江西南昌2025-2026学年下学期高三数学3月开学考试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西南昌2025-2026学年下学期高三数学3月开学考试卷（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 98.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-03 00:00:00 | ||
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文档简介
高三年级下学期数学学科开学素养训练
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 设集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若 ,则 的虚部为
A. -3 B. 3 C. -1 D. 3i
3. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点, 为 上一点, , ,且 ,则 的离心率为
A. B. C. D.
4. 设 的内角 的对边分别是 ,已知 ,则
A. B. C. D.
5. 设函数 则满足 的 的取值范围是
A. B. C. D.
6. 若 ,则
A. B. C. D.
7. 已知函数 对任意的 恒成立, ,则
A. B.
C. 为偶函数 D. 为奇函数
8. 在高为 5 的正三棱台 中, 分别为侧棱 , 的中点,记平面 、平面 、平面 交于点 ,则三棱台 与三棱锥 的体积之差为
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 现有一组数据为5,8,7,9,11,7,7,10,则
A. 这组数据的众数为 7 B. 这组数据的平均数为 8.5
C. 这组数据的方差为 D. 这组数据的 60% 分位数为 8
10. 若函数 在 上恰有 3 个零点,则 的值可能为
A. 32 B. 34 C. 40 D. 45
11. 若 ,则
A. 当 时, B. 当 时,
C. 当 时, D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知向量 满足 ,则 _____▲_____,
13. 已知圆 的半径为 5,且圆心 与抛物线 的焦点关于 的准线对称,直线 与 相交于 两点,则 _____▲_____.
14. 将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9填入一个 的方格中,每个格子填 1 个数字,且不重复,要求第一行数字满足 ,第三行数字满足 ,第三列数字满足 ,则符合要求的填数方法共有_____▲_____种. (用数字作答)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
如图，在正三棱柱 中， 是棱 的中点， .
(1)证明: 平面 .
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
16. (15 分)
已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明:数列 是等比数列.
(2)求 的通项公式.
(3)已知
17. (15 分)
某图书馆的图书归位推车供馆员循环使用，需按日借阅总量确定当日需启用的推车数量(数量匹配工作量, 避免不足或闲置), 保障图书整理效率, 对应规则及往期统计数据如下表:
日借阅总量 /本
日启用推车数量 /辆 4 8 14 20 26
往期统计数据显示, 该图书馆日借阅总量不高于 300 本、600 本、1200 本、1800 本的概率分别为0.15,0.35,0.7,0.95.
(1)求该图书馆一个工作日的日启用推车数量 的期望.
(2)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于 300 本、600 本、 1200 本、1800 本的概率均降低 0.05 , 如概率降低后, 日借阅总量不高于 300 本的概率为 0.10 , 据此求解以下问题:
(1)求未来 10 个工作日中，至少有 2 天日借阅总量不高于 600 本的概率. 0.028,结果精确到 0.01 )
(ii)该图书馆拟调整推车启用方案:日借阅总量不高于1200本时，仅启用 6 辆推车；日借阅总量高于 1200 本时，统一启用 26 辆推车. 若每辆推车单日运维成本相同，该调整方案能否降低日均运维成本？请说明理由.
18. (17分)
已知双曲线 的左、右焦点分别是 ,实轴长为 , ,点 在双曲线 的右支上,且 的最小值是 5 .
(1)求双曲线 的标准方程.
(2)过点 的直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点，与双曲线 的两条渐近线交于 ， 两点, 均在第一象限.
(1)若 ，求直线 的方程；
(ii) 求 面积的取值范围.
19. (17分)
已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程.
(2)当 时，函数 有两个零点 .
(i) 设 ,证明: .
(ii) 证明: .
高三年级下学期数学学科开学素养训练 参考答案
1. ,所以 .
2. 依题意得 ,所以 的虚部为 3 .
3. 根据题意可得 ,所以 的离心率
4. C 因为 ,所以 ,解得 ,则 . 又 ,所以 .
5.D 易知函数 在 上单调递减，因为 ，所以 ，解得 .
6. C 因为 ,所以 .
又 ,解得 ,所以 .
7. 令 ,则 ,解得 错误. 令 ,则 ,得 , A 错误. , C 错误. 令 ,则 ,所以 , D 正确.
8.C 如图,设 ,连接 , 易知 . 由 ,得 ,所以 ,则 ,同理得 ,所以 ,所以 到底面 的距离 . 三棱台 的体积为 ,三棱锥 的体积为 ,则三棱台 与三棱锥 的体积之差为 .
