四川省泸州市合江县马街中学校2025-2026学年高三下学期开学检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 四川省泸州市合江县马街中学校2025-2026学年高三下学期开学检测数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 259.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-03 00:00:00 | ||
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文档简介
高 2026 届高三下期开学检测 数学
第 I 卷 选择题 58 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 满足 ，则 ( )
A. -1 B. C. D. 2i
2. 下列函数是偶函数的是( )
A. B. C. D.
3. 集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
5. 已知正项等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 16 B. 32 C. 27 D. 81
6. 若一组数据 的平均值 ,方差 ,若删去一个数之后,平均值没有改变,方差变为 40,则这组数据的个数 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7. 已知 ,且 ,则( )
A. B.
C. D.
8. 已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某种子站培育出 两类种子,为了研究种子的发芽率,分别抽取 100 粒种子进行试种, 得到如下饼状图与柱状图:
用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则( )
A. 若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从 5 天内的发芽率来看，B 类种子更适合种植
B. 若种下 12 粒 类种子,则有 10 粒种子 5 天内发芽的概率最大
C. 从样本 两类种子中各随机取一粒,则这两粒种子至少有一粒 8 天内未发芽的概率是 0.145
D. 若种下 10 粒 类种子,5至 8 天发芽的种子数记为 ,则
10. 过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线 于 两点 ，若 ，则下列说法正确的是( )
A. 为定值
B. 抛物线 的准线方程为
C. 过 两点作抛物线的切线,两切线交于点 ,则点 在以 为直径的圆上
D. 若过点 且与直线 垂直的直线 交抛物线于 两点，则
11. 在长方体 中, 为 的中点,点 满足 ，则( )
A. 若 为 的中点，则三棱锥 体积为定值
B. 存在点 使得
C. 当 时,平面 截长方体 所得截面的面积为
D. 若 为长方体 外接球上一点, ,则 的最小值为
第 II 卷 非选择题 92 分
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的二项展开式中 项的系数是 20,则实数 的值是_____.
13. 已知椭圆 的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的 倍,则 的离心率为_____.
14. 已知函数 ,若 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在 中，角 的对边分别为 .
(1)求A的大小；
(2)若 ，角 的平分线交 于点 ，求 .
16. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了 60 名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表:
一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 3 2 2 5 6 5 4 3 30
女生人数 9 2 3 6 4 3 2 1 30
合计 12 4 5 11 10 8 6 4 60
(1)若将一周参加体育锻炼次数为 3 次及 3 次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”. 请完成以下 列联表,并依据小概率值 的独立性检验,能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系;
不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生
女生
合计
(2)若将一周参加体育锻炼次数为 0 次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题. 以样本频率估计概率, 在全校抽取 3 名同学, 其中“极度缺乏锻炼”的人数为 ,求分布列和 ;
(3)若将一周参加体育锻炼 6 次或 7 次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯, 在样本的 10 名“运动爱好者”中, 随机抽取 3 人进行访谈, 设抽取的 3 人中男生人数为 ,求 的分布列和数学期望.
附:
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
17. 如图,在三棱柱 中,平面 平面
,过 的平面与 分别交于点 .
(1)证明:四边形 为平行四边形;
(2)若 ,则当 为何值时,直线 与平面 所成角的正弦值最大
18. 已知函数 .
(1)若 ,求 的极值.
(2)若 且 ，关于 的方程 在 上仅有一个实根 .
(i) 证明: ;
(ii) 求 的最大值.
19. 设 两点的坐标分别为 ,直线 相交于点 ,且它们的斜率之积为 ,设点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 过点 ，与 交于 两点， 在 轴上方，直线 交于点 ，直线 交于点 .
(i) 求 的最小值;
(ii) 设直线 与直线 相交于点 中点为 交 于点 ,证明: 直线 与定圆相切.
1. D
由 可得 , 则 .
故选: D
2. B
对于 ,因为 ,所以函数 为奇函数,故 不正确;
对于 ,因为 ,所以函数 为偶函数,故 正确;
对于 ,因为 ,所以函数 为奇函数,故 不正确;
对于 ,因为 ,所以函数 为非奇非偶函数,故 不正确.
故选: B.
3. C
因为集合 ,
,
所以 ,
故选: C
4. D
对于 ,如图所示: ,但 ,故 错误;
对于 B.,如图所示: 满足 ,但 ,故 B 错误;
对于 ,满足 ,但 不平行,故 错误;
对于 ,由线面平行的性质可和 ,故 正确. 故选: D.
