山东济南市2025-2026学年下学期高二数学3月开学考试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东济南市2025-2026学年下学期高二数学3月开学考试卷（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 99.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-03 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 年春季学期高二下学期学习质量检测 数学试题
满分 150 分, 考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，座号填写在答题卡和试卷的指定位置上。
2. 回答选择题时,选出每小题的答案,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，用 的黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
4.考试范围:选必二导数+选必三第六章+第七章前两节。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。
1. 已知函数 在 处可导,若 ,则
A. B. C. D.
2. 下列求导结果正确的是
A. B. C. D.
3. 若 ，则 的值为
A. 14 B. 84 C. 34 D. 204
4. 若随机变量 的分布如下表: 则 的值为
- 2 - 1 1 2 3
0.2 0.1 0.25
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.55 D. 0.85
5. 已知定义在 上的函数 ,其导函数为 ,且 ,则
A. B.
C. D.
6. 已知 是定义在 的偶函数,当 时, ,且
,则 的解集为
A. B.
C. D.
7. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件 存在如下关系: 贺岁档电影精彩纷呈,有几部影片是小红同学想去影院看的. 小红同学家附近有甲、乙两家影院, 小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为 0.3 和 0.7 . 如果她第一天去甲影院, 那么第二天去甲影院的概率为 0.6 ; 如果第一天去乙影院, 那么第二天去甲影院的概率为 0.5 , 则小红同学
A. 第二天去甲影院的概率为 0.54
B. 第二天去乙影院的概率为 0.46
C. 已知小红第二天去了甲影院,那么她第一天去乙影院的概率为
D. 已知小红第二天去了乙影院,那么她第一天去甲影院的概率为
8. 已知函数 有且仅有三个零点,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有错选的得 0 分。
9. 将函数 及其导函数 的大致图象画在同一个直角坐标系内,下列选项正确的是
A.
B.
C.
D.
10. 设随机事件 满足 ,则
A. B. 相互独立 C. D.
11. 1715 年英国数学家布鲁克·泰勒在他的著作中陈述了泰勒公式, 如果满足一定的条件, 泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达这个函数. 泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具,例如: , 则
A.
B.
C. 当 时,函数 值域为
D. 当函数 的图象恒过定点 时,
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 如图,用四种不同颜色给矩形 涂色,要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有_____.
13. 若 在 上单调递增，则 的取值范围是_____.
14. 已知直线 与 轴、 轴分别交于点 ,点 在曲线 上,点 在 上，点 满足 ，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答时应写出文字说明, 证明或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
已知 的展开式中,其前三项的二项式系数的和等于 56 .
(1)求展开式中所有二项式系数的和；
(2)求展开式中的常数项.
16.(本小题满分 15 分)
甲, 乙两队参加世博会知识竞赛, 每队 3 人, 每人回答一个问题, 答对者为本队赢得一分,答错得零分. 假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 , ，且各人答对与否相互之间没有影响，用 表示甲队的总得分.
(1)求随机变量 的分布列；
(2)设 表示事件 “甲队得 2 分，乙队得 1 分”，求 (C).
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)当 时，求 的极值;
(2)讨论 的单调性.
18.(本小题满分 17 分)
(1)证明:当 时， ；
(2)已知数列 的通项公式为 ，证明: .
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求证:当 时， ；
(2)若 有两个不同的极值点 且 ；
(i) 求 的取值范围;
(ii) 求证: .
2026 年春季学期高二下学期学习质量检测数学试题参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C B B A D C
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 BCD ABD ACD
5.解: 令函数 ,由题 ,
则 ,函数 在 上单调递增,
则 ,即 ,因此 .
故选: .
6.解: 设 ,因为 是定义在 的偶函数, 所以 是定义在 的偶函数,
且 ,
因为当 时, ,可得 ,
所以 在 为单调递减函数,
所以 在 为单调递增函数,
又 ,所以 ,则 ,
所以当 或 时, ,当 或 时, , 等价于 ,
所以 或 ，即 或 ，
解得 或 ,
即 的解集为 .
故选: .
7.解: 设 表示 “第一天去甲影院”, 表示 “第二天去甲影院”,
则 表示 “第一天去乙影院”, 表示 “第二天去乙影院”,
小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为 0.3 和 0.7 ,
如果她第一天去甲影院, 那么第二天去甲影院的概率为 0.6 ,
如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为 0.5 ,
,
对于 ,故 错误;
对于 ,故 错误;
对于 ,故 错误;
对于 ,故 正确;
故选: .
8.解: 因为 有且仅有三个零点,
则方程 有且仅有三个根,
令 则 ,
由 ,得 ; 由 ,得 ;
则 在 单调递增,在 上单调递减,则 ,
因为 时, 时, ,且 时, ,
所以 的函数图象如图:
令 ,
则原方程转化为 ,
因为 不是 的根,
所以 有两个根,
其中一个根位于 ,另一根位于 或另一根是 ,
但方程 的两根的乘积为 -1,
所以 一个根位于 ,另一根位于 ,
则 ,得 ,故 的取值范围是 . 故选: .
10.解: 随机事件 满足 ,
,故 正确;
相互独立,故 正确;
,故 错误;
,故 正确.
故选: .
11.解: 对于选项 ,由题意结合 的泰勒展开式 ,令 ,
可得 .
根据交错级数的性质,其和小于任意奇数项的部分和,故 ,故选项 正确;
对于选项 ，因为 .
由题意结合 的泰勒展开式 ,令 ,
可得 ,故选项 错误;
对于选项 ,由题意结合 的泰勒展开式 ,
则 .
