第3章第3节 离心现象
题型1 车辆在道路上的转弯问题 题型2 火车的轨道转弯问题
题型3 绳球类模型及其临界条件 题型4 杆球类模型及其临界条件
题型5 物体在圆形竖直轨道内的圆周运动 题型6 物体在环形竖直轨道内的圆周运动
题型7 拱桥和凹桥类模型分析 题型8 近心与离心运动的意义与原因
题型9 判断近心或离线运动的轨迹 题型10 离心运动的应用和防止
▉题型1 车辆在道路上的转弯问题
【知识点的认识】
汽车转弯问题模型如下
模型分析：一般来说转弯处的地面是倾斜的，当汽车以某一适当速度经过弯道时，由汽车自重与斜面的支持力的合力提供向心力；小于这一速度时，地面会对汽车产生向内侧的摩擦力；大于这一速度时，地面会对汽车产生向外侧的摩擦力。如果转弯速度过大，侧向摩擦力过大，可能会造成汽车翻转等事故。
1．中国选手邓雅文在2024年巴黎奥运会女子自由式小轮车公园赛决赛中获得金牌。如图所示，几位运动员正在倾斜的弯道上做匀速圆周运动，圆周运动的半径为r，车相对弯道无侧向滑动。若邓雅文连同小轮车（可视为质点）的总质量为m，倾斜弯道可视为倾角为θ的斜面，不计摩擦阻力和空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．邓雅文和小轮车所受支持力竖直向上
B．邓雅文和小轮车对弯道的压力大小为
C．邓雅文和小轮车的线速度大小为
D．邓雅文和小轮车运动的半径越大，其线速度就越小
【答案】B
【解答】解：A、邓雅文和小轮车所受支持力垂直于轨道向上，而不是竖直向上，故A错误；
B、如图所示
对邓雅文和小轮车受力分析，根据几何关系可得
根据牛顿第三定律，车对弯道的压力大小为，故B正确；
CD、根据牛顿第二定律可得
解得邓雅文和小轮车的线速度大小
可知邓雅文和小轮车运动的半径越大，其线速度越大，故CD错误。
故选：B。
2．如图，场地自行车赛道设计成与水平面保持一定倾角，三位运动员骑自行车在赛道转弯处做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．三位运动员可能受重力、支持力、向心力的作用
B．若此时三位运动员线速度大小相等，则他们所需要向心力的大小关系一定满足FA＜FB＜FC
C．若此时三位运动员角速度相等，则他们的向心加速度大小关系满足aA＞aB＞aC
D．若运动员突然加速，仍然可以保持原轨道做匀速圆周运动，则自行车受到的支持力会减小
【答案】C
【解答】解：A、向心力是效果力，可以由单个力充当，也可以由其它力的合力提供，或者由某个力的分力提供，不是性质力，因此，将运动员和自行车看成整体后，整体应受重力、支持力和摩擦力，故A错误；
B、由向心力公式F＝m可知若此时三位运动员线速度大小相等，但不知道运动员的质量大小，故不能比较向心力的大小，故B错误；
C、由向心加速度公式a＝ω2R可知若此时三位运动员角速度相等，则他们的向心加速度大小关系满足aA＞aB＞aC，故C正确；
D、若运动员突然加速，仍然可以保持原轨道做匀速圆周运动，则自行车的摩擦力增大来提供所需向心力，运动员和自行车在竖直方向上平衡，如图所示，则有支持力在竖直方向的分力等于摩擦力竖直向下的分力和运动员和自行车的重力之和，运动员和自行车的重力不变，摩擦力变大，则支持力在竖直方向的分力变大，所以支持力变大，故D错误。
故选：C。
3．对落差较大的道路，建设螺旋立交可以有效的保证车辆安全行驶。如图所示，重庆红云路螺旋立交为2.5层同心圆螺旋结构，上下层桥梁平面位置重叠。下面针对这段路的分析正确的是（ ）
A．通过螺旋式设计可减小坡度，目的是增大车辆与地面的摩擦力
B．两辆车以相同的速率转弯时，外侧的车需要的向心力一定更大
C．车辆转弯处设计成内低外高的目的是降低车辆侧滑风险
D．车辆上坡过程中受重力、支持力、摩擦力、向心力
【答案】C
【解答】解：A．采用螺旋隧道设计，有效减小坡度，目的是减小车重力沿斜面向下的分力，故A错误；
B．由向心力公式可知，速度不变的情况下，汽车质量关系未知，所以无法比较外侧的车辆需要的向心力和内侧车辆需要的向心力的大小，故B错误；
C．车辆转弯处，路面应适当内低外高，这种情况会有一部分支持力分量可以提供向心力，进而降低车辆侧滑风险，故C正确；
D．车辆上坡过程中受到重力、支持力、摩擦力、牵引力，而向心力是效果力，不是物体实际受到的力，故D错误。
故选：C。
4．在用高级沥青铺设的高速公路上，对汽车的设计限速是30m/s．汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．（g＝10m/s2）
（1）如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
（2）如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够安全通过（不起飞）圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？
（3）如果弯道的路面设计为倾斜（外高内低），弯道半径为120m，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）汽车在水平路面上拐弯，或视为汽车做匀速圆周运动，其向心力是车与路面间的最大静摩擦力，
有0.6mg＝m，由速度v＝30m/s，解得弯道半径r＝150m，
（2）汽车过拱桥，看作在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，有
为了保证安全，车对路面的压力N必须大于零．有mg，
代入数据解得R≥90m．
（3）设弯道倾斜角度为θ，汽车通过此弯道时向心力由重力及支持力的合力提供，有
，
解得tanθ；
故弯道路面的倾斜角度 θ＝37°．
答：（1）其弯道的最小半径是150m；
（2）这个圆弧拱桥的半径至少是90m；
（3）弯道路面的倾斜角度是37°．
▉题型2 火车的轨道转弯问题
【知识点的认识】
火车转弯模型如下
与公路弯道类似，铁轨弯道处，也通过一定的设计，展现出一定的坡度。当火车以某一适当速度通过时，恰好有火车自身重力与铁轨的支持力的合力提供向心力。当小于这一速度时，铁轨会对火车产生向外的压力，即火车会挤压内轨。当大于这一速度时。铁轨会对火车产生向内的挤压。即挤压外轨。
5．在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图所示，内外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度v转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，火车转弯半径为r，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．火车以速度v转弯时，铁轨对火车支持力大于其重力
B．火车转弯时，实际转弯速度越小越好
C．当火车上乘客增多时，火车转弯时的速度必须降低
D．火车转弯速度大于时，外轨对车轮轮缘的压力沿水平方向
【答案】A
【解答】解：A、火车以速度v转弯时，对火车受力分析，如图
可得
解得
根据矢量三角形的边角关系可知，支持力为斜边，大于直角边，铁轨对火车支持力大于重力，故A正确；
B、当火车以规定的行驶速度v转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，效果最好，故B错误；
C、由可知规定行驶的速度与质量无关，当火车质量改变时，规定的行驶速度不变，故C错误；