5. C
因为 ,则 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 或 舍,
所以 .
故选: C.
6. A
由题意得到删去一个数之后, 平均值没有改变, 所以删除的数为 5 ,
由题意 ,得 ,
删除一个数后的方差为: ,
得 ,即 .
故选: A.
7. B
由题意得 ,
解得 或 .
又 ,所以 ,
则 ,
所以 ,
故 ACD 错误、B 正确.
故选: B
8. A
如图,设圆锥的底面半径为 ,母线为 ,则圆锥的高为 ,
则圆锥的体积为 ,记 ,
则 ,
由 可得 ,由 ,可得 ,
即函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
故当 时, 取得最大值,即圆锥的体积最大,
此时,母线与底面所成的角即 ,其余弦值为 .
故选: A.
9. BC
从 5 天内的发芽率来看, 类种子为 类种子为 ,故 A 错误;
若种下 12 粒 类种子,由题意可知发芽数 服从二项分布, ,
则 ,且 ,
可得 ,且 ,
所以 ,即 ,即有 10 粒种子 5 天内发芽的概率最大,故 正确;
记事件 : 样本 种子中随机取一粒 8 天内发芽;
事件 B: 样本 种子中随机取一粒 8 天内发芽;
根据对立事件的性质, 这两粒种子至少有一粒 8 天内未发芽的概率:
,故 C 正确;
由题意可知 服从二项分布, ,
所以 ,故 错误;
故选: BC
10. ACD
对于 ,由已知设过点 的直线方程为 ,
联立方程 ,
消去 得 ,可得 ,
又因为 ,
所以 ,则 ,
解得 (定值), 正确;
所以抛物线方程为 ,
准线方程为 ，B 错误；
对于 ,抛物线 ,
即 ,
则 ,
所以 ,
故直线 垂直,
所以点 在以 为直径的圆上, 正确;
对于 ,因为 , 解得 ,
因为直线 垂直于直线 ,直线 的方程为
所以 ,
则 , D 正确.
故选: ACD.
11. ACD
对于 : 因为 为 的中点， 为 的中点，所以 ，所以 面 ,
则 到面 的距离为定值，所以体积为定值，所以 正确.
对于 在平面 的投影在线段 上,若 ,又 , 且 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以 , 因为四边形 为正方形,所以 与 不垂直,所以 错误.
对于 : 平面 与平面 重合,平面 与平面 重合,所以延长 会与直线 有交点 ,因为 ,又 ,所以 , 即 为点 ,又平面 平面 ,所以平面 和平面 的交线与 平行,取 中点 ,则平面 截长方体 所得截面为矩形 ,所以面积为 ,所以 正确.
对于 : 易知长方体的外接球半径为 ,球心是 的中点 ,由 ,得 , ,则点 在球外,点 在球内, , 如图,建立空间直角坐标系,设 ,则 ,
所以 ,即 ,
所以 ,所以 正确.
故选: ACD.
12. -1
根据二项式展开式的通项公式 ,
则 展开式中 项为 ,
又 ,则该项为 ,
已知 项的系数是 20,则 ,即 ,
解得 .
故答案为: -1 .
13.
设椭圆 的半焦距为 ,由题意可得 ,整理得 ,因此 ,所以 的离心率为 .
故答案为: .
14.
,
即 ,
①, ，
②,
又 在 上单调递增,
故由①②得 ,
故 ,
令 ,则 ,
令 ,解得: ,令 ,解得: ,
故 在 递减,在 递增,
故 ,
故答案为: .
15.
(2)
(1)由 ,得 ,
整理得 ,即 ,
因为 ,
所以 ;
(2) ，
则 ,
则 ,所以 ,
而 ,
则有 ,所以
16.(1)根据统计表格数据可得列联表如下:
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为 : 性别与锻炼情况独立,即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关;
根据列联表的数据计算可得 ,
根据小概率值 的独立性检验,推断 不成立,
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系, 此推断犯错误的概率不超过 0.1 .
(2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故 近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为 “极度缺乏锻炼” 者的概率 .
即可得 ,
故所求分布列为
0 1 2 3
64 125 48 125
故 .
(3)易知 10 名“运动爱好者”有 7 名男生，3 名女生，
所以 的所有可能取值为0,1,2,3,且 服从超几何分布:
故所求分布列为
0 1 2 3
1 120 7 40 7 24
可得 .
