甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年第二学期高三数学学业学情调研卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年第二学期高三数学学业学情调研卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 137.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-03 00:00:00 | ||
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文档简介
临潭一中 2025-2026 学年第二学期 2026 届高三数学学业学情调研卷
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
4. 考试范围:高考所有内容
第一部分(选择题 共 58 分)
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知复数 ( 为虚数单位),则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则 B. 若 ，则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
4. 已知 ,则 ,设 所成的角为 ,则 ( )
A. 1 B. 2 C. D. 3
5. 从甲袋中摸出一个红球的概率是 ,从乙袋中摸出 1 个红球的概率是 ,从两袋中各摸出 1 个球, 则至少有一个红球的概率为( )
A. B. C. D.
6. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 是 的左顶点， 为 所在平面内一点,且 . 若 与 均为等腰三角形,则 的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 有且仅有三个零点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 某企业积极响应国家节水号召, 对污水进行净化再利用, 如图是该企业近 7 年的污水净化量(单位:t)的折线图，则( )
A. 这组数据的众数是 56
B. 这组数据的极差是 4
C. 这组数据的 60% 分位数是 55
D. 去掉第 5 年的数据后，新数据的方差会变小
10. 已知抛物线 ,直线 过 的焦点 ,且与 交于 两点,则下列说法中正确的是 ( )
A. 若直线 的斜率为 ,则
B. 以 为直径的圆与 轴相切
C. 的最小值为
D. 若点 ，则 周长的最小值为
11. 已知三次函数 ，下列说法正确的是( )
A. 若 的极大值为 4,则
B. 的极小值为 0,则
C. ,则
D. 存在 ,使 在 的值域为
第二部分 (非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若直线 平分圆 的周长,则 的最小值为_____.
13. 已知等差数列 满足 ，则 _____.
14. 在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 . 若 ， ， ， 是 的中点,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知数列 满足 .
(1)求 并证明数列 为等比数列；
(2)若 ，求满足条件的最大整数 .
16. 如图,已知四棱锥 的底面 是直角梯形， ， ， 平面 .
(1)若平面 平面 ，求证: 平面 ；
(2)若 是线段 上动点， 为 中点，试确定点 的位置，使得直线 与平面 所成角最大, 并求出该最大角.
17. 在“欢乐玩具城”举办的周年庆典上，推出了一款由三人组队参加的趣味抽奖游戏. 现场摆放着三个外观完全相同的盒子, 分别装有 2 个、3 个、4 个限量版玩具手办.游戏规则如下: 先由其中一人随机抽取一个盒子打开, 若该盒子中的手办个数多于 2 个, 则从该盒中获取 1 个手办作为奖品(此时该盒中的手办个数减少 1 个)，否则没有奖品；无论获奖与否，都将该盒子放回原处；接下来由剩下两人按上述方式各进行一次抽奖，然后该队游戏结束.
现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，并按甲乙丙的顺序依次进行抽奖.
(1)求该队仅有乙获得奖品的概率；
(2)记该队获得奖品的总个数为 ，求 的分布列及数学期望 .
18. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 在椭圆 上， 分别为椭圆 的左、右焦点，且 .
(I) 求点 的坐标;
(II) 点 是直线 上的动点,过点 作两条互相垂直的直线 与 分别交椭圆 于 和 四个不同点,其中 的斜率为 且 ,求 的值.
19. 已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线垂直于 轴,求实数 的值；
(2)若 和 是 的两个极值点,其中 ,求 的取值范围;
(3)在(2)的条件下，若 ，求 的最大值(e是自然对数的底数).
1. B
由题意知, ,
因为解分式不等式 可得 ,
所以 ,即 .
故选: B
2. C
题意 ,
所以 .
故选:
3. D
对于 ,若 ,则 与 可能异面,故 错误;
对于 ,若 ,则 与 相交时, 与 都与交线平行时,
也满足条件, 故 B 错误;
对于 ,若 ,则 与 可能平行,故 错误.
对于 ,若 ,则 ,故 正确.
故选: D.
4. B
因为 ,所以 ,即 .
又因为 所成的角为 ,所以 ,解得 .
故选: B.
5. C
根据题意至少有一个红球的概率为 .
故选: C.
6.
由 得 , 又因为 , 故选: B.