9. ACD 易得这组数据的众数为 7, A 正确. 这组数据的平均数为 错误. 这组数据的方差 正确. 这组数据从小到大为5,7,7,7,8,9,10,11,由 ,得这组数据的 分位数为 正确.
10. 由 及 ,得 ,因为 在 上恰有 3 个零点,所以 ,解得 .
11. 当 时, 符合题意, 错误. 设函数 ,则 ,设函数 ,则由 ,得 ,则 在 , 上单调递增,所以当 时, ,则 ,所以 在 上单调递增.
由 ,得 ,则 在 上单调递减,所以当 时, ,则 ,所以 在 上单调递增. 设函数 ,则 . 当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,所以 . 所以 ,当且仅当 时,等号成立. 当 时, ,当 时, ,所以当 时,由题意可得 ,因为 ,所以 正确. 当 时, ,则 . 令函数 ,则 ,所以 在 上单调递增,则 ,所以 ,即 正确. 若存在 ,使得 ,则 或 ,即 或 ,画出函数 与函数 的图象,易得两图象有交点, 正确.
12. 因为 ,所以 ,即 . 由 ,得 . 因为 ,所以 ,即 ,解得 .
13.6 的焦点为 ,准线方程为 ,根据题意可得圆心 ,圆心 到直线 的距离 ,所以 .
14. 1080 从 9 个数中任取 2 个数填入 和 的位置,有 种方法.
因为 ,所以在剩下的 7 个数中,最大的数只能填入 的位置,再从剩下的 6 个数字中选择 4 个数字填入 的位置,且这 4 个数字只能按照从小到大的顺序分别填入 的位置,最后剩下的 2 个数字只能按照从小到大的顺序分别填入 的位置,故填好 共有 种方法.
因此,按照要求填好该方格共有 种方法.
15. ( 1 )证明:因为 是正三棱柱， 是 的中点，所以 . 2 分易得 平面 平面 ,所以 . 4 分因为 ,所以 平面 . 5 分 (2)解:取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ，则 . 易得 ,
又 ,所以 平面 . 6 分以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则 , 7 分
8 分
设平面 的法向量为 ,则 9 分
令 ,则 . 10 分
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 . 13 分
16.(1)证明:当 时， ，解得 . 1 分
当 时,由 ,可得 , 2 分
两式相减得 ,所以 , 4 分
因为 ,所以 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 5 分
(2)解:由(1)可知 ，即 . 8 分
(3)解:当 为奇数时， ; 当 为偶数时， . 10 分
故
12 分
15 分
17. 解: (1) 题意得 ,
, 2 分
3 分
故 . 5 分
(2)(j)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于 600 本的概率降低 0.05，得 ， 6 分
设未来 10 个工作日中，日借阅总量不高于 600 本的天数为 ,则 , 7 分所以 .
故未来 10 个工作日中，至少有 2 天日借阅总量不高于 600 本的概率约为 0.85 . 9 分 (ii)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于 300 本、 600 本、1200 本、1800 本的概率均降低 0.05，得 ，
, 11 分
所以 . 13 分
若日借阅总量不高于 1200 本时，仅启用 6 辆推车，日借阅总量高于 1200 本时，统一启用
26 辆推车,则此时日启用推车数量 的数学期望为 14 分
因为 ,所以调整方案能降低日均运维成本. 15 分
18. 解:(1)因为 的最小值是 5，所以 ，所以 . 1 分
因为双曲线 的实轴长为 ，所以 ，所以 ， 2 分
则 , 3 分
故双曲线 的标准方程为 . 4 分
(2)(j)由题意可知直线 的斜率不为 0，则设直线 .
由 得 即点 的坐标为 ,
则 . 6 分由 得 即点 的坐标为 ,
则 . 8 分
因为 ,所以 ,解得 或 . 9 分因为直线 与双曲线 的右支交于 两点,所以 ,则 ,
故直线 的方程为 ,即 . 11 分
(ii) 由 得 .
设 ,则 , 12 分
所以 . ...
13 分
故 的面积 .
14 分
设 ,由①可知 ,所以 ,即 ,
则 , 16 分
故 ,即 面积的取值范围是 . 17 分
19.(1)解:依题意， ， 1 分所以 , 3 分所以曲线 在 处的切线方程为 . 4 分
(2)证明:(i)当 时， . 令
,得 ,则 ,即 ,
6 分所以 ,即 . 7 分
(ii) 由 (i) 易得 在 上单调递增,所以 ,即 . 8 分令函数 ,则 ,令 ,得 ,得 1,所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , 10 分依题意可得 有两个零点 ,不妨设 ,则 ,
令函数 ,则 ,所以 在 上单调递减. 12 分
因为 ,所以当 时, ; 当 时, . 13 分
所以 ,即 14 分
所以由 有两个不相等的正根 ,且 ,
得 ,则 , 15 分
,则 ,即 ,
16 分
所以 ,因为 ,所以 .
