人教版2025－2026学年八年级下学期3月月考数学试题
（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．测试范围：新教材人教版八年级下册第19~20章。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．（3分）下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）△ABC中，，，的对边分别是，，，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）“已知3，4，a是一组勾股数，求a的值”，小智的结果是无法确定，小评的结果是，小光的结果是或，则（ ）
A．小智对 B．小评对 C．小光对 D．三人都不对
5．（3分）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（ ）
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为
6．（3分）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，则正方形D的面积是（ ）
A．8 B．14 C．20 D．25
7．（3分）如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）代数式的最小值是（ ）
A． B． C． D．10
10．（3分）如图，在△ABC中，，，，则的值为（ ）．
A．24 B． C． D．25
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）要使代数式有意义，则x应满足 ．
12．（3分）如图所示， ， ，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点 的横坐标是 ．
13．（3分）已知，，则 ．
14．（3分）△ABC中，，，高，则
15．（3分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC和△BDE的顶点都是格点，则的度数为 ．
16．（3分）如图，，，则线段，，，，，，，中，长度为无理数的线段有 条．
三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。
17．（8分）计算：
(1)；
(2)．
18．（8分）已知，，求代数式的值．
19．（8分）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
20．（8分）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点以顶点分别按下列要求画三角形．
(1)使三角形的三边长分别为3，，；（在图①中画一个即可）
(2)使三角形为钝角三角形且面积为4．（在图②中画一个即可）
21．（8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问）
22．（10分）探究：
观察下列等式：
；
；
；
……
解答下列问题：
(1)模仿：化简：__________，__________．
(2)拓展：比较和的大小．
(3)运用：计算
23．（10分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
【结论探究】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
【问题拓展】
（3）△ABC中，，垂足为，请求出的值．
24．（12分）如图，平面直角坐标系中．，（，均大于0），点在第二象限．
(1)若，满足，求线段的长度．
(2)如图（1），在（1）的条件下，若，求证：．
(3)如图（2），若，，，，求的面积．人教版2025－2026学年八年级下学期3月月考数学试题
（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．测试范围：新教材人教版八年级下册第19~20章。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．（3分）下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一判断各选项.
【详解】解：∵ ① ，被开方数为质数，无平方因数，是最简二次根式；
② ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③ ，含平方因数，不是最简二次根式；
④ ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
⑤ ，对于实数，且无法分解为完全平方与整数的乘积，无平方因数，是最简二次根式．
∴ 最简二次根式有①和⑤，共个.
故选：B．
2．（3分）中，，，的对边分别是，，，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】主要考查三角形内角和定理、角度比例、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据三角形内角和定理、角度比例、勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A：设，，，由内角和得，
解得，则，，，无直角，不能判定为直角三角形，符合题意；
B：设三边为，，，验证勾股定理，满足勾股定理，是直角三角形，不符合题意；
C：由，结合内角和得，即，是直角三角形，不符合题意；
D：展开得，即，满足勾股定理，是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】考查的知识点是二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的相关运算法则．
根据二次根式的相关运算法则对选项进行逐一判断即可得解．
【详解】解：选项，，计算正确，不符合题意，选项错误；
选项，，计算正确，不符合题意，选项错误；
选项，，计算正确，不符合题意，选项错误；
选项，，计算错误，符合题意，选项正确．
故选：．
4．（3分）“已知3，4，a是一组勾股数，求a的值”，小智的结果是无法确定，小评的结果是，小光的结果是或，则（ ）
A．小智对 B．小评对 C．小光对 D．三人都不对
【答案】B
【分析】主要考查了勾股数，以及勾股定理，解题关键是掌握勾股数组的定义，如果a、b、c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．分两种情况讨论，利用勾股定理求出的值，再根据勾股数的定义判断即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当是最长边时，，三边是正整数，能构成勾股数，符合题意；
②当是最长边时，，不是正整数，不能构成勾股数，不符合题意；
综上可知，，小评对，
故选：B．
5．（3分）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（ ）
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为
【答案】C
【分析】考查二次根式的应用、长方形的性质、准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据图形可知大长方形的长既是小长方形宽的3倍，又是小长方形长的2倍，大长方形的宽是小长方形长与宽的和，由此即可判断．
【详解】解：由题意，小长方形的长为，
大长方形的长为，
小长方形的宽为，
大长方形的宽为，
即小长方形的长为，宽为；大长方形的长为，宽为，
大长方形的周长为，
大长方形的面积为，
选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意；
故选：C．
6．（3分）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，则正方形D的面积是（ ）
A．8 B．14 C．20 D．25
【答案】C
【分析】考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
根据勾股定理得：，解得即可．
【详解】解：根据勾股定理得：，
∵正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，
∴，
∴正方形D的面积是20．
故选：C
7．（3分）如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴．
故选：A．
8．（3分）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点，根据两点之间线段最短即可知的长度即为最短距离．利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处，
∴，，，
∴．
故选：C．
9．（3分）代数式的最小值是（ ）
A． B． C． D．10
【答案】C
【分析】主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，二次根式的性质，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．
首先得到，如图所示，作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则，说明的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，利用矩形和直角三角形的性质可求得的值即可．
【详解】解：∵
∴如图所示，作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则，
∴在和中，根据勾股定理可得：
，，
∴，
∴当最小时，最小，
∴当点，，三点共线时，最小，即的最小值为的长，
∴的最小值为的长，
过点作交的延长线于点，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
即的最小值为，
故选：C．
10．（3分）如图，在中，，，，则的值为（ ）．
A．24 B． C． D．25
【答案】D
【分析】考查了勾股定理，过点作于点，先求出，进而求得，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作交延长线于点，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，，