D、火车转弯速度大于时，外轨对车轮轮缘的压力沿接触面指向轮缘，故D错误。
故选：A。
6．在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，为了提高转弯速度，仅改变一个下列可行的措施是（ ）
A．减小火车质量
B．增大铁轨与车轮的摩擦
C．减小转弯半径
D．增大轨道倾斜角
【答案】D
【解答】解：要使铁轨不受挤压，应使重力与支持力的合力充当向心力，则有
解得转弯速度
其与火车的质量和轨道与车轮的摩擦力无关，为了提高转弯速度，可以增大倾角或增大转弯半径，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（多选）7．在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则（ ）
A．该弯道的半径r
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
【答案】ABD
【解答】解：A、火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，设转弯处斜面的倾角为θ，
根据牛顿第二定律得：mgtanθ＝m，
解得：r，故A正确；
B、根据牛顿第二定律得：mgtanθ＝m，
解得：v，可知火车规定的行驶速度与质量无关，故B正确；
C、当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不能够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确。
故选：ABD。
▉题型3 绳球类模型及其临界条件
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
8．如图所示，在光滑的轨道上，小球滑下经过圆弧部分的最高点A时，恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力有（ ）
A．重力、弹力和向心力 B．重力和弹力
C．重力和向心力 D．重力
【答案】D
【解答】解：因为小球恰好通过最高点，此时靠重力提供向心力，小球仅受重力作用。故D正确，A、B、C错误。
故选：D。
9．如图所示，一长L＝2m的轻绳系一质量m＝2kg小球（可视为质点）在竖直平面内做圆周运动，当运动到圆周的最低点时与小球接触处绳断，绳断前瞬间轻绳承受的最大张力大小为120N，绳断后小球水平射出进入光滑水平面OA，又从A点平滑过渡后冲上倾角θ＝37°的斜面，从B点冲出斜面，最后落在平台上的C点。已知小球和斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，它在斜面上运动的时间t＝0.5s，不计空气阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小g取10m/s2，求：
（1）绳断后小球水平射出的速度大小；
（2）小球运动到B点的速度大小和斜面的长度；
（3）小球离平台的最大高度。
【答案】（1）绳断后小球水平射出的速度大小等于10m/s；
（2）小球运动到B点的速度大小等于6m/s，斜面的长度等于4m；
（3）小球离平台的最大高度等于0.648m。
【解答】解：（1）设绳断后小球水平射出的速度大小为v0。小球运动到圆周的最低点时由牛顿第二定律得
将F＝120N代入，解得v0＝10m/s
（2）设小球在斜面上的加速度大小为a，由牛顿第二定律得mgsin37°+μmgcos37°＝ma
解得a＝8m/s2
由运动学规律可得小球运动到B点的速度vB＝vA﹣at
其中vA＝v0，解得小球运动到B点的速度大小vB＝6m/s
斜面的长度
（3）在B点，将小球的速度沿着水平和竖直方向分解，有vBy＝vBsin37°，
解得小球离平台的最大高度h＝0.648m
答：（1）绳断后小球水平射出的速度大小等于10m/s；
（2）小球运动到B点的速度大小等于6m/s，斜面的长度等于4m；
（3）小球离平台的最大高度等于0.648m。
10．杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5kg，绳长L＝60cm。求：（g＝10m/s2）
（1）在最高点水不流出的最小速率。
（2）水在最高点速率v＝3m/s时，水对杯底的压力大小。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）杯子运动到最高点时，设速度为v时水恰好不流出，水的重力刚好提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得：
代入数据解得：；
（2）对水研究，在最高点时由水的重力和杯底的弹力的合力提供水做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：
代入数据解得：N＝2.5N
由牛顿第三定律可知，水对杯底的压力大小为2.5N。
答：（1）在最高点水不流出的最小速率为；
（2）水在最高点速率v＝3m/s时，水对杯底的压力大小为2.5N。
▉题型4 杆球类模型及其临界条件
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
11．长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为2m/s，g取10m/s2，则此时小球受到轻质细杆的力为（ ）
A．24N的拉力 B．24N的支持力
C．6N的支持力 D．6N的拉力
【答案】C
【解答】解：在最高点，设杆子对小球的作用力向上，根据牛顿第二定律得：
mg﹣F＝m
解得：F＝30﹣36N，方向向上，为支持力。
故选：C。
（多选）12．如图所示，长L＝0.5m的轻质细杆，一端固定有一个质量为m＝3kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为v＝2m/s。取g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是24N
B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6N
C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24N
D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54N
【答案】BD
【解答】解：A、设小球在最高点时受杆的弹力向上，则mg﹣FN＝m，得FN＝mg﹣m6 N，
可知杆对小球的力向上，则小球对杆表现为压力，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力大小是6N，故A错误，B正确；
C、小球通过最低点时，根据牛顿第二定律得，F﹣mg＝m，
解得FN＝mg+m54N，
根据牛顿第三定律知，小球对杆的拉力为54N，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小是54N，故C错误，D正确。
故选：BD。
（多选）13．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力为FN（取竖直向下为弹力的正方向），小球在最高点时的速度大小为v，其图像如图乙所示，图像中a和b均为已知量，重力加速度为g，小球可视为质点，不计一切阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为