17.(1) 因为 平面 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,平面 平面 ,所以 .
因为平面 平面 ,平面 平面 ,平面 平面 ,所以 ,
所以四边形 为平行四边形.
(2)取 的中点 ，连接 ，
由 及 ，得 为等边三角形，所以 .
又平面 平面 ,平面 个平面 平面 , 所以 平面 .
又 平面 ,所以 ,由 及 ,
得 为等腰直角三角形，所以 .
以 为坐标原点， 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向， 建立如图的空间直角坐标系,
则 ,
所以 ,
设 ,则 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,令 ,得 ,
所以平面 的一个法向量为 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ,
所以当 ,即 为 的中点时, ,
故当 时,直线 与平面 所成角的正弦值最大.
18. (1) 若 ,则 ,
所以 ,
令 ,得 ,令 ,得 或 .
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以极小值 ,极大值 .
(2)(i) 令 ，
则 ,
令 ,显然 在 上单调递增,又 ,
所以存在唯一的 ,满足 ,即 ,
且当 时, ,即 ,当 时, ,即 ,
故 在 上单调递减,在 上单调递增, 是 在 上的极小值, 也是最小值,
又因为 ,要使 在 上仅有一个实根 ,必需 ,所以
(ii) 由 (i) 知 ,
将 代入,得 .
所以 .
所以 ,
令 ,
则 ,
令 ,得 ,令 ,得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,
故 的最大值为 .
19. (1) 设 ,则 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
所以椭圆 的方程为 ;
(2)(i)依题意知，直线 的斜率不为 0，设直线 的方程为 ，
联立 ,消去 得 ,
设 ,所以 ,
所以 ,
设 ,由题意知, ,
,
由题意知 ,所以 ,
,所以 ,即 ,
所以 ,所以 ,所以 ,即 在直线 上,
由题意知 ,所以 ,
所以 ,即 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
即 在直线 上,因为直线 的方程为 ,直线 的方程为 , 由 ,得 ,
所以 ,当且仅当 时取等号,所以 的最小值为 6 ;
(ii) 证明: 因为直线 与直线 相交于点 ,又 的中点为 ,所以 ,
设 ,当 时, ,
由题意得 ,所以 ,当 时, 也满足 ,
故 平分 ,所以 ,所以 为 的中垂线,
所以 ,即 在圆 上,
又 ，所以 ，所以 与定圆 相切.
第 I 卷 选择题 58 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 满足 ，则 ( )
A. -1 B. C. D. 2i
2. 下列函数是偶函数的是( )
A. B. C. D.
3. 集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
5. 已知正项等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 16 B. 32 C. 27 D. 81
6. 若一组数据 的平均值 ,方差 ,若删去一个数之后,平均值没有改变,方差变为 40,则这组数据的个数 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7. 已知 ,且 ,则( )
A. B.
C. D.
8. 已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某种子站培育出 两类种子,为了研究种子的发芽率,分别抽取 100 粒种子进行试种, 得到如下饼状图与柱状图:
用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则( )
A. 若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从 5 天内的发芽率来看，B 类种子更适合种植
B. 若种下 12 粒 类种子,则有 10 粒种子 5 天内发芽的概率最大
C. 从样本 两类种子中各随机取一粒,则这两粒种子至少有一粒 8 天内未发芽的概率是 0.145
D. 若种下 10 粒 类种子,5至 8 天发芽的种子数记为 ,则
10. 过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线 于 两点 ，若 ，则下列说法正确的是( )
A. 为定值
B. 抛物线 的准线方程为
C. 过 两点作抛物线的切线,两切线交于点 ,则点 在以 为直径的圆上
D. 若过点 且与直线 垂直的直线 交抛物线于 两点，则
11. 在长方体 中, 为 的中点,点 满足 ，则( )
A. 若 为 的中点，则三棱锥 体积为定值
B. 存在点 使得
C. 当 时,平面 截长方体 所得截面的面积为
D. 若 为长方体 外接球上一点, ,则 的最小值为
第 II 卷 非选择题 92 分
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的二项展开式中 项的系数是 20,则实数 的值是_____.
13. 已知椭圆 的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的 倍,则 的离心率为_____.
14. 已知函数 ,若 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在 中，角 的对边分别为 .
(1)求A的大小；
(2)若 ，角 的平分线交 于点 ，求 .
16. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了 60 名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表:
一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 3 2 2 5 6 5 4 3 30
女生人数 9 2 3 6 4 3 2 1 30
合计 12 4 5 11 10 8 6 4 60
(1)若将一周参加体育锻炼次数为 3 次及 3 次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”. 请完成以下 列联表,并依据小概率值 的独立性检验,能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系;
不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生
女生
合计
(2)若将一周参加体育锻炼次数为 0 次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题. 以样本频率估计概率, 在全校抽取 3 名同学, 其中“极度缺乏锻炼”的人数为 ,求分布列和 ;
(3)若将一周参加体育锻炼 6 次或 7 次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯, 在样本的 10 名“运动爱好者”中, 随机抽取 3 人进行访谈, 设抽取的 3 人中男生人数为 ,求 的分布列和数学期望.
附:
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
17. 如图,在三棱柱 中,平面 平面
,过 的平面与 分别交于点 .
(1)证明:四边形 为平行四边形;
(2)若 ,则当 为何值时,直线 与平面 所成角的正弦值最大
18. 已知函数 .
(1)若 ,求 的极值.
(2)若 且 ，关于 的方程 在 上仅有一个实根 .
(i) 证明: ;
(ii) 求 的最大值.
19. 设 两点的坐标分别为 ,直线 相交于点 ,且它们的斜率之积为 ,设点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 过点 ，与 交于 两点， 在 轴上方，直线 交于点 ，直线 交于点 .
(i) 求 的最小值;
(ii) 设直线 与直线 相交于点 中点为 交 于点 ,证明: 直线 与定圆相切.
1. D
由 可得 , 则 .
故选: D
2. B
对于 ,因为 ,所以函数 为奇函数,故 不正确;
对于 ,因为 ,所以函数 为偶函数,故 正确;
对于 ,因为 ,所以函数 为奇函数,故 不正确;
对于 ,因为 ,所以函数 为非奇非偶函数,故 不正确.
故选: B.
3. C
因为集合 ,
,
所以 ,
故选: C
4. D
对于 ,如图所示: ,但 ,故 错误;
对于 B.,如图所示: 满足 ,但 ,故 B 错误;
对于 ,满足 ,但 不平行,故 错误;
对于 ,由线面平行的性质可和 ,故 正确. 故选: D.
5. C
因为 ,则 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 或 舍,
所以 .
故选: C.
6. A
由题意得到删去一个数之后, 平均值没有改变, 所以删除的数为 5 ,
由题意 ,得 ,
删除一个数后的方差为: ,
得 ,即 .
故选: A.
7. B
由题意得 ,
解得 或 .
又 ,所以 ,
则 ,
所以 ,
故 ACD 错误、B 正确.
故选: B
8. A
如图,设圆锥的底面半径为 ,母线为 ,则圆锥的高为 ,
则圆锥的体积为 ,记 ,
则 ,
由 可得 ,由 ,可得 ,
即函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
故当 时, 取得最大值,即圆锥的体积最大,
此时,母线与底面所成的角即 ,其余弦值为 .
故选: A.
9. BC
从 5 天内的发芽率来看, 类种子为 类种子为 ,故 A 错误;
若种下 12 粒 类种子,由题意可知发芽数 服从二项分布, ,
则 ,且 ,
可得 ,且 ,
所以 ,即 ,即有 10 粒种子 5 天内发芽的概率最大,故 正确;
记事件 : 样本 种子中随机取一粒 8 天内发芽;
事件 B: 样本 种子中随机取一粒 8 天内发芽;
根据对立事件的性质, 这两粒种子至少有一粒 8 天内未发芽的概率:
,故 C 正确;
由题意可知 服从二项分布, ,
所以 ,故 错误;
故选: BC
10. ACD
对于 ,由已知设过点 的直线方程为 ,
联立方程 ,
消去 得 ,可得 ,
又因为 ,
所以 ,则 ,
解得 (定值), 正确;
所以抛物线方程为 ,
准线方程为 ，B 错误；
对于 ,抛物线 ,
即 ,
则 ,
所以 ,
故直线 垂直,
所以点 在以 为直径的圆上, 正确;
对于 ,因为 , 解得 ,
因为直线 垂直于直线 ,直线 的方程为
所以 ,
则 , D 正确.
故选: ACD.
11. ACD
对于 : 因为 为 的中点， 为 的中点，所以 ，所以 面 ,
则 到面 的距离为定值，所以体积为定值，所以 正确.
对于 在平面 的投影在线段 上,若 ,又 , 且 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以 , 因为四边形 为正方形,所以 与 不垂直,所以 错误.