17 分
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 设集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若 ,则 的虚部为
A. -3 B. 3 C. -1 D. 3i
3. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点, 为 上一点, , ,且 ,则 的离心率为
A. B. C. D.
4. 设 的内角 的对边分别是 ,已知 ,则
A. B. C. D.
5. 设函数 则满足 的 的取值范围是
A. B. C. D.
6. 若 ,则
A. B. C. D.
7. 已知函数 对任意的 恒成立, ,则
A. B.
C. 为偶函数 D. 为奇函数
8. 在高为 5 的正三棱台 中, 分别为侧棱 , 的中点,记平面 、平面 、平面 交于点 ,则三棱台 与三棱锥 的体积之差为
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 现有一组数据为5,8,7,9,11,7,7,10,则
A. 这组数据的众数为 7 B. 这组数据的平均数为 8.5
C. 这组数据的方差为 D. 这组数据的 60% 分位数为 8
10. 若函数 在 上恰有 3 个零点,则 的值可能为
A. 32 B. 34 C. 40 D. 45
11. 若 ,则
A. 当 时, B. 当 时,
C. 当 时, D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知向量 满足 ,则 _____▲_____,
13. 已知圆 的半径为 5,且圆心 与抛物线 的焦点关于 的准线对称,直线 与 相交于 两点,则 _____▲_____.
14. 将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9填入一个 的方格中,每个格子填 1 个数字,且不重复,要求第一行数字满足 ,第三行数字满足 ,第三列数字满足 ,则符合要求的填数方法共有_____▲_____种. (用数字作答)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
如图，在正三棱柱 中， 是棱 的中点， .
(1)证明: 平面 .
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
16. (15 分)
已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明:数列 是等比数列.
(2)求 的通项公式.
(3)已知
17. (15 分)
某图书馆的图书归位推车供馆员循环使用，需按日借阅总量确定当日需启用的推车数量(数量匹配工作量, 避免不足或闲置), 保障图书整理效率, 对应规则及往期统计数据如下表:
日借阅总量 /本
日启用推车数量 /辆 4 8 14 20 26
往期统计数据显示, 该图书馆日借阅总量不高于 300 本、600 本、1200 本、1800 本的概率分别为0.15,0.35,0.7,0.95.
(1)求该图书馆一个工作日的日启用推车数量 的期望.
(2)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于 300 本、600 本、 1200 本、1800 本的概率均降低 0.05 , 如概率降低后, 日借阅总量不高于 300 本的概率为 0.10 , 据此求解以下问题:
(1)求未来 10 个工作日中，至少有 2 天日借阅总量不高于 600 本的概率. 0.028,结果精确到 0.01 )
(ii)该图书馆拟调整推车启用方案:日借阅总量不高于1200本时，仅启用 6 辆推车；日借阅总量高于 1200 本时，统一启用 26 辆推车. 若每辆推车单日运维成本相同，该调整方案能否降低日均运维成本？请说明理由.
18. (17分)
已知双曲线 的左、右焦点分别是 ,实轴长为 , ,点 在双曲线 的右支上,且 的最小值是 5 .
(1)求双曲线 的标准方程.
(2)过点 的直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点，与双曲线 的两条渐近线交于 ， 两点, 均在第一象限.
(1)若 ，求直线 的方程；
(ii) 求 面积的取值范围.
19. (17分)
已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程.
(2)当 时，函数 有两个零点 .
(i) 设 ,证明: .
(ii) 证明: .
高三年级下学期数学学科开学素养训练 参考答案
1. ,所以 .
2. 依题意得 ,所以 的虚部为 3 .
3. 根据题意可得 ,所以 的离心率
4. C 因为 ,所以 ,解得 ,则 . 又 ,所以 .
5.D 易知函数 在 上单调递减，因为 ，所以 ，解得 .
6. C 因为 ,所以 .
又 ,解得 ,所以 .
7. 令 ,则 ,解得 错误. 令 ,则 ,得 , A 错误. , C 错误. 令 ,则 ,所以 , D 正确.
8.C 如图,设 ,连接 , 易知 . 由 ,得 ,所以 ,则 ,同理得 ,所以 ,所以 到底面 的距离 . 三棱台 的体积为 ,三棱锥 的体积为 ,则三棱台 与三棱锥 的体积之差为 .
9. ACD 易得这组数据的众数为 7, A 正确. 这组数据的平均数为 错误. 这组数据的方差 正确. 这组数据从小到大为5,7,7,7,8,9,10,11,由 ,得这组数据的 分位数为 正确.
10. 由 及 ,得 ,因为 在 上恰有 3 个零点,所以 ,解得 .