B．轻杆的长度为
C．v2＝3b时，在最高点杆对小球的弹力大小为3a
D．v2＝2b时，小球在最高点的向心加速度大小为2g
【答案】AD
【解答】解：AB．对小球在最高点，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力为FN，由牛顿第二定律得
解得
结合图乙，可知图像的纵截距﹣a＝﹣mg
所以小球的质量
图像的斜率
所以轻杆的长度
故A正确，B错误；
C．当v2＝3b时，由牛顿第二定律得
解得FN1＝2mg＝2a
故C错误；
D．当v2＝2b时，小球在最高点的向心加速度
联立以上解得a＝2g
故D正确。
故选：AD。
▉题型5 物体在圆形竖直轨道内的圆周运动
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
14．洗衣机进行脱水时的运动情形可简化为如图所示的模型，一半径r＝0.5m的圆筒竖直放置，当圆筒绕中心轴OO'匀速转动时，一质量为1kg的物块恰能贴着圆筒内壁做圆周运动。已知物块与圆筒内壁间的动摩擦因数为0.2，重力加速度g取10m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）物块受到哪几个力的作用？物块随圆筒做匀速圆周运动的向心力由什么力提供？向心力的大小是多少？
（2）求物块的线速度v的大小。
【答案】（1）物块受到圆筒内壁对其的支持力，竖直向上的摩擦力和竖直向下的重力，圆筒内壁对其支持力提供向心力，向心力的大小是50N；
（2）物块的线速度v的大小等于5m/s
【解答】解：（1）物块受到圆筒内壁对其的支持力，竖直向上的摩擦力和竖直向下的重力，
圆筒内壁对其支持力提供向心力
物块在竖直方向受力平衡有f＝μFN＝mg
水平方向由圆筒内壁对其支持力提供向心力有Fn＝FN
解得Fn＝50N
（2）水平方向由牛顿第二定律有
代入数据解得物块的线速度大小为v＝5m/s
答：（1）物块受到圆筒内壁对其的支持力，竖直向上的摩擦力和竖直向下的重力，圆筒内壁对其支持力提供向心力，向心力的大小是50N；
（2）物块的线速度v的大小等于5m/s
15．如图所示，质量为m＝2kg的小球在竖直平面内的光滑圆形轨道内侧运动，小球经过最高点时恰好不脱离轨道的速度v0＝2m/s，重力加速度大小为g＝10m/s2。求：
（1）圆形轨道半径r。
（2）若小球经过轨道最高点时对轨道的压力为60N，此时小球的速度。
（3）若小球以经过轨道最低点时，小球对轨道的压力。
【答案】（1）圆形轨道半径0.4m；
（2）若小球经过轨道最高点时对轨道的压力为60N，此时小球的速度4m/s；
（3）若小球以经过轨道最低点时，小球对轨道的压力120N。
【解答】解：（1）小球经过最高点时恰好不脱离轨道，重力提供向心力，根据牛顿第二定律有
代入数据解得r＝0.4m
（2）若小球经过轨道最高点时对轨道的压力为60N时，根据牛顿第二定律有
代入数据解得v1＝4m/s
（3）若小球以经过轨道最低点时，根据牛顿第二定律有
代入数据解得F'＝120N
根据牛顿第三定律可知小球对轨道的压力大小为120N，方向竖直向下。
答：（1）圆形轨道半径0.4m；
（2）若小球经过轨道最高点时对轨道的压力为60N，此时小球的速度4m/s；
（3）若小球以经过轨道最低点时，小球对轨道的压力120N。
16．如图甲所示，竖直面内有一光滑轨道BCD，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角α＝30°，圆弧轨道半径为，与水平轨道CD相切于点C。现将一小滑块（可视为质点）从空中的A点以v0＝4m/s的初速度水平向左抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C点，滑块在圆弧末端C点速度为vC＝12m/s，对轨道的压力NC＝64N，之后继续沿水平轨道CD滑动，经过D点滑到质量为M＝1kg，长为L＝7m的木板上。图乙为木板开始运动后一段时间内的v﹣t图像，滑块与地面、木板与地面间的动摩擦因数相同，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力和木板厚度。求：
（1）小滑块经过圆弧轨道上B点的速度大小；
（2）小滑块的质量；
（3）全过程中木板的位移。
【答案】（1）小滑块经过圆弧轨道上B点的速度大小为8m/s；
（2）小滑块的质量为1kg；
（3）全过程中木板的位移为6m或10m。
【解答】解：（1）在B点，由运动的分解与合成可得：
解得vB＝8m/s
（2）对C点物块受力分析，由牛顿第二定律可得
由牛顿第三定律可得
N′C＝NC
解得m＝1kg
（3）由乙图可知，1s时木板受到的力发生了突变，有两种情况。
情况一（如图）：1s时物块和木板刚好共速，之后两物体一起以相同的加速度一起减速滑行至停止。
由图可知，在0～1s内，对物块根据加速度定义式可得：
解得a物＝8m/s2
根据牛顿第二定律可得μ1mg＝ma物
解得μ1＝0.8
对木板：木板的加速度大小
a木＝4m/s2
又μ1mg﹣μ2（m+M）g＝Ma木
解得μ2＝0.2
通过图像，求得两者共速前相对位移
m＝6m＜L＝7m
所以此情况成立。
v﹣t图像与坐标轴围成图像面积等于位移，所以木板加速过程位移
m＝2m
木板减速过程位移
解得s2＝4m
木板位移
x1＝s1+s2
解得x1＝6m
情况二（如图）：1s时物块从木板右侧滑出后两，物体均在地面上滑行，滑行时加速度相同，则不会相撞。
由图可知，在0～1s内，物块和木板的相对位移
L＝7m
解得v物1＝6m/s
物块的加速度大小
解得a′物＝6m/s2
μ′1mg＝ma′物
解得μ′1＝0.6
对木板：木板的加速度大小
a′木＝4m/s2
又
μ′1mg﹣μ′2（m+M）g＝Ma′木
解得μ′2＝0.1
通过图像，v﹣t图像与坐标轴围成图像面积等于位移，求木板加速过程位移
m＝2m
通过图像，求木板减速过程位移
s2′＝8m
木板位移
x2＝s′1+s′2＝2m+8m＝10m
答：（1）小滑块经过圆弧轨道上B点的速度大小为8m/s；
（2）小滑块的质量为1kg；
（3）全过程中木板的位移为6m或10m。
▉题型6 物体在环形竖直轨道内的圆周运动
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
17．如图所示，竖直面内的圆形管道半径R远大于横截面的半径，有一小球的直径比管横截面直径略小，在管道内做圆周运动。小球过最高点时，小球对管壁的弹力大小用F表示、速度大小用v表示，当小球以不同速度经过管道最高点时，其F﹣v2图像如图所示。则（ ）
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝b时，小球对管壁的弹力方向竖直向下
D．v2＝2b时，小球受到的弹力大小是重力大小的三倍
【答案】D
【解答】解：AB、由图像得，在最高点，若v＝0
F＝mg＝c
若v2＝a
F＝0
此时重力提供向心力，有mg＝m
联立解得：g
m
故AB错误；
C、由图可知，当v2＜a时，管道对小球弹力方向向上，当v2＞a时，管道对小球弹力方向向下，所以当v2＝b＞a时，管道对小球弹力方向向下，根据牛顿第三定律可知，小球对管壁的弹力方向竖直向上，故C错误；
D、若v2＝2b，由牛顿第二定律得：N+mg＝m
解得：N＝3mg
即小球受到的弹力大小是重力大小的三倍，故D正确。
故选：D。
