北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年下学期高三开学考数学试卷（含答案）

数学试题
2026 年 2 月 26 日
本试卷共三道大题, 21 道小题, 共 4 页, 150 分。考试时长 120 分钟。有生务必将答案 答在答题纸上，在试卷上作答无效.
一、选择题共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. . C. D.
2. 若复数 满足 ,则
A. 1 B. C. 2 D.
3. 在 中， 分别是角 的对边， ，则( )
A. 为锐角三角形 B. 为直角三角形
C. 为钝角三角形 D. 以上三个选项都有可能
4. 在神经网络中, Sigmoid 函数常用于构建损失函数,其定义为: ,则对任意的实数 ，均有( )
A. B.
C. D.
5. 在平面直角坐标系 中，将向量 绕点 逆时针旋转 得到 ，若 ， 则点 的横坐标为( )
A. B. C. D.
6. 已知实数 满足 ，则下列选项错误的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 若 ，则 D. 若 ，则
7. 设无穷等比数列 的前 项和为 ，则下列结论一定成立的是( )
A. 若 逆减，则 递增 B. 若 递减，则 递减
C. 若 递减，则 递减 D. 若 递减，则 递增
8. 已知函数 的定义域为 ，函数图像为连续曲线， ，则 “ 的解集为 是“ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 若 ，且 ，则 的最小值为 ( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 正方体绕对角线旋转一圈形成如下空间几何体，其中曲线 部分是双曲线的局部。 此双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
二、填空照共5 小距，每小距 5 分，共 25 分。
11. 函数 的定义域为_____.
12. 二项式 的展开式中常数项是_____.
13. 若点 是圆 上的任一点，直线 与 轴， 轴分别相交于 两点，则 最小值为_____.
14. 抛物线 的准线方程为_____；若直线 与抛物线 交于 两点， 为准线上一点，则 的取值范围为_____.
15. 设 ,函数
①若 有最大值，则 ；
②直线 与曲线 可以有两个公共点:
③若曲线 上存在两对关于原点对称的点，则 ；
④ 设 ，则直线 斜率的取值范围是 . 其中所有正确结论的序号是_____.
三、解答题共 6 小题, 共 85 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
16.(本小题 13 分)
设函数 ，且 .
(1) 求 的值;
(II) 若 在区间 上有且只有一个零点,再从条件①,条件②,条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在，求 的最大值.
条件①: 恒成立;
条件②: 恒成立;
条件③: 为 对称中心.
17. (本小题 14 分)
某工厂有两条生产线生产同一种产品，产品需要经过质量检测. 检测结果分为优质、合格和不合格三种. 从两条生产线上各随机抽取 120 件产品, 检测结果如下表.
优质 合格 不合格
甲生产线 80 件 40 件 0 件
乙生产线 60 件 30 件 30 件
假设各件产品的检测结果相互独立, 用频率估计概率.
(1)从甲生产线抽取的样本中随机取 2 件，求这 2 件产品均合格的概率；
(II)从甲、乙两条生产线的产品中各随机抽取 1 件，记这 2 件产品的利润总和为 元(利润标准: 优质 20 元,合格 5 元,不合格-15 元). 求 的分布列及数学期望:
(III)工厂考虑对乙生产线进行技术改造,改造后,乙生产线生产的产品优质率可提高到 0.7 , 不合格率降为 0.05 . 但改造需要一次性投入，会导致每件产品的生产成本增加 4 元. 试判断改造后乙生产线产品的平均利润是否比改造前有所提高. (直接写出结论)
18.(本小题 13 分)
如图所示，在多面体 中， 为平面六边形，平面 平面 ，平面 平面 ， ， ， 与 都是边长为 2 的等边. 三角形, , 分别为 的中点.
(1)求证: ， 平面 ；
(II)棱 ED 上是否存在点 ，使得 成角 若存在，求 的值:若不存在，说明理由.
19. (本小题 15 分)
已知函数 .
(I) 若 ，求函数 的极值；
(II) 若 时， ，求 的取值范围；
(III) 若函数有两个极大值点 ,求 的范围.
20. (本小题 15 分)
已知椭圆 的离心率为 ，焦距为2，点 分别是椭圆 的左右焦点,点 是椭圆 上两动点, 不与 轴垂直,连接 ,直线 与 的外角平分线所在直线交于点 .
(I) 求椭圆 的方程:
(II) 当 分别为椭圆 的上顶点和左顶点时,求 点坐标:
(III) 求 的值.
21. (本小题 15 分)
已知 为正整数， ，若数列 同时满足:
① 对任意 ，均有 ；
② 对任意 ，均有 ；
③ 对任意 ，均有 ，
则称该数列为 数列.
(I) 若数列 是 数列,直接写出 的所有可能值;
(II) 若数列 是 数列,求 的最大值;
(III) 若数列 是 数列,求 的最小值.