对于 : 平面 与平面 重合,平面 与平面 重合,所以延长 会与直线 有交点 ,因为 ,又 ,所以 , 即 为点 ,又平面 平面 ,所以平面 和平面 的交线与 平行,取 中点 ,则平面 截长方体 所得截面为矩形 ,所以面积为 ,所以 正确.
对于 : 易知长方体的外接球半径为 ,球心是 的中点 ,由 ,得 , ,则点 在球外,点 在球内, , 如图,建立空间直角坐标系,设 ,则 ,
所以 ,即 ,
所以 ,所以 正确.
故选: ACD.
12. -1
根据二项式展开式的通项公式 ,
则 展开式中 项为 ,
又 ,则该项为 ,
已知 项的系数是 20,则 ,即 ,
解得 .
故答案为: -1 .
13.
设椭圆 的半焦距为 ,由题意可得 ,整理得 ,因此 ,所以 的离心率为 .
故答案为: .
14.
,
即 ,
①, ，
②,
又 在 上单调递增,
故由①②得 ,
故 ,
令 ,则 ,
令 ,解得: ,令 ,解得: ,
故 在 递减,在 递增,
故 ,
故答案为: .
15.
(2)
(1)由 ,得 ,
整理得 ,即 ,
因为 ,
所以 ;
(2) ，
则 ,
则 ,所以 ,
而 ,
则有 ,所以
16.(1)根据统计表格数据可得列联表如下:
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为 : 性别与锻炼情况独立,即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关;
根据列联表的数据计算可得 ,
根据小概率值 的独立性检验,推断 不成立,
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系, 此推断犯错误的概率不超过 0.1 .
(2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故 近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为 “极度缺乏锻炼” 者的概率 .
即可得 ,
故所求分布列为
0 1 2 3
64 125 48 125
故 .
(3)易知 10 名“运动爱好者”有 7 名男生，3 名女生，
所以 的所有可能取值为0,1,2,3,且 服从超几何分布:
故所求分布列为
0 1 2 3
1 120 7 40 7 24
可得 .
17.(1) 因为 平面 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,平面 平面 ,所以 .
因为平面 平面 ,平面 平面 ,平面 平面 ,所以 ,
所以四边形 为平行四边形.
(2)取 的中点 ，连接 ，
由 及 ，得 为等边三角形，所以 .
又平面 平面 ,平面 个平面 平面 , 所以 平面 .
又 平面 ,所以 ,由 及 ,
得 为等腰直角三角形，所以 .
以 为坐标原点， 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向， 建立如图的空间直角坐标系,
则 ,
所以 ,
设 ,则 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,令 ,得 ,
所以平面 的一个法向量为 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ,
所以当 ,即 为 的中点时, ,
故当 时,直线 与平面 所成角的正弦值最大.
18. (1) 若 ,则 ,
所以 ,
令 ,得 ,令 ,得 或 .
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以极小值 ,极大值 .
(2)(i) 令 ，
则 ,
令 ,显然 在 上单调递增,又 ,
所以存在唯一的 ,满足 ,即 ,
且当 时, ,即 ,当 时, ,即 ,
故 在 上单调递减,在 上单调递增, 是 在 上的极小值, 也是最小值,
又因为 ,要使 在 上仅有一个实根 ,必需 ,所以
(ii) 由 (i) 知 ,
将 代入,得 .
所以 .
所以 ,
令 ,
则 ,
令 ,得 ,令 ,得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,
故 的最大值为 .
19. (1) 设 ,则 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
所以椭圆 的方程为 ;
(2)(i)依题意知，直线 的斜率不为 0，设直线 的方程为 ，
联立 ,消去 得 ,
设 ,所以 ,
所以 ,
设 ,由题意知, ,
,
由题意知 ,所以 ,
,所以 ,即 ,
所以 ,所以 ,所以 ,即 在直线 上,
由题意知 ,所以 ,
所以 ,即 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
即 在直线 上,因为直线 的方程为 ,直线 的方程为 , 由 ,得 ,
所以 ,当且仅当 时取等号,所以 的最小值为 6 ;
(ii) 证明: 因为直线 与直线 相交于点 ,又 的中点为 ,所以 ,
设 ,当 时, ,
由题意得 ,所以 ,当 时, 也满足 ,
故 平分 ,所以 ,所以 为 的中垂线,
所以 ,即 在圆 上,
又 ，所以 ，所以 与定圆 相切.
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