18．假定航天员在火星表面利用如图所示的装置研究小球的运动，竖直放置的光滑半圆形管道固定在水平面上，一直径略小于管道内径的小球（可视为质点）沿水平面从管道最低点A进入管道，从最高点B脱离管道后做平抛运动，1s后与倾角为37°的斜面垂直相碰于C点，已知火星的半径是地球半径的倍，质量为地球质量的倍，地球表面重力加速度g＝10m/s2，忽略星球自转影响。半圆形管道的半径为r＝0.5m，小球的质量为m＝0.5kg，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）C点与B点的水平距离；
（2）小球在B点对轨道的压力。
【答案】（1）C点与B点的水平距离为3m；
（2）小球在B点对轨道的压力为7N，方向向上。
【解答】解：（1）根据黄金代换式，在地球表面上，在火星表面上，代入题中条件解得，小球与斜面垂直相碰于C点，由几何关系可得，代入数据解得vB＝3m/s，C点与B点的水平距离x＝vBt＝3×1m＝3m；
（2）根据牛顿第二定律解得，轨道对小球的弹力FN＝7N，根据牛顿第三定律，小球在B点对轨道的压力F＝FN＝7N，方向向上。
答：（1）C点与B点的水平距离为3m；
（2）小球在B点对轨道的压力为7N，方向向上。
19．如图所示，一内壁光滑的环形细圆管固定在水平桌面上，管内间距相等的三位置处，分别有静止的小球A、B、C，质量分别为mA＝4m、mB＝m、mC＝3m，大小相同，它们的直径略小于管的直径。小球A、B是弹性球，A、B之间发生碰撞时没有机械能损失。小球C是粘性球，任何小球与小球C发生碰撞后都会粘连在一起。小球球心到圆环中心的距离为R，现让A以初速度v0沿管顺时针运动，设各球之间的碰撞时间极短，求：
（1）A和B第一次碰后各自的速度大小；
（2）B和C相碰结合在一起后的瞬间对管的压力大小；
（3）从A出发到三个小球粘在一起所用的时间。
【答案】（1）A和B第一次碰后各自的速度大小分别为和；
（2）B和C相碰结合在一起后的瞬间对管的压力大小为；
（3）从A出发到三个小球粘在一起所用的时间为。
【解答】解：（1）细管光滑且水平放置，无外力对小球做功，因此除碰撞过程之外的时间小球均保持静止或匀速圆周运动。第一次A、B碰撞的过程中两球沿速度方向的动量守恒，选取顺时针方向为正方向，得mAv0＝mAvA1+mBvB1
A、B碰撞为弹性碰撞，根据机械能守恒定律得
联立解得；
（2）B、C发生的碰撞为完全非弹性碰撞，碰后共速，两球沿速度方向的动量守恒，选取顺时针方向为正方向，因此有mBvB1＝（mB+mC）vBC2
解得
此后B、C作为整体做匀速圆周运动，受到管壁的沿水平方向指向圆心的支持力提供向心力，则
同时，竖直方向上B、C受到管壁的支持力与重力平衡，则N2＝（mB+mC）g＝4mg
小球受到管壁的支持力为N1、N2的矢量合成，总支持力的大小为
根据牛顿第三定律，管壁对小球的支持力与小球对管壁的压力等大反向，因此小球对管壁的压力大小为。
（3）从A出发到第一次A与B的碰撞用时
从第一次A与B的碰撞到第二次B与C的碰撞用时
第二次B与C的碰撞后的速度vBC2小于此时A的速度vA1，因此A会追上B发生第三次碰撞。
在第一次与第二次碰撞之间，A已经向前运动的路程为
因此，第二次B与C的碰撞到第三次A与B的碰撞用时
A追上B之后，第三次A与B的碰撞为弹性碰撞，系统运动方向动量守恒，选取顺时针方向为正方向，得mAvA1+（mB+mC）vBC2＝mAvA3+（mB+mC）vBC3
系统机械能守恒，得
联立解得，
最后BC作为整体再追上A一圈，C与A碰撞后粘在一起，用时
综上从A出发到三球粘在一起的总时间为t＝t1+t2+t3+t4
联立得t
答：（1）A和B第一次碰后各自的速度大小分别为和；
（2）B和C相碰结合在一起后的瞬间对管的压力大小为；
（3）从A出发到三个小球粘在一起所用的时间为。
▉题型7 拱桥和凹桥类模型分析
【知识点的认识】
1.模型的构建
如下图所示，汽车分别经过凸形桥和凹形桥，设汽车的质量为m，桥面圆弧半径为r，汽车经过桥面最高点或最低点的速度为v。
2.模型分析
20．下列关于曲线运动的说法中，正确的是（ ）
A．做曲线运动的物体的加速度一定是变化的
B．做曲线运动的物体其速度大小一定是变化的
C．做匀速圆周运动的物体，所受的合力不一定时刻指向圆心
D．骑自行车冲到圆弧形桥顶时，人对自行车座的压力减小，这是失重造成的
【答案】D
【解答】解：A、做曲线运动的物体的加速度不一定是变化的，比如：平抛运动，其加速度不变，故A错误；
B、物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，速度大小不一定变化，比如匀速圆周运动，故B错误；
C、做匀速圆周运动的物体，所受的合外力一定时刻指向圆心，故C错误；
D、冲到圆弧形桥顶时，根据牛顿第二定律，则有压力小于重力，则出现失重现象，故D正确；
故选：D。
21．石拱桥是中国传统桥梁的四大基本形式之一。假设如图所示拱形桥的桥面是半径为R的圆的一部分，一辆汽车以速度v匀速通过该桥，图中拱形桥的最高点为Q，重力加速度为g。汽车受到的阻力恒定。下列说法正确的是（ ）
A．汽车运动到Q点时处于超重状态
B．汽车运动到Q点时牵引力大于阻力
C．汽车从上桥到下桥的速度v
D．汽车从上桥到下桥的加速度大小不变
【答案】D
【解答】解：A、汽车运动到Q点时，由于加速度向下，因此处于失重状态，故A错误；
B、由于匀速率行驶，汽车运动到Q点时牵引力等于阻力，故B错误；
C、在最高点时，因为加速度指向圆心，即竖直向下，汽车处于失重状态，当支持力为零时，重力提供向心力，此时速度最大，当速度继续变大，则汽车会离开桥面，设此时的最大速度为vm，根据牛顿第二定律可得，解得：，故，故C错误；
D、题中的线速度v和半径R不变，根据可知加速度大小不变，故D正确。
故选：D。
（多选）22．如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（ ）
A．图a中轻杆长为l，若小球在最高点的角速度小于，杆对小球的作用力向上
B．图b中若火车转弯时未达到规定速率，轮缘对外轨道有挤压作用
C．图c中若A、B均相对圆盘静止，所在圆周半径2RA＝3RB，质量mA＝2mB，则A、B所受摩擦力fA＝fB
D．图d中是一圆锥摆，增加绳长，保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度不变
【答案】AD
【解答】解：A．图a中若轻杆上的小球在最高点时，杆受作用力为零，根据牛顿第二定律可得mg＝mω2l
解得
若角速度小于，则杆对小球的作用力向上，故A正确；
B．图b中若火车转弯未达规定速度行驶时，此时重力和轨道的支持力的合力大于火车所需的向心力，此时火车有做向心运动的趋势，轮缘对内侧轨道有挤压作用，故B错误；
C．图c中若A、B均相对静止，根据f＝mω2r，2RA＝3RB，mA＝2mB
可得A、B所受摩擦力为fA＝3fB
故C错误；
D．图d是一圆锥摆，合力提供向心力，根据牛顿第二定律可得mgtanθ＝mω2htanθ
所以
则增加绳长，保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度不变，故D正确。
故选：AD．
23．如图一辆质量为500kg的汽车通过一座半径为50m的圆弧形拱桥顶部时。
（1）如果汽车以6m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？
（2）如果汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零，则汽车通过拱桥的顶部时速度是多大？