7. D
已知椭圆 的左、右焦点为 ,左顶点 . 因为 为等腰三角形且 ，所以 是等边三角形，边长为 ， 故 ， 点坐标为 .
又 为等腰三角形, , . 由等腰三角形性质,
若 ,则 ,则 ,离心率 .
若 ,可得 ,即 ,则 ,因为 ,所以此情况不成立.
若 ,可得 ,则 ,
化简得 ,因为 ,所以 ,不满足 ,此情况不成立.
因此,椭圆的离心率为 .
故选: D
8. C
因为 有且仅有三个零点,则方程 有且仅有三个根,
令 ,则 ,
由 得 得 ;
则 在 单调递增,在 上单调递减,则 ,
因为 时 时 ,且 时 ,
所以 的函数图象如图:
因为 不是 的根,
所以 有两个根,其中一个根位于 ,另一根位于 或另一根是 ,
但方程 的两根的乘积为 -1,
所以 一个根位于 ,另一根位于 ,
则 ,得 , 故 的取值范围是 .
故选:
9.
将数据从小到大排列为52,52,53,54,55,56,56,众数是 52 和 56, A 错误; 极差是 正确;
对于 ,所以 分位数是从小到大排列的第 5 个数,即为 正确;
对于 ,该组数据的平均数为 ,第 5 年的数据为 54,设原始数据的方差为 ,去掉第 5 年的数据后的方差为 ,则
即 ,故 错误.
故选: BC.
10. BCD
对于 ,由题意得 ,若直线 的斜率为 ,则有直线 ,
联立 ,得 ,则有 ,
则焦点弦长 ，故 A 错误；
对于 ,以 为直径的圆,圆心为 中点 ,半径为 ,
圆心到 轴的距离为 ,等于半径,因此圆与 轴相切,故 正确;
对于 ,设直线 ,
联立 ,得 ,则有 ,则 ,
焦半径 ,则 ,
将 代入可得 ,
当且仅当 时,即 时等号成立,
故 的最小值为 正确;
对于 D, 的周长为 ,其中 ,
由抛物线的定义可得 为点 到准线的距离，
易得当 共线时 取最小值如图:
则 ,则 ,故 正确.
故选: BCD.
11. AC
对于 选项,显然 ,
令 得 或 3,若 ,
令 ,得 或 ,令 ,得 ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
故 在 处取得极大值,在 处取得极小值,且 ,
令 ,解得 ; 若 ,
令 得 ,令 得 或 ,
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值,在 处取得极大值,
且 ,不合要求,综上, , A 正确;
对于 选项，由 可知，当 时，极小值为 ，满足要求；
当 时,极小值为 ,不合要求,则 , B 错误;
对于 选项,由题意得 ,
可得 ,
又 ,故 ,故 正确;
对于 选项，由 知， 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 在 上单调递减,在 上单调递增,
显然 的最小值为 ,不合要求;
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
若 ,则 在
其中 ,故 的最小值为 ,不合要求;
若 ,则 在 上单调递减,故 的最小值为 ,不合要求; 不存在 ,使 在 的值域为 错误.
故选: AC
12. 4
圆 即圆 ,则圆心为 ,
由题知直线 过圆心 ,所以有 ,
所以 ,
当 ,即 时,等号成立.
故答案为: 4 .
13. 8
设等差数列 的公差为 ,
由 ,得 ,
所以 ,所以 ;
所以 .
故答案为:8.
14.
因为 ,由正弦定理可得 ,故 ,又因为 ,所以 , 因为 为 的中点,所以 ,
所以 ,故 .
故答案为: .
15. ,证明见解析
(2)2025.
(1) 因为 ,所以 ,所以 .
又因为 ,
所以 是以 为首项,公比为 的等比数列.
(2)由(1)可知 所以 .
所以
要使 ,
则 ,由 可知 ,所以 , 即 的最大值为 2025.
16. (1)证明见解析
(2) 点满足 ， .
(1)因为 平面 平面 ,所以 , 因为 ，所以 ，
又因为 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
因为平面 平面 ,所以 ,
又因为 平面 ,所以 平面
(2)以 为原点， 分别为 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
,
设 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
则有 ,取 ,则 ,
则 与平面 的夹角的正弦值为 ,设 ,
则 ,
当 时， 取得最大值 ，所以 的最大值为 ，
所以当 点满足 时， 与平面 的夹角的最大值为 .