，
故选：D．
二、填空题（共18分）
11．（3分）要使代数式有意义，则x应满足 ．
【答案】且
【分析】考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．直接根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件作答即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴且
∴且
故答案为：且．
12．（3分）如图所示， ， ，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标是 ．
【答案】/
【分析】考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长．求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可．
【详解】解：∵， ，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴点C的横坐标是，
故答案为：．
13．（3分）已知，，则 ．
【答案】
【分析】考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
先利用有理数的性质得到，，则利用二次根式的性质化简得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
，
．
故答案为：．
14．（3分）中，，，高，则
【答案】14或4
【分析】考查了勾股定理在三角形中的应用，解题的关键是考虑高的位置（在三角形内部或外部），分情况计算的长度．
利用勾股定理分别在和中求出和的长度；分在内部和外部两种情况，计算的长度（内部时外部时．
【详解】解：∵是的高，
∴ 和均为直角三角形，．
在中，由勾股定理得：
即
解得（负值舍去）．
在中，由勾股定理得：
即
解得（负值舍去）．
分两种情况讨论：
①当在内部时，
②当在外部时，．
故答案为：或．
15．（3分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，和的顶点都是格点，则的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】连接，，先利用证明，从而可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再根据，从而可得，最后利用角的和差关系以及等量代换，即可解答．
【详解】解：如图：连接，，
在和中，
，
，
，
由题意得：，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（3分）如图，，，则线段，，，，，，，中，长度为无理数的线段有 条．
【答案】1981
【分析】主要考查了图形变化的规律及无理数，能根据题意得出为正整数）是解题的关键．根据题意，依次求出线段的长度，发现规律，并据此求出无理数线段的条数即可．
【详解】解：由题知，
在中，
，
同理可得，，，
所以为正整数）．
当时，．
又因为，
则，
即无理数的线段有1981条．
故答案为：1981．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】主要考查了二次根式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）首先将各数化简，然后相加减即可；
（2）首先根据平方差公式和完全平方公式进行运算，然后相加减即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
18．（8分）已知，，求代数式的值．
【答案】13
【分析】主要考查了二次根式混合运算，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分母有理化，二次根式混合运算法则．
根据分母有理化首先求出，，从而得出、，然后根据完全平方公式把原式变形，再代入即可．
【详解】解：，
，
，
，
．
19．（8分）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【答案】
【分析】考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．由勾股定理求出，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，四边形的面积的面积的面积，即可得出结果．
【详解】解：如图所示：
，
，
∵，
，
，
四边形的面积的面积的面积．
20．（8分）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点以顶点分别按下列要求画三角形．
(1)使三角形的三边长分别为3，，；（在图①中画一个即可）
(2)使三角形为钝角三角形且面积为4．（在图②中画一个即可）
【答案】(1)图见解析（答案不唯一）；
(2)图见解析（答案不唯一）．
【分析】考查了勾股定理的应用，作图－网格作图，掌握相关知识是解题的关键．
（1）先在正方形网格中取线段长为整数的线段，然后根据勾股定理找出点的位置；
（2）先在正方形网格中取，然后由三角形的面积公式入手求得边上的高线的长度；最后根据钝角三角形的定义确定点的位置．
【详解】（1）解：先在正方形网格中取线段长为整数的线段，然后根据勾股定理找出点的位置，依次连接三点，则即为所求，如图：
由网格可知，，
，
；
（2）解：如图所示：
由网格可知，，
根据三角形的面积公式知，
，即，
解得：，
取格点，依次连接，是符合题意的钝角三角形（答案不唯一）．
21．（8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问）
【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析
(2)
【分析】考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键．
（1）用勾股定理的逆定理证是直角三角形，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响．
（2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间．
【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下：
如图，过点作于点，
，，，，
是直角三角形，，
由三角形面积相等可得：，
即，
，
以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域，
海港受台风影响．
（2）解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则，
根据勾股定理，，
，，
，
，
台风中心移动的速度为，
，
台风影响海港持续的时间为．
答：．
22．（10分）探究：
观察下列等式：
；
；
；
……
解答下列问题：
(1)模仿：化简：__________，__________．
(2)拓展：比较和的大小．
(3)运用：计算
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（）仿照例题化简即可；
（）先求出和的倒数，进而比较倒数即可判断求解；
（）利用二次根式的化简方法对括号内的各项化简，进而利用平方差公式计算即可求解；
考查了二次根式的分母有理化，掌握二次根式运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
故答案为：，；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：
．
23．（10分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
【结论探究】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
【问题拓展】
（3）中，，垂足为，请求出的值．
【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）8
【分析】考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识．
（1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明；
（2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案；
（3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出．
【详解】（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
，即；
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得，即千米，
(千米)，
答：新路比原路少千米；
（3）解：如图，
设，
，
，，，，
根据勾股定理：
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
，
．
24．（12分）如图，平面直角坐标系中．，（，均大于0），点在第二象限．
(1)若，满足，求线段的长度．
(2)如图（1），在（1）的条件下，若，求证：．
(3)如图（2），若，，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）求出，，然后根据勾股定理求出；
（2）过点O作交的延长线于点D，连接，证明是等腰直角三角形，然后证明，得，，所以，然后利用勾股定理即可解决问题；
（3）如图2，过点O作交的延长线于点H，过点C作交x轴于点G，证明是等腰直角三角形，得，设，得，证明，得，然后证明，得，设，，根据完全平方公式得，进而可以求的面积．
【详解】（1）解：，
∴，，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）证明：如图1，过点O作交的延长线于点D，连接，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：如图2，过点O作交的延长线于点H，过点C作交x轴于点G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
∴ ，
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴的面积．