（3）设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度至少多大。（重力加速度g取10m/s2，地球半径R取6.4×103km）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）汽车受重力G和拱桥的支持力F，根据牛顿第二定律有：
G﹣F＝m
解得：F＝G﹣m5000﹣5004640N
根据牛顿第三定律，汽车对拱桥的压力为4640N；
（2）汽车只受重力G，所以：
G＝m
解得：v110m/s；
（3）利用第2问的结论，有：
m/s＝8km/s
答：（1）如果汽车以6m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是4640N；
（2）如果汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零，则汽车通过拱桥的顶部时速度是10m/s；
（3）设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度至少8km/s。
▉题型8 近心与离心运动的意义与原因
【知识点的认识】
1．离心运动
（1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
（2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。
（3）受力特点：
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。如图所示：
2．近心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近。如图所示：
注意：物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。
24．关于离心现象，下列说法不正确的是（ ）
A．脱水筒，离心器是利用离心现象工作的
B．汽车限制速度可防止离心现象造成危害
C．做匀速圆周运动的物体，当向心力突然增大时做离心运动
D．做匀速圆周运动的物体，当合外力消失时，他将沿切线做匀速直线运动
【答案】C
【解答】解：A、脱水筒，离心器都是利用离心现象工作的，故A正确。
B、汽车限制速度，使得需要的向心力小于最大静摩擦力，可防止离心现象，故B正确；
C、做匀速圆周运动的物体，当提供的向心力突然增大时，做近心运动，而不是离心运动。故C不正确。
D、匀速圆周运动的物体，当合外力消失时，他将沿切线做匀速直线运动，故D正确；
本题选择不正确的，故选：C。
（多选）25．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（ ）
A．此时绳子张力为3μmg
B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
C．此时圆盘的角速度为
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
【答案】AC
【解答】解：ABC、两物块A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2r，B的半径比A的半径大，所以B所需向心力大，绳子拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，有相对圆盘沿半径指向圆内的运动趋势，根据牛顿第二定律得：
T﹣μmg＝mω2r
T+μmg＝mω2 2r
解得：T＝3μmg，ω，故AC正确，B错误。
D、烧断绳子瞬间A物体所需的向心力为2μmg，此时烧断绳子，A的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A做离心运动，故D错误。
故选：AC。
▉题型9 判断近心或离线运动的轨迹
【知识点的认识】
1．离心运动
（1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
（2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。
（3）受力特点：
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。如图所示：
2．近心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近。如图所示：
注意：物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。
26．如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是（ ）
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做离心运动
【答案】B
【解答】解：在水平面上，细绳的拉力提供m所需的向心力，当拉力消失，物体受力合为零，将沿切线方向做匀速直线运动。当向心力减小时，将沿pb轨道做离心运动，
B正确，A、C、D项错误。
故选：B。
27．在光滑的水平桌面上，用细线系一个小球，球在桌面上做匀速圆周运动，当系球的线突然断了，关于球的运动，下列说法中正确的是（ ）
A．向圆心运动
B．背离圆心沿半径向外运动
C．沿切线方向匀速运动
D．做半径逐渐变大的曲线运动
【答案】C
【解答】解：小球的速度方向沿切线方向；而当线断后，小球的向心力消失，此时小球合外力为零，则小球将沿切线方向飞出，而一直做匀速直线运动；
故选：C。
▉题型10 离心运动的应用和防止
【知识点的认识】
离心现象在生活中非常普遍，要对其加以合理的利用和防护。
1.应用举例：
（1）洗衣机脱水：洗衣机利用离心运动将附着在衣物上的水分甩掉，通过高速旋转使衣物上的水分受到离心力作用，从而被甩出，实现脱水效果。
（2）棉花糖机：棉花糖机利用离心运动将熔化的糖汁甩出，形成丝状，冷却后形成棉花糖，这也是离心运动的一个应用。
（3）离心干燥器：离心干燥器利用高速旋转的网笼使湿物料受到离心力作用，从而将水分甩出，达到干燥的目的。
（4）离心机：在某些情况下，如甩体温计的水银柱回玻璃泡内，也是利用离心运动原理实现的。
2.防止举例：
（1）水平公路转弯限速：在水平公路上转弯时，如果速度过大，车辆会因为所需的向心力超过车轮与地面间的最大静摩擦力而做离心运动，容易造成事故。因此，需要限制速度以防止离心运动带来的危害。
（2）高速转动的砂轮防护：高速转动的砂轮如果转速过高，其内部的分子间相互作用力不足以提供所需的向心力时，砂轮会破裂。因此，需要控制砂轮的转速，并使用防护罩来防止砂轮破裂造成的伤害。
这些应用和防止措施展示了离心运动在实际生活中的重要作用，既可以利用其原理服务于日常生活，又需要注意控制条件以避免其带来的潜在风险。
28．下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（ ）
A．如图A所示，汽车通过凹形桥的最低点时，汽车处于失重状态
B．如图B所示，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对轮缘会有挤压作用
C．如图C所示，轻质细绳长为l，一端固定一个小球，绕另一端O点在竖直面内做圆周运动，在最高点小球的速度可以小于