17.
(2)分布列见解析， .
(1)原先装有 2 个,3 个,4 个玩具所在的盒子记为编号 ， “取到编号为 的盒子” 记为事件 ,
“该队仅有乙获得奖品”记为事件 ,则
(2) 的可能取值为0,1,2,3，
①
②取到一个奖品，若其来自 3 号盒，可以由甲、乙、丙分别获得，对应的基本事件数为 4 种, 2 种, 1 种.
取到一个奖品, 若其来自 4 号盒, 可以由甲、乙、丙分别获得, 对应的基本事件数共有 3 种. 所以 .
③取到两个奖品，若其都来自 4 号盒，可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得，对应的基本事件数分别为 2 种, 1 种, 1 种.
取到两个奖品, 若其来自 3 号和 4 号盒, 可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得, 对应的基本事件数分别为 4 种, 3 种, 2 种.
所以 .
④取到三个奖品，取到 3 号盒子 1 次，4 号盒子 2 次，对应的基本事件数共 3 种，所以
所以分布列为:
0 1 2 3
10 27 1 9
18.
(2)(I) 或 ，(II)
(1)依题意， ，所以 ，所以 ；
又 ，所以 ；
所以椭圆 的方程为: ;
(2) (I)
由(1)知， ，所以 ；
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ；
又 ,所以 ,所以 ;
故点 的坐标为 或 ;
(II) 设 ,即 ;
由 ,得 ,
所以 ,
即 ;
因为 ,
所以
同理,对于斜率为 的直线 ,
可得 ;
又 ,所以 ,
因为过点 作两条互相垂直的直线 与 分别交椭圆 于 和 四个不同点，
所以点 不能在椭圆上;
若点 在椭圆上,则 ,即 ,因此 ,
所以 ,即 ,解得 .
19.
(2)
(3) .
(1) 的导数为 ,
曲线 在点 处的切线斜率为 ,解得 ;
(2)函数 的定义域为 ,
依题意,方程 有两个不等的正根 (其中 ).
故 ,
所以 ,并且 .
所以
故 的取值范围是 .
(3)当 时， .
若设 ,则 .
于是有 . 所以 ,所以 ,
所以同理得
,
构造函数 (其中 ),则 ,
所以 在 上单调递减, .
故 的最大值是 .
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
4. 考试范围:高考所有内容
第一部分(选择题 共 58 分)
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知复数 ( 为虚数单位),则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则 B. 若 ，则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
4. 已知 ,则 ,设 所成的角为 ,则 ( )
A. 1 B. 2 C. D. 3
5. 从甲袋中摸出一个红球的概率是 ,从乙袋中摸出 1 个红球的概率是 ,从两袋中各摸出 1 个球, 则至少有一个红球的概率为( )
A. B. C. D.
6. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 是 的左顶点， 为 所在平面内一点,且 . 若 与 均为等腰三角形,则 的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 有且仅有三个零点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 某企业积极响应国家节水号召, 对污水进行净化再利用, 如图是该企业近 7 年的污水净化量(单位:t)的折线图，则( )
A. 这组数据的众数是 56
B. 这组数据的极差是 4
C. 这组数据的 60% 分位数是 55
D. 去掉第 5 年的数据后，新数据的方差会变小
10. 已知抛物线 ,直线 过 的焦点 ,且与 交于 两点,则下列说法中正确的是 ( )
A. 若直线 的斜率为 ,则
B. 以 为直径的圆与 轴相切
C. 的最小值为
D. 若点 ，则 周长的最小值为
11. 已知三次函数 ，下列说法正确的是( )
A. 若 的极大值为 4,则
B. 的极小值为 0,则
C. ,则
D. 存在 ,使 在 的值域为
第二部分 (非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若直线 平分圆 的周长,则 的最小值为_____.
13. 已知等差数列 满足 ，则 _____.
14. 在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 . 若 ， ， ， 是 的中点,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知数列 满足 .
(1)求 并证明数列 为等比数列；
(2)若 ，求满足条件的最大整数 .
16. 如图,已知四棱锥 的底面 是直角梯形， ， ， 平面 .
(1)若平面 平面 ，求证: 平面 ；
(2)若 是线段 上动点， 为 中点，试确定点 的位置，使得直线 与平面 所成角最大, 并求出该最大角.
