：P
②恒力做功：P＝Fv（v是平均速度）
7．某风力发电机，它的叶片转动时可形成大小为S＝100m2的受风面积。某段时间内该地区的风速是v＝20m/s，风向恰好跟叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为ρ＝1.3kg/m3。假如这个风力发电机能将受风面积内10%的空气动能转化为电能，则该风速下发电机的发电功率P为（ ）
A．5.2×105W B．5.2×104W C．5.2×103W D．5.2×102W
8．质量为m的物体从静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，在运动时间为t的过程中，合外力对它做功的平均功率为（ ）
A．ma2t B．ma2t C．2ma2t D．ma2t
9．如图所示，质量为2kg的物块放在水平面上，物块与水平面之间的动摩擦因数为0.2，现对A施加大小为6N的水平拉力F，取g＝10m/s2．则物块运动4s内拉力做功的平均功率为（ ）
A．12W B．24W C．36W D．72W
10．质量为1kg的物体从某一高度自由下落，设1s内物体未着地，则该物体下落1s内重力做功的平均功率是（取g＝10m/s2）（ ）
A．25W B．50W C．75W D．100W
（多选）11．图甲所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动．监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图乙、丙所示．取g＝10m/s2，则（ ）
A．第1 s内推力做功为1 J
B．第2 s内物体克服摩擦力做的功为W＝2.0 J
C．第1.5 s时推力F的功率为3W
D．第2 s内推力F做功的平均功率1.5 W
12．如图所示，在光滑的水平面上，质量m＝3kg的物体，在水平拉力F＝6N的作用下，从静止开始运动，经过3s运动了9m。求：
（1）力F在3s内对物体做功的平均功率；
（2）在3s末，力F对物体做功的瞬时功率。
▉题型3 瞬时功率的计算
【知识点的认识】
1.对于恒力做功，瞬时功率为P＝Fvcosα（v是瞬时速度，α是力与速度的夹角）
2.如果力与速度的方向一致，则P＝Fv
13．如图，是某公园的喷泉示意图。假设某一水珠从喷出到落回地面在同一竖直线上运动，且运动过程中水珠质量不变，受到空气阻力的大小与速度成正比。则关于该水珠在空中运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．该水珠在落回地面前瞬间，重力的瞬时功率最小
B．该水珠上升过程处于超重状态，下落过程处于失重状态
C．上升过程所用时间小于下落过程所用时间
D．上升过程克服空气阻力做的功等于下落过程克服空气阻力做的功
14．如图所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，（不计空气阻力）则球落在斜面上时重力的瞬时功率为（ ）
A．mgv0tanθ B． C． D．mgv0cosθ
15．质量为2kg的物体做自由落体运动，经过2s落地，取g＝10m/s2，关于重力做功、功率，下列说法正确的是（ ）
A．下落过程中重力做功是4000J
B．下落过程中重力的平均功率是1000W
C．落地前的瞬间重力的瞬时功率是20000W
D．落地前的瞬间重力的瞬时功率是400W
（多选）16．质量为m的滑雪运动员沿着倾角为60°的一段斜坡从静止开始自由滑下，下滑过程中运动员加速度大小为，g为重力加速度；滑雪者沿坡道下滑L的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动员重力做功
B．克服摩擦阻力做功
C．合力做功为
D．下滑时重力与合力瞬时功率之比为3：1
（多选）17．如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，则在此过程中（ ）
A．重力的瞬时功率先增大后减小
B．重力的瞬时功率在不断增大
C．空气阻力做功为
D．空气阻力做功为﹣F阻L
18．质量m＝1kg的小球在长为L＝0.5m的细绳作用下，在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力Tmax＝42N，转轴离地高度h＝5.5m，不计阻力，重力加速度取g＝10m/s2，求：
（1）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求此时小球的速度大小；
（2）绳断后小球对应的水平射程x；
（3）小球平抛过程中，重力做的功？小球要落地时重力的瞬间功率？
▉题型4 机车以恒定功率启动
【知识点的认识】
对机车启动问题应首先弄清是功率恒定还是加速度恒定．对于机车以恒定加速度启动问题，机车匀加速运动能维持的时间，一定是机车功率达到额定功率的时间．弄清了这一点，利用牛顿第二定律和运动学公式就很容易求出机车匀加速运动能维持的时间．
汽车在平直路面上保持发动机功率不变，即以恒定功率启动，其加速过程如下所示：
其P﹣t图和v﹣t图如下：
19．五菱宏光汽车广受车友们的爱戴，被称为“中国神车”。某型号的五菱汽车发动机铭牌如图所示，该汽车在水平路面上启动的过程中，保持发动机的输出功率恒为最大净功率，假定汽车受到的总阻力大小恒为1800N。下列说法正确的是（ ）
A．汽车启动的过程中，发动机提供的牵引力恒为1800N
B．汽车匀速行驶时，发动机提供的牵引力为1800N
C．汽车启动过程中，速度为30m/s时合力为2000N