D．如图D所示，脱水筒的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出
【答案】B
【解答】解：A、如图A所示，汽车通过凹形桥的最低点时，根据物体做圆周运动，合外力竖直向上，具有向上的加速度，则处于超重状态，故A错误；
B、如图B所示，火车转弯超过规定速度行驶时，重力和支持力的合力不够提供向心力，故车轮做离心运动，与外轨产生挤压，即外轨受到挤压，故B正确；
C、如图C所示，在最高点，当小球的重力刚满足向心力要求时有
此时小球的速度最小为，故C错误；
D、如图D所示，水滴和衣服间的作用力不足以提供水滴做圆周运动的向心力，故水滴做离心运动，故D错误。
故选：B。
29．下列现象中，不是利用离心现象的是（ ）
A．用洗衣机脱水
B．汽车转弯时要减速
C．用离心沉淀器分离物质
D．转动雨伞，可以去除雨伞上的一些水
【答案】B
【解答】解：A、用洗衣机脱水，是利用了离心现象，故A正确。
B、汽车转弯时要减速，是防止离心现象，故B错误。
C、用离心沉淀器分离物质，是利用了离心现象，故C正确。
D、转动雨伞，可以去除雨伞上的一些水，是利用了离心现象，故D正确。
本题选不是利用离心现象的，故选：B。
30．下列现象中属于防止离心现象带来危害的是（ ）
A．旋转雨伞甩掉雨伞上的水滴
B．列车转弯处铁轨的外轨道比内轨道高些
C．拖把桶通过旋转使拖把脱水
D．洗衣机脱水筒高速旋转甩掉附着在衣服上的水
【答案】B
【解答】解：ACD.旋转雨伞甩掉雨伞上的水滴，拖把桶通过旋转使拖把脱水和洗衣机脱水筒高速旋转甩掉附着在衣服上的水，都是利用的离心运动，故ACD错误；
B.在修建铁路时，列车转弯处铁轨的外轨道比内轨道高些，目的是由重力的分力提供一部分向心力，弥足向心力不足，防止车速过大，火车产生离心运动而发生侧翻，所以该现象属于防止离心现象带来危害。故B正确。
故选：B。
（多选）31．下列现象中，可以用离心运动解释的是（ ）
A．砂轮不得超过允许的最大转速
B．箭从弦上离开后水平飞出去
C．医用离心机分离血浆和红细胞
D．抖掉衣服表面的灰尘
【答案】AC
【解答】解：A、砂轮不得超过允许的最大转速是防止离心现象，故A正确；
B、箭离开弦后做平抛运动（忽略空气阻力），其运动轨迹由惯性和重力共同决定，属于抛体运动，与离心运动无关，故B错误；
C、医用离心机分离血浆和红细胞是离心现象的利用，故C正确；
D、把衣服抖动几下，能把粘在衣服上的尘土抖掉。这是因为抖动衣服时，尘土由于惯性，还保持原来的静止状态，所以尘土和衣服就分离开了，不能用离心现象解释，故D错误。
故选：AC。第3章第3节 离心现象
题型1 车辆在道路上的转弯问题 题型2 火车的轨道转弯问题
题型3 绳球类模型及其临界条件 题型4 杆球类模型及其临界条件
题型5 物体在圆形竖直轨道内的圆周运动 题型6 物体在环形竖直轨道内的圆周运动
题型7 拱桥和凹桥类模型分析 题型8 近心与离心运动的意义与原因
题型9 判断近心或离线运动的轨迹 题型10 离心运动的应用和防止
▉题型1 车辆在道路上的转弯问题
【知识点的认识】
汽车转弯问题模型如下
模型分析：一般来说转弯处的地面是倾斜的，当汽车以某一适当速度经过弯道时，由汽车自重与斜面的支持力的合力提供向心力；小于这一速度时，地面会对汽车产生向内侧的摩擦力；大于这一速度时，地面会对汽车产生向外侧的摩擦力。如果转弯速度过大，侧向摩擦力过大，可能会造成汽车翻转等事故。
1．中国选手邓雅文在2024年巴黎奥运会女子自由式小轮车公园赛决赛中获得金牌。如图所示，几位运动员正在倾斜的弯道上做匀速圆周运动，圆周运动的半径为r，车相对弯道无侧向滑动。若邓雅文连同小轮车（可视为质点）的总质量为m，倾斜弯道可视为倾角为θ的斜面，不计摩擦阻力和空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．邓雅文和小轮车所受支持力竖直向上
B．邓雅文和小轮车对弯道的压力大小为
C．邓雅文和小轮车的线速度大小为
D．邓雅文和小轮车运动的半径越大，其线速度就越小
2．如图，场地自行车赛道设计成与水平面保持一定倾角，三位运动员骑自行车在赛道转弯处做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．三位运动员可能受重力、支持力、向心力的作用
B．若此时三位运动员线速度大小相等，则他们所需要向心力的大小关系一定满足FA＜FB＜FC
C．若此时三位运动员角速度相等，则他们的向心加速度大小关系满足aA＞aB＞aC
D．若运动员突然加速，仍然可以保持原轨道做匀速圆周运动，则自行车受到的支持力会减小
3．对落差较大的道路，建设螺旋立交可以有效的保证车辆安全行驶。如图所示，重庆红云路螺旋立交为2.5层同心圆螺旋结构，上下层桥梁平面位置重叠。下面针对这段路的分析正确的是（ ）
A．通过螺旋式设计可减小坡度，目的是增大车辆与地面的摩擦力
B．两辆车以相同的速率转弯时，外侧的车需要的向心力一定更大
C．车辆转弯处设计成内低外高的目的是降低车辆侧滑风险
D．车辆上坡过程中受重力、支持力、摩擦力、向心力
4．在用高级沥青铺设的高速公路上，对汽车的设计限速是30m/s．汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．（g＝10m/s2）
（1）如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
（2）如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够安全通过（不起飞）圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？
（3）如果弯道的路面设计为倾斜（外高内低），弯道半径为120m，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度是多少？
▉题型2 火车的轨道转弯问题
【知识点的认识】
火车转弯模型如下
与公路弯道类似，铁轨弯道处，也通过一定的设计，展现出一定的坡度。当火车以某一适当速度通过时，恰好有火车自身重力与铁轨的支持力的合力提供向心力。当小于这一速度时，铁轨会对火车产生向外的压力，即火车会挤压内轨。当大于这一速度时。铁轨会对火车产生向内的挤压。即挤压外轨。
5．在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图所示，内外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度v转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，火车转弯半径为r，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．火车以速度v转弯时，铁轨对火车支持力大于其重力
B．火车转弯时，实际转弯速度越小越好
C．当火车上乘客增多时，火车转弯时的速度必须降低
D．火车转弯速度大于时，外轨对车轮轮缘的压力沿水平方向
6．在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，为了提高转弯速度，仅改变一个下列可行的措施是（ ）
A．减小火车质量
B．增大铁轨与车轮的摩擦
C．减小转弯半径
D．增大轨道倾斜角
（多选）7．在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则（ ）
A．该弯道的半径r