11. 当 时, 符合题意, 错误. 设函数 ,则 ,设函数 ,则由 ,得 ,则 在 , 上单调递增,所以当 时, ,则 ,所以 在 上单调递增.
由 ,得 ,则 在 上单调递减,所以当 时, ,则 ,所以 在 上单调递增. 设函数 ,则 . 当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,所以 . 所以 ,当且仅当 时,等号成立. 当 时, ,当 时, ,所以当 时,由题意可得 ,因为 ,所以 正确. 当 时, ,则 . 令函数 ,则 ,所以 在 上单调递增,则 ,所以 ,即 正确. 若存在 ,使得 ,则 或 ,即 或 ,画出函数 与函数 的图象,易得两图象有交点, 正确.
12. 因为 ,所以 ,即 . 由 ,得 . 因为 ,所以 ,即 ,解得 .
13.6 的焦点为 ,准线方程为 ,根据题意可得圆心 ,圆心 到直线 的距离 ,所以 .
14. 1080 从 9 个数中任取 2 个数填入 和 的位置,有 种方法.
因为 ,所以在剩下的 7 个数中,最大的数只能填入 的位置,再从剩下的 6 个数字中选择 4 个数字填入 的位置,且这 4 个数字只能按照从小到大的顺序分别填入 的位置,最后剩下的 2 个数字只能按照从小到大的顺序分别填入 的位置,故填好 共有 种方法.
因此,按照要求填好该方格共有 种方法.
15. ( 1 )证明:因为 是正三棱柱， 是 的中点，所以 . 2 分易得 平面 平面 ,所以 . 4 分因为 ,所以 平面 . 5 分 (2)解:取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ，则 . 易得 ,
又 ,所以 平面 . 6 分以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则 , 7 分
8 分
设平面 的法向量为 ,则 9 分
令 ,则 . 10 分
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 . 13 分
16.(1)证明:当 时， ，解得 . 1 分
当 时,由 ,可得 , 2 分
两式相减得 ,所以 , 4 分
因为 ,所以 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 5 分
(2)解:由(1)可知 ，即 . 8 分
(3)解:当 为奇数时， ; 当 为偶数时， . 10 分
故
12 分
15 分
17. 解: (1) 题意得 ,
, 2 分
3 分
故 . 5 分
(2)(j)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于 600 本的概率降低 0.05，得 ， 6 分
设未来 10 个工作日中，日借阅总量不高于 600 本的天数为 ,则 , 7 分所以 .
故未来 10 个工作日中，至少有 2 天日借阅总量不高于 600 本的概率约为 0.85 . 9 分 (ii)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于 300 本、 600 本、1200 本、1800 本的概率均降低 0.05，得 ，
, 11 分
所以 . 13 分
若日借阅总量不高于 1200 本时，仅启用 6 辆推车，日借阅总量高于 1200 本时，统一启用
26 辆推车,则此时日启用推车数量 的数学期望为 14 分
因为 ,所以调整方案能降低日均运维成本. 15 分
18. 解:(1)因为 的最小值是 5，所以 ，所以 . 1 分
因为双曲线 的实轴长为 ，所以 ，所以 ， 2 分
则 , 3 分
故双曲线 的标准方程为 . 4 分
(2)(j)由题意可知直线 的斜率不为 0，则设直线 .
由 得 即点 的坐标为 ,
则 . 6 分由 得 即点 的坐标为 ,
则 . 8 分
因为 ,所以 ,解得 或 . 9 分因为直线 与双曲线 的右支交于 两点,所以 ,则 ,
故直线 的方程为 ,即 . 11 分
(ii) 由 得 .
设 ,则 , 12 分
所以 . ...
13 分
故 的面积 .
14 分
设 ,由①可知 ,所以 ,即 ,
则 , 16 分
故 ,即 面积的取值范围是 . 17 分
19.(1)解:依题意， ， 1 分所以 , 3 分所以曲线 在 处的切线方程为 . 4 分
(2)证明:(i)当 时， . 令
,得 ,则 ,即 ,
6 分所以 ,即 . 7 分
(ii) 由 (i) 易得 在 上单调递增,所以 ,即 . 8 分令函数 ,则 ,令 ,得 ,得 1,所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , 10 分依题意可得 有两个零点 ,不妨设 ,则 ,
令函数 ,则 ,所以 在 上单调递减. 12 分
因为 ,所以当 时, ; 当 时, . 13 分
所以 ,即 14 分
所以由 有两个不相等的正根 ,且 ,
得 ,则 , 15 分
,则 ,即 ,
16 分
所以 ,因为 ,所以 .
17 分
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