17. 在“欢乐玩具城”举办的周年庆典上，推出了一款由三人组队参加的趣味抽奖游戏. 现场摆放着三个外观完全相同的盒子, 分别装有 2 个、3 个、4 个限量版玩具手办.游戏规则如下: 先由其中一人随机抽取一个盒子打开, 若该盒子中的手办个数多于 2 个, 则从该盒中获取 1 个手办作为奖品(此时该盒中的手办个数减少 1 个)，否则没有奖品；无论获奖与否，都将该盒子放回原处；接下来由剩下两人按上述方式各进行一次抽奖，然后该队游戏结束.
现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，并按甲乙丙的顺序依次进行抽奖.
(1)求该队仅有乙获得奖品的概率；
(2)记该队获得奖品的总个数为 ，求 的分布列及数学期望 .
18. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 在椭圆 上， 分别为椭圆 的左、右焦点，且 .
(I) 求点 的坐标;
(II) 点 是直线 上的动点,过点 作两条互相垂直的直线 与 分别交椭圆 于 和 四个不同点,其中 的斜率为 且 ,求 的值.
19. 已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线垂直于 轴,求实数 的值；
(2)若 和 是 的两个极值点,其中 ,求 的取值范围;
(3)在(2)的条件下，若 ，求 的最大值(e是自然对数的底数).
1. B
由题意知, ,
因为解分式不等式 可得 ,
所以 ,即 .
故选: B
2. C
题意 ,
所以 .
故选:
3. D
对于 ,若 ,则 与 可能异面,故 错误;
对于 ,若 ,则 与 相交时, 与 都与交线平行时,
也满足条件, 故 B 错误;
对于 ,若 ,则 与 可能平行,故 错误.
对于 ,若 ,则 ,故 正确.
故选: D.
4. B
因为 ,所以 ,即 .
又因为 所成的角为 ,所以 ,解得 .
故选: B.
5. C
根据题意至少有一个红球的概率为 .
故选: C.
6.
由 得 , 又因为 , 故选: B.
7. D
已知椭圆 的左、右焦点为 ,左顶点 . 因为 为等腰三角形且 ，所以 是等边三角形，边长为 ， 故 ， 点坐标为 .
又 为等腰三角形, , . 由等腰三角形性质,
若 ,则 ,则 ,离心率 .
若 ,可得 ,即 ,则 ,因为 ,所以此情况不成立.
若 ,可得 ,则 ,
化简得 ,因为 ,所以 ,不满足 ,此情况不成立.
因此,椭圆的离心率为 .
故选: D
8. C
因为 有且仅有三个零点,则方程 有且仅有三个根,
令 ,则 ,
由 得 得 ;
则 在 单调递增,在 上单调递减,则 ,
因为 时 时 ,且 时 ,
所以 的函数图象如图:
因为 不是 的根,
所以 有两个根,其中一个根位于 ,另一根位于 或另一根是 ,
但方程 的两根的乘积为 -1,
所以 一个根位于 ,另一根位于 ,
则 ,得 , 故 的取值范围是 .
故选:
9.
将数据从小到大排列为52,52,53,54,55,56,56,众数是 52 和 56, A 错误; 极差是 正确;
对于 ,所以 分位数是从小到大排列的第 5 个数,即为 正确;
对于 ,该组数据的平均数为 ,第 5 年的数据为 54,设原始数据的方差为 ,去掉第 5 年的数据后的方差为 ,则
即 ,故 错误.
故选: BC.
10. BCD
对于 ,由题意得 ,若直线 的斜率为 ,则有直线 ,
联立 ,得 ,则有 ,
则焦点弦长 ，故 A 错误；
对于 ,以 为直径的圆,圆心为 中点 ,半径为 ,
圆心到 轴的距离为 ,等于半径,因此圆与 轴相切,故 正确;
对于 ,设直线 ,
联立 ,得 ,则有 ,则 ,
焦半径 ,则 ,
将 代入可得 ,
当且仅当 时,即 时等号成立,
故 的最小值为 正确;
对于 D, 的周长为 ,其中 ,
由抛物线的定义可得 为点 到准线的距离，
易得当 共线时 取最小值如图:
则 ,则 ,故 正确.
故选: BCD.