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
▉题型3 绳球类模型及其临界条件
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
8．如图所示，在光滑的轨道上，小球滑下经过圆弧部分的最高点A时，恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力有（ ）
A．重力、弹力和向心力 B．重力和弹力
C．重力和向心力 D．重力
9．如图所示，一长L＝2m的轻绳系一质量m＝2kg小球（可视为质点）在竖直平面内做圆周运动，当运动到圆周的最低点时与小球接触处绳断，绳断前瞬间轻绳承受的最大张力大小为120N，绳断后小球水平射出进入光滑水平面OA，又从A点平滑过渡后冲上倾角θ＝37°的斜面，从B点冲出斜面，最后落在平台上的C点。已知小球和斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，它在斜面上运动的时间t＝0.5s，不计空气阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小g取10m/s2，求：
（1）绳断后小球水平射出的速度大小；
（2）小球运动到B点的速度大小和斜面的长度；
（3）小球离平台的最大高度。
10．杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5kg，绳长L＝60cm。求：（g＝10m/s2）
（1）在最高点水不流出的最小速率。
（2）水在最高点速率v＝3m/s时，水对杯底的压力大小。
▉题型4 杆球类模型及其临界条件
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
11．长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为2m/s，g取10m/s2，则此时小球受到轻质细杆的力为（ ）
A．24N的拉力 B．24N的支持力
C．6N的支持力 D．6N的拉力
（多选）12．如图所示，长L＝0.5m的轻质细杆，一端固定有一个质量为m＝3kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为v＝2m/s。取g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是24N
B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6N
C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24N
D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54N
（多选）13．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力为FN（取竖直向下为弹力的正方向），小球在最高点时的速度大小为v，其图像如图乙所示，图像中a和b均为已知量，重力加速度为g，小球可视为质点，不计一切阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为
B．轻杆的长度为
C．v2＝3b时，在最高点杆对小球的弹力大小为3a
D．v2＝2b时，小球在最高点的向心加速度大小为2g
▉题型5 物体在圆形竖直轨道内的圆周运动
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
14．洗衣机进行脱水时的运动情形可简化为如图所示的模型，一半径r＝0.5m的圆筒竖直放置，当圆筒绕中心轴OO'匀速转动时，一质量为1kg的物块恰能贴着圆筒内壁做圆周运动。已知物块与圆筒内壁间的动摩擦因数为0.2，重力加速度g取10m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）物块受到哪几个力的作用？物块随圆筒做匀速圆周运动的向心力由什么力提供？向心力的大小是多少？
（2）求物块的线速度v的大小。
15．如图所示，质量为m＝2kg的小球在竖直平面内的光滑圆形轨道内侧运动，小球经过最高点时恰好不脱离轨道的速度v0＝2m/s，重力加速度大小为g＝10m/s2。求：
（1）圆形轨道半径r。
（2）若小球经过轨道最高点时对轨道的压力为60N，此时小球的速度。
（3）若小球以经过轨道最低点时，小球对轨道的压力。
16．如图甲所示，竖直面内有一光滑轨道BCD，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角α＝30°，圆弧轨道半径为，与水平轨道CD相切于点C。现将一小滑块（可视为质点）从空中的A点以v0＝4m/s的初速度水平向左抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C点，滑块在圆弧末端C点速度为vC＝12m/s，对轨道的压力NC＝64N，之后继续沿水平轨道CD滑动，经过D点滑到质量为M＝1kg，长为L＝7m的木板上。图乙为木板开始运动后一段时间内的v﹣t图像，滑块与地面、木板与地面间的动摩擦因数相同，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力和木板厚度。求：
（1）小滑块经过圆弧轨道上B点的速度大小；
（2）小滑块的质量；
（3）全过程中木板的位移。
▉题型6 物体在环形竖直轨道内的圆周运动
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
17．如图所示，竖直面内的圆形管道半径R远大于横截面的半径，有一小球的直径比管横截面直径略小，在管道内做圆周运动。小球过最高点时，小球对管壁的弹力大小用F表示、速度大小用v表示，当小球以不同速度经过管道最高点时，其F﹣v2图像如图所示。则（ ）
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝b时，小球对管壁的弹力方向竖直向下
D．v2＝2b时，小球受到的弹力大小是重力大小的三倍
18．假定航天员在火星表面利用如图所示的装置研究小球的运动，竖直放置的光滑半圆形管道固定在水平面上，一直径略小于管道内径的小球（可视为质点）沿水平面从管道最低点A进入管道，从最高点B脱离管道后做平抛运动，1s后与倾角为37°的斜面垂直相碰于C点，已知火星的半径是地球半径的倍，质量为地球质量的倍，地球表面重力加速度g＝10m/s2，忽略星球自转影响。半圆形管道的半径为r＝0.5m，小球的质量为m＝0.5kg，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）C点与B点的水平距离；
（2）小球在B点对轨道的压力。
19．如图所示，一内壁光滑的环形细圆管固定在水平桌面上，管内间距相等的三位置处，分别有静止的小球A、B、C，质量分别为mA＝4m、mB＝m、mC＝3m，大小相同，它们的直径略小于管的直径。小球A、B是弹性球，A、B之间发生碰撞时没有机械能损失。小球C是粘性球，任何小球与小球C发生碰撞后都会粘连在一起。小球球心到圆环中心的距离为R，现让A以初速度v0沿管顺时针运动，设各球之间的碰撞时间极短，求：
（1）A和B第一次碰后各自的速度大小；
（2）B和C相碰结合在一起后的瞬间对管的压力大小；
（3）从A出发到三个小球粘在一起所用的时间。
▉题型7 拱桥和凹桥类模型分析
