人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.4.3.1 余弦定理 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
余弦定理
做数学的艺术在于找到一个特例，其中隐含了所有推广的胚芽。
——大卫·希尔伯特
C
3百米
1百米
新课引入
1
2
3
A
B
课标要求
素养要求
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法
2.学会用余弦定理解决三类基本的解三角形问题
培养学生在方程思想指导下处理理解三角形问题的运算能力：
通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物间的普遍联系与辩证统一
余弦定理
SAS
在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为C，
求边c．
明确数学问题：
探究新知
我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，应该如何表示呢？
a，b，C
c
C
B
A
c
a
b
﹚
那么
所以
①把几何元素用向量表示：
②进行恰当的向量运算：
③向量式化成几何式：
C
B
A
c
a
b
﹚
﹚
思考：如何用已知的边b，c和它们的夹角A表示第三边a？
如何用已知的边c ，a和它们的夹角B表示第三边b？
探究新知
定理生成
余弦定理(law of cosines)
余弦定理是勾股定理的推广，
而勾股定理是余弦定理的特例.
思考讨论：
2.式子有什么特点？
1.定理的适用范围？
今日所存数学典籍，惟《周髀算经》为最早。
其托言周公问法于商高，以探讨勾股定理。 “昔者，周公问于商高。曰： ‘窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出。’商高曰： 数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三股修四径隅五。既方外外半之一矩，环而共盘得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。’”
周公同商高的对话，实为勾股之祖。故古称勾股定理为商高定理。
辨析：下列式子正确的是（ ）
(4)
C
3百米
1百米
新课引入
1
3
A
B
回到情境
定理应用
例3.
展示自我
定理应用
例2. 在△ABC中，已知a＝2，b＝，c＝+1，求A的大小．
展示自我
定理剖析
余弦定理(law of cosines)
余弦定理的推论
SSS
（1）轮换对称，简洁优美；
（2）每个等式中有同一个三角形的四个元素.---（三边一角）
（3）三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.
SAS
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做
三角形的元素.已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形（solving triangles）.
新知理解
定理应用--讲吧
在中，若，求中各角的度数.
合作探究
B
D
直角三角形
钝角三角形
锐角三角形
思考讨论：
“C为最大角”
三边关系
三角形形状
定理生成
余弦定理(law of cosines)
探究：还有其他的方法证明余弦定理吗？
定理证明
探究：还有其他的方法证明余弦定理吗？
几何法
合作探究
( )
定理证明
∴AB2＝b2－2abcosC＋a2＋b2，
即 c2＝b2＋a2－2abcosC.
同理可证a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝a2＋c2－2accosB.
坐标法
定理源起
数学思想
化归转化
函数方程
分类整合
数学素养
数学抽象
逻辑推理
数学建模
数学方法
向量法
几何法
坐标法
数学知识
定理推导
初步应用
解三角形
SAS
SSS
SSA
课堂小结
AAS
......
数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求.
---柯朗
总结反思
知识重现
课堂笔案
两边及夹角（SAS）
三边求角（SSS）
三角形形状
（角C为最大角）
知识巩固
课下习案
分层作业：1.完成学案12
2.分层训练（十一）
实践作业：请用所学知识，小组设计一个可行性方案，
测量光岳楼和摩天轮之间的距离.
拓广探索：1.探究例3中如果变成一般表示，是否一定有两个解？
2.阅读课本55-56页，了解有关的数学史文化，