11. AC
对于 选项,显然 ,
令 得 或 3,若 ,
令 ,得 或 ,令 ,得 ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
故 在 处取得极大值,在 处取得极小值,且 ,
令 ,解得 ; 若 ,
令 得 ,令 得 或 ,
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值,在 处取得极大值,
且 ,不合要求,综上, , A 正确;
对于 选项，由 可知，当 时，极小值为 ，满足要求；
当 时,极小值为 ,不合要求,则 , B 错误;
对于 选项,由题意得 ,
可得 ,
又 ,故 ,故 正确;
对于 选项，由 知， 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 在 上单调递减,在 上单调递增,
显然 的最小值为 ,不合要求;
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
若 ,则 在
其中 ,故 的最小值为 ,不合要求;
若 ,则 在 上单调递减,故 的最小值为 ,不合要求; 不存在 ,使 在 的值域为 错误.
故选: AC
12. 4
圆 即圆 ,则圆心为 ,
由题知直线 过圆心 ,所以有 ,
所以 ,
当 ,即 时,等号成立.
故答案为: 4 .
13. 8
设等差数列 的公差为 ,
由 ,得 ,
所以 ,所以 ;
所以 .
故答案为:8.
14.
因为 ,由正弦定理可得 ,故 ,又因为 ,所以 , 因为 为 的中点,所以 ,
所以 ,故 .
故答案为: .
15. ,证明见解析
(2)2025.
(1) 因为 ,所以 ,所以 .
又因为 ,
所以 是以 为首项,公比为 的等比数列.
(2)由(1)可知 所以 .
所以
要使 ,
则 ,由 可知 ,所以 , 即 的最大值为 2025.
16. (1)证明见解析
(2) 点满足 ， .
(1)因为 平面 平面 ,所以 , 因为 ，所以 ，
又因为 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
因为平面 平面 ,所以 ,
又因为 平面 ,所以 平面
(2)以 为原点， 分别为 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
,
设 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
则有 ,取 ,则 ,
则 与平面 的夹角的正弦值为 ,设 ,
则 ,
当 时， 取得最大值 ，所以 的最大值为 ，
所以当 点满足 时， 与平面 的夹角的最大值为 .
17.
(2)分布列见解析， .
(1)原先装有 2 个,3 个,4 个玩具所在的盒子记为编号 ， “取到编号为 的盒子” 记为事件 ,
“该队仅有乙获得奖品”记为事件 ,则
(2) 的可能取值为0,1,2,3，
①
②取到一个奖品，若其来自 3 号盒，可以由甲、乙、丙分别获得，对应的基本事件数为 4 种, 2 种, 1 种.
取到一个奖品, 若其来自 4 号盒, 可以由甲、乙、丙分别获得, 对应的基本事件数共有 3 种. 所以 .
③取到两个奖品，若其都来自 4 号盒，可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得，对应的基本事件数分别为 2 种, 1 种, 1 种.
取到两个奖品, 若其来自 3 号和 4 号盒, 可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得, 对应的基本事件数分别为 4 种, 3 种, 2 种.
所以 .
④取到三个奖品，取到 3 号盒子 1 次，4 号盒子 2 次，对应的基本事件数共 3 种，所以
所以分布列为:
0 1 2 3
10 27 1 9
18.
(2)(I) 或 ，(II)
(1)依题意， ，所以 ，所以 ；
又 ，所以 ；
所以椭圆 的方程为: ;
(2) (I)
由(1)知， ，所以 ；
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ；
又 ,所以 ,所以 ;
故点 的坐标为 或 ;
(II) 设 ,即 ;
由 ,得 ,
所以 ,
即 ;
因为 ,
所以
同理,对于斜率为 的直线 ,
可得 ;
又 ,所以 ,
因为过点 作两条互相垂直的直线 与 分别交椭圆 于 和 四个不同点，
所以点 不能在椭圆上;
若点 在椭圆上,则 ,即 ,因此 ,
所以 ,即 ,解得 .
19.
(2)
(3) .
(1) 的导数为 ,
曲线 在点 处的切线斜率为 ,解得 ;
(2)函数 的定义域为 ,
依题意,方程 有两个不等的正根 (其中 ).
故 ,
所以 ,并且 .
所以
故 的取值范围是 .
(3)当 时， .
若设 ,则 .
于是有 . 所以 ,所以 ,
所以同理得
,
构造函数 (其中 ),则 ,
所以 在 上单调递减, .
故 的最大值是 .
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