【知识点的认识】
1.模型的构建
如下图所示，汽车分别经过凸形桥和凹形桥，设汽车的质量为m，桥面圆弧半径为r，汽车经过桥面最高点或最低点的速度为v。
2.模型分析
20．下列关于曲线运动的说法中，正确的是（ ）
A．做曲线运动的物体的加速度一定是变化的
B．做曲线运动的物体其速度大小一定是变化的
C．做匀速圆周运动的物体，所受的合力不一定时刻指向圆心
D．骑自行车冲到圆弧形桥顶时，人对自行车座的压力减小，这是失重造成的
21．石拱桥是中国传统桥梁的四大基本形式之一。假设如图所示拱形桥的桥面是半径为R的圆的一部分，一辆汽车以速度v匀速通过该桥，图中拱形桥的最高点为Q，重力加速度为g。汽车受到的阻力恒定。下列说法正确的是（ ）
A．汽车运动到Q点时处于超重状态
B．汽车运动到Q点时牵引力大于阻力
C．汽车从上桥到下桥的速度v
D．汽车从上桥到下桥的加速度大小不变
（多选）22．如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（ ）
A．图a中轻杆长为l，若小球在最高点的角速度小于，杆对小球的作用力向上
B．图b中若火车转弯时未达到规定速率，轮缘对外轨道有挤压作用
C．图c中若A、B均相对圆盘静止，所在圆周半径2RA＝3RB，质量mA＝2mB，则A、B所受摩擦力fA＝fB
D．图d中是一圆锥摆，增加绳长，保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度不变
23．如图一辆质量为500kg的汽车通过一座半径为50m的圆弧形拱桥顶部时。
（1）如果汽车以6m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？
（2）如果汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零，则汽车通过拱桥的顶部时速度是多大？
（3）设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度至少多大。（重力加速度g取10m/s2，地球半径R取6.4×103km）
▉题型8 近心与离心运动的意义与原因
【知识点的认识】
1．离心运动
（1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
（2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。
（3）受力特点：
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。如图所示：
2．近心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近。如图所示：
注意：物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。
24．关于离心现象，下列说法不正确的是（ ）
A．脱水筒，离心器是利用离心现象工作的
B．汽车限制速度可防止离心现象造成危害
C．做匀速圆周运动的物体，当向心力突然增大时做离心运动
D．做匀速圆周运动的物体，当合外力消失时，他将沿切线做匀速直线运动
（多选）25．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（ ）
A．此时绳子张力为3μmg
B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
C．此时圆盘的角速度为
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
▉题型9 判断近心或离线运动的轨迹
【知识点的认识】
1．离心运动
（1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
（2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。
（3）受力特点：
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。如图所示：
2．近心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近。如图所示：
注意：物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。
26．如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是（ ）
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做离心运动
27．在光滑的水平桌面上，用细线系一个小球，球在桌面上做匀速圆周运动，当系球的线突然断了，关于球的运动，下列说法中正确的是（ ）
A．向圆心运动
B．背离圆心沿半径向外运动
C．沿切线方向匀速运动
D．做半径逐渐变大的曲线运动
▉题型10 离心运动的应用和防止
【知识点的认识】
离心现象在生活中非常普遍，要对其加以合理的利用和防护。
1.应用举例：
（1）洗衣机脱水：洗衣机利用离心运动将附着在衣物上的水分甩掉，通过高速旋转使衣物上的水分受到离心力作用，从而被甩出，实现脱水效果。
（2）棉花糖机：棉花糖机利用离心运动将熔化的糖汁甩出，形成丝状，冷却后形成棉花糖，这也是离心运动的一个应用。
（3）离心干燥器：离心干燥器利用高速旋转的网笼使湿物料受到离心力作用，从而将水分甩出，达到干燥的目的。
（4）离心机：在某些情况下，如甩体温计的水银柱回玻璃泡内，也是利用离心运动原理实现的。
2.防止举例：
（1）水平公路转弯限速：在水平公路上转弯时，如果速度过大，车辆会因为所需的向心力超过车轮与地面间的最大静摩擦力而做离心运动，容易造成事故。因此，需要限制速度以防止离心运动带来的危害。
（2）高速转动的砂轮防护：高速转动的砂轮如果转速过高，其内部的分子间相互作用力不足以提供所需的向心力时，砂轮会破裂。因此，需要控制砂轮的转速，并使用防护罩来防止砂轮破裂造成的伤害。
这些应用和防止措施展示了离心运动在实际生活中的重要作用，既可以利用其原理服务于日常生活，又需要注意控制条件以避免其带来的潜在风险。
28．下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（ ）
A．如图A所示，汽车通过凹形桥的最低点时，汽车处于失重状态
B．如图B所示，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对轮缘会有挤压作用
C．如图C所示，轻质细绳长为l，一端固定一个小球，绕另一端O点在竖直面内做圆周运动，在最高点小球的速度可以小于
D．如图D所示，脱水筒的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出
29．下列现象中，不是利用离心现象的是（ ）
A．用洗衣机脱水
B．汽车转弯时要减速
C．用离心沉淀器分离物质
D．转动雨伞，可以去除雨伞上的一些水
30．下列现象中属于防止离心现象带来危害的是（ ）
A．旋转雨伞甩掉雨伞上的水滴
B．列车转弯处铁轨的外轨道比内轨道高些
C．拖把桶通过旋转使拖把脱水
D．洗衣机脱水筒高速旋转甩掉附着在衣服上的水
（多选）31．下列现象中，可以用离心运动解释的是（ ）
A．砂轮不得超过允许的最大转速
B．箭从弦上离开后水平飞出去
C．医用离心机分离血浆和红细胞
D．抖掉衣服表面的灰尘