D．汽车启动过程中，所能达到的最大速度为33.3km/h
20．质量为m的汽车在平直的路面上启动，启动过程的速度—时间图像如图所示，其中OA段为直线，AB段为曲线，B点后为平行于横轴的直线。已知从t1时刻开始汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力的大小恒为f，以下说法正确的是（ ）
A．0～t1时间内，汽车牵引力的功率保持不变
B．t1～t2时间内，汽车的功率等于
C．t1～t2时间内，汽车的平均速率小于
D．汽车运动的最大速率
21．“祝融号”火星车驶上火星表面满100天时，在着陆点以南方向累计行驶了1064m.在某次探测任务中，火星车以恒定的功率启动在水平地面上做直线运动，行进过程中所受阻力恒为重力的0.2倍，一段时间后，达到最大行进速度180m/h.已知“祝融号”火星探测车总质量为240kg，火星表面的重力加速度约为4m/s2，则该过程中火星车发动机的输出功率为（ ）
A．4.8W B．9.6W C．14.4W D．19.2W
22．一电动公交车从静止开始以恒定加速度启动在平直公路上做直线运动，输出功率达到额定功率后保持不变，其速度一时间图像如图所示，t＝30s时发动机因故障熄火，此后公交车滑行至停止。已知公交车的总重量为10t，且整个过程中公交车受到的阻力恒定不变，则下列说法正确的是（ ）
A．公交车受到的阻力大小为2.0×104N
B．在前5s内，发动机提供的牵引力大小为3.0×104N
C．在第30s末，发动机的输出功率为2.0×105W
D．公交车匀加速阶段运动的时间为12s
（多选）23．如图所示，是小朋友非常喜欢的一款电动玩具小车，我们可以通过玩具小车在水平面上的运动来研究功率问题。已知小车质量为m，小车刚达到额定功率开始计时，且此后小车保持功率不变，小车的v﹣t图像如图甲所示，t0时刻小车的速度达到最大速度的倍，小车速度由v0增加到最大值的过程中，小车的牵引力F与速度v的关系图像如图乙所示，运动过程中小车所受阻力恒定，下列说法正确的是（ ）
A．小车的额定功率为4F0v0
B．小车的最大速度为3v0
C．t0时刻，小车加速度大小为
D．0﹣t0时间内，小车运动的位移大小为
（多选）24．我国新能源汽车发展迅猛，已成为全球最大的新能源汽车产销国。质量为m的某新能源汽车在水平路面上以恒定加速度a启动，其v﹣t图像如图所示，其中OA段和BC段为直线。已知汽车动力系统的额定功率为P，汽车所受阻力大小恒为f，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车做匀加速运动的最大速度
B．汽车能达到的最大行驶速度
C．汽车速度为时的功率为
D．汽车速度为时的加速度大小为
▉题型5 机车以恒定加速度启动
【知识点的认识】
汽车以恒定加速度起动，汽车的功率逐渐增大，当功率增大到额定功率时，匀加速运动结束，此时汽车的速度为匀加速运动的末速度，但并不是汽车所能达到的最大速度，此后汽车还可以保持功率不变做加速度逐渐减小的加速运动，直到加速度减小到零时速度才达到最大，具体变化过程及运动中v与t关系如图所示．
25．在通往某景区的公路上，一辆小汽车沿水平面由静止启动，在前20s内做匀加速直线运动，第20s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t图像如图所示。已知汽车的质量m＝1×103kg，汽车受到地面的阻力和空气阻力的合力大小恒为车重的0.2倍，重力加速度g＝10m/s2。则汽车的最大速度为（ ）
A．25m/s B．28m/s C．30m/s D．35m/s
（多选）26．一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t图像如图所示。已知汽车的质量m＝2×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g＝10m/s2。则（ ）
A．汽车在前5s内的位移大小为75m
B．汽车在前5s内的牵引力为8×103N
C．汽车的额定功率为90kW
D．汽车的最大速度为60m/s
（多选）27．有一辆质量为1kg的电动玩具车，从t＝0时刻在水平面上由静止开始做加速度大小为1.5m/s2的匀加速直线运动，当前进3m的距离时，马达输出的功率达到额定功率，此后保持额定功率直到玩具车最后匀速直线运动。玩具车所受阻力恒为在匀加速直线运动时牵引力的，则玩具车（ ）
A．匀加速运动的时间为2s
B．最大速度等于3m/s
C．匀加速时的牵引力等于5N
D．玩具车额定功率为5W
28．随着国产汽车的日益崛起，越来越多的人选择购买国产汽车，某国产汽车发动机的额定功率为P，驾驶员和汽车的总质量为m＝3000kg，当汽车在水平路面上行驶时受到的阻力为车重力的0.1倍。若汽车从静止开始在水平路面上匀加速启动，t1＝5s时，速度v1＝10m/s，功率达到额定功率，此后汽车以额定功率运行，t2＝65s时速度达到最大值vm＝30m/s，汽车运动的v﹣t图像如图所示，取g＝10m/s2，求：
（1）汽车的额定功率P；
（2）汽车在0至t1期间牵引力的大小F以及汽车在0至t1期间牵引力做的功W；
（3）汽车在t1至t2期间的位移的s2大小。
29．如图所示，一质量m＝2×103kg、额定功率P＝72kW的汽车，当它行驶在倾角为α（sinα＝0.08）的长直公路上时，所受摩擦阻力大小为车重的0.1倍，不计空气阻力，重力加速度大小g＝10m/s2，求：
（1）求汽车在长直公路上行驶的最大速度vm；
（2）若汽车从静止开始以大小a＝0.6m/s2的加速度匀加速启动，求该匀加速过程的时间t。