参考答案
1-10. BBCDB DDABC
11.
12. 7
13.
14. (3 分,2 分)
15. ①③(3分，5 分)
16. (本小题 13 分)
解: (I) . 4 分
(II) 选①.
由 (I) 知 .
.
.
又当 时, .
最大为 10 . 13 分
选③
因为 为 对称中心,所以 .
又当 时, .
最大为 10 . 13 分
17. (本小题 14 分)
解:(I)设事件 :“从甲生产线抽取的样本中随机取 2 件，这 2 件产品均合格”，则所求概率 . 4 分
( II ) .
用频率估计概率,甲生产线取到优质品概率为 ,乙生产线取到优质品概率 .
,
分布列
40 25 10 5 -10
1 3 1 3 1 6
11 分
(III) 改造后乙生产线产品的平均利润比改造前提高. 14 分
改造前平均利润 .
改造后平均利润 .
,改造后乙生产线产品的平均利润比改造前提高.
18. (本小题 13 分)
解: (I) 与 为等边三角形,且 分别为 中点.
所以 .
平面 平面 ,平面 平面 平面 .
平面 ; 同理 平面 ,
,又 平面 平面 .
又平面 平面 .
，又 平面 .
平面 . 6 分
( II ) 过 做 ,
因为 ,
所以在 中, ,
同理 .
分别为 中点，所以 ，所以 .
又 平面 ,所以 ,所以 两两垂直,如图建系,
分别为 中点，所以 ，又 ，
所以四边形 为平行四边形,所以 .
设平面 法向量 ,
则 ,令 ,所以
设 .
因为 与平面 成角 ,
所以 .
,解得 .
所以存在点 ,使得 与平面 成角 ,此时 . 13 分
19. (本小题 15 分)
解: (I) 时,
令 .
(0,2) 2 (2,4)
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
极大值为 . 5 分
(II) 法 1:
所以 时, ,所以 .
当 时, ,
.
综上 的取值范围是 . 10 分
法 2: 因为 ,
所以 关于 对称,
所以 时, 等价于 时, .
首先: 由 时, 得 .
其次: 证明 时, 时, ,
当 时, 在 递增, .
当 时
① 当 ，即 时，
递增.
② 当 ，即 时，
存在唯一 使得 ,即 .
递增: 递减.
③ 当 ，即 时，
递减.
综上 最小值为 ,
因为 ,
所以 时, .
综上 的取值范围是 . 10 分
法 3: 另 ,
.
另 ,
时, ,等价于 时, ,
.
① 当 时， 递增.
② 当 时，存在唯一 使得 .
递增: 递减.
③ 当 时， 递减，满足题意.
综上 时, ,
因为 ,
所以 时, ,当且仅当 .
综上 的取值范围是 . 10 分
(III) 当 时, 只有一个极值点.
当 时, ,
令 或 .
若函数有两个极大值点 ,
则 在 有两个不等实根 ,
所以 ,且 .
2 (2,4)
+ 0 - 0 + 0 -
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
15 分
20. (本小题 15 分)
解: (I) 依题意, 解得
椭圆 的方程为 . 4 分
(II) 当 分别为椭圆 上顶点和左顶点时, .
因为 ,
.
所以 . 9 分
(III) 首先证明 在 上.
设 ,直线 与 交于 ,
易知 ,
① 当 时，
点 到 的距离
因为点 在直线 和椭圆 上，所以 且
同理点 到 的距离 .
.
② 当 ,或 时不妨设 此时必有 ,
由①知点 到 的距离 .
与 平行,所以 .
因为直线 过 或 ,所以 .
所以 综合①② .
所以点 在 内角分线或其外角平分线上,而 内角分线与 交点在椭圆内,
所以点 在 外角平分线上.
所以 外角平分线交于一点,所以 在 上,
. 15 分
21. (本小题 15 分)
解:(1)-3，2，3. 4 分
(II) 设 ,由①, .
一)1,2,3,4,2,1是 数列,
所以 符合题意.
二)当 时,由②,设 或 .
1. 当 时,
由②， ， ，故由③， ，与②矛盾.
2. 当 时,由②， 或 .
若 ,由③， ，与①矛盾.
若 ,由②③， ，与①矛盾.
综上, 的最大值为 6 . 9 分
(III) 若 满足③，则删除若干项仍满足③.
依题意, .
一)当 时,假若 ,设 ,
设 ,则由②， ，由①②， 无解，矛盾.
所以 .
二)假设存在 ,使得 ,设满足此条件的最小的 为 .
.
若存在 数列,则 .
不妨设 中, 出现的次数最少,设 出现了 次.
1. 当 时,则 为 数列,矛盾.
2. 当 时,设 ,