人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.4.3.2 正弦定理 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
正 弦 定 理
1、什么是解三角形？
2、余弦定理及其推论？
已知三角形几个元素求其他元素的过程
适用于已知两边及其夹角或已知三边的情形
【思考】如果已知两角和一边，又该如何解这个三角形？
正弦定理
1、正弦定理经常与余弦定理、三角函数等知识进行结合。综合考察三角函数和解三角形问题。
2、解三角形是高考必考的内容。总体难度适中，入手比较容易，但在解决具体问题时，经常会出现‘会而不对，对而不全’的情况。
如：公式记忆不准；公式变形转化不当，导致求解复杂，运算错误；忽视三角形中的隐含条件；求边角时忽视其范围等。
1、了解并体会正弦定理的证明过程；
2、理解并熟练掌握正弦定理的具体内容；
3、能够用正弦定理解决简单的解三角形。
学习目标：
重难点：
1、了解并体会正弦定理的证明过程；
2、理解并熟练掌握正弦定理的具体内容；
该问题可转化为：在△ABC中，已知A、B、a，求b
根据以往经验，我们可以先从直角三角形入手：
【思考】以上形式，对于锐角三角形和钝角三角形是否依然成立？
整理变形可得：
【问题】已知三角形两角和一边，解这个三角形？
在Rt△ABC中可得到边角关系：
将以上两个式子联立：
我们分锐角三角形和钝角三角形两种情况，分别进行研究；
【思考】数量积运算出现的是角的余弦，而问题中涉及的是角的正弦。如何才能实现转化？
而在向量运算中，数量积运算和角度和长度有关，因此我们仍然需要借助数量积进行研究。
思路：可以通过构造角之间的互余关系（出直角），利用诱导公式，把边与角的余弦关系转化为正弦关系
分类讨论
与 的夹角为
与 的夹角为
A
C
B
i
1、过点A作与 垂直的单位向量
因为
所以
由分配律，得：
即：
当△ABC为锐角三角形时，如图所示：
可知：
A
C
B
j
化简得：
整理得：
2、过点C作与 垂直的单位向量
经同样处理可得：
结合上述两式可得：
当△ABC是钝角三角形时，以A是钝角为例；
如图所示
则 与 的夹角为 ， 与 的夹角为
A
C
B
k
过点A做与 垂直的单位向量 ，
依照锐角的过程，同样可得：
A
C
B
由三角函数定义，可知：
无论A为什么角，点B的坐标始终为
如图，以△ABC的顶点A为原点，边AC所在直线为x轴，建立直角坐标系。
E
（O）
x
y
过点B做BE⊥AC，垂足为E
则可知：三角形的AC边上的高BE=csinA
于是有：S△ABC = AC·BE= bcsinA
（ccosA，csinA）
由此可得：
S△ABC= casinB
S△ABC= absinC
联合1、3两个式子可得：
根据向量法可知，最后可证得：
任意三角形面积公式
S△ABC= bcsinA
B
思路：由于这一形式在直角三角形中成立，因此，对于锐角三角形和钝角三角形，只需做高，便可得到直角三角形，然后利用锐角三角函数即可证得
A
C
D
a
b
c
当△ABC是锐角三角形时，如图过B作BD⊥AC，垂足为D
根据锐角三角函数的定义，得BD=csinA，BD=asinC
进而有：csinA=asinC
由向量法可知，最后可证得：
划归转化
正弦定理（law of sines）：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
适用条件：任意三角形；
用于解决：
1）已知两边和其中一边的对角，解三角形；
2）已知两角和任一边，解三角形；
形式统一
结构对称
1、设△ABC的外接圆半径为R，则有
2、a：b：c=sinA：sinB：sinC
3、若A>B>C,则a>b>c且sinA>sinB>sinC
边化角
角化边
定性来看，就是前面提到的大边对大角
【例7】在△ABC中，已知A=15°，B=45°，c=3+√3，解这个三角形。
思路：本题属于已知两角和任一边，解三角形的问题。因此首先需要先求出c所对的角度，然后利用正弦定理进行解决。
具体过程：见课本
【例8】在△ABC中，已知B=30°，b=√2，c=3+√3，解这个三角形。
思路：本题属于已知两边和其中一边的对角的问题。因此首先需要利用正弦定理对角C进行求解，进而求出其他的量。
思考：为什么
会有两个解？