当 时, 为增函数,
则其最小值为 ，所以其值域为 ，故选项 正确；
对于选项 ,因为函数 ,且 的图象恒过定点 ,
所以令 ,则 ,所以 ,
又 ,故 ,
而 ,
所以 ,故选项 正确. 故选: .
三、填空题
12.解: 求不同的涂色方法有两类办法:
①若 ， 同色，则用 4 种颜色涂 4 个区域有 种；
②若 同色，则用 3 种颜色涂 4 个区域有 种，
则不同的涂色方法共有 (种).
故答案为: 48 .
13.解: 由题意得 ,
因为 在 上单调递增,
则 在 上恒成立,即 在 上恒成立,
函数 在 上单调递增,所以当 时,函数 取得最小值 ,
所以 ,即 的取值范围是 .
故答案为: .
14.解: 由题意直线 与 轴、 轴分别交于点 点 在曲线 上,点 在 上,
可得当直线 平移到与曲线 相切于点 ,
此时切点 是曲线上的点到直线 的距离最小的点,
由 ,得 ,
因为直线 的斜率为 1,所以令 ,整理得 ,
解得 (舍去) 或 ,又 ,故此时切点 ,
且此时 到直线 的距离为 ,
又点 满足 ,故此时 到直线的距离为 ,
取 的中点为 时, 的长取得最小值 ,如图所示:
由直线 ，可得 ，
所以 ,所以 ,
又 ,
故 最小时, 的最小值,且最小值为 .
故答案为: .
四、解答题
15.解: (1) 已知 的展开式中,其前三项的二项式系数的和等于 56,
则 ,
则 ,
又 ,
则 ,
则展开式中所有二项式系数的和为 ;
(2)二项式 展开式的通项公式为 - 令 ,即 ,
即展开式中的常数项为 .
16.解: (1) 由题意可知, 的所有可能的值为0,1,2,3,
,
故 的分布列为:
0 1 2 3
2 7 2 9 4 9
(2)“甲队得两分” 与 “乙队得 1 分” 相互独立，
由 (1) 得,“甲队得 2 分” 的概率 ,
“乙队得 1 分” 的概率为
“甲队得 2 分,乙队得 1 分” 的概率 .
17.解: (1) 当 时,函数 的定义域为 ,
得 ,
由 ,得 或 ; 由 ,得 ,
则 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 的极大值为 ,极小值为 .
(2) 的定义域为 ，
得 ,
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 ,
在 上单调递减,在 上单调递增;
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 或 ,
在 上单调递减,在 上单调递增;
当 时, 恒成立, 在 上单调递增;
当 时，由 ，得 ；由 ，得 或 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增.
18.解: (1) 证明: 设 ,
对 求导得 ,
令 ,即 ,解得 ,
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
所以 在 处取得极小值,也是最小值, ,
因此,当 时, ,即 ,
设 ,
对 求导得 ,
令 ,即 ,解得 ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减,
所以 在 处取得极大值,也是最大值,
,
因此,当 时, ,即 ,
综上,当 时, ;
(2)证明:由(1)知，当 时， ，
令 ,则 ,即 ,
所以 ,即 ,即 ,
因为 ,
所以 ,即 ,
所以 ,
因此, ,
19.证明: (1) 时, ,
则 ,故 在 单调递减,
故 ,故 时, ;
解: (2) ,
由于 有两个不同的极值点 且 ,
故 是 的两个不相等的正实数根,
故
故 ;
(ii) 由于 ,所以 ,故 ,
由于 ,故 ,
令 ,
故 ,
当 时, ,故 在 单调递增,
故 ,
由于 ,故 ,
因此 ,
故 .
满分 150 分, 考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，座号填写在答题卡和试卷的指定位置上。
2. 回答选择题时,选出每小题的答案,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，用 的黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
4.考试范围:选必二导数+选必三第六章+第七章前两节。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。
1. 已知函数 在 处可导,若 ,则
A. B. C. D.
2. 下列求导结果正确的是
A. B. C. D.
3. 若 ，则 的值为
A. 14 B. 84 C. 34 D. 204
4. 若随机变量 的分布如下表: 则 的值为
- 2 - 1 1 2 3
0.2 0.1 0.25
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.55 D. 0.85
5. 已知定义在 上的函数 ,其导函数为 ,且 ,则
A. B.
C. D.
6. 已知 是定义在 的偶函数,当 时, ,且
,则 的解集为
A. B.
C. D.
7. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件 存在如下关系: 贺岁档电影精彩纷呈,有几部影片是小红同学想去影院看的. 小红同学家附近有甲、乙两家影院, 小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为 0.3 和 0.7 . 如果她第一天去甲影院, 那么第二天去甲影院的概率为 0.6 ; 如果第一天去乙影院, 那么第二天去甲影院的概率为 0.5 , 则小红同学
A. 第二天去甲影院的概率为 0.54
B. 第二天去乙影院的概率为 0.46
C. 已知小红第二天去了甲影院,那么她第一天去乙影院的概率为
D. 已知小红第二天去了乙影院,那么她第一天去甲影院的概率为
8. 已知函数 有且仅有三个零点,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有错选的得 0 分。
9. 将函数 及其导函数 的大致图象画在同一个直角坐标系内,下列选项正确的是
A.
B.
C.
D.
10. 设随机事件 满足 ,则
A. B. 相互独立 C. D.
11. 1715 年英国数学家布鲁克·泰勒在他的著作中陈述了泰勒公式, 如果满足一定的条件, 泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达这个函数. 泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具,例如: , 则
A.
B.
C. 当 时,函数 值域为
D. 当函数 的图象恒过定点 时,
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 如图,用四种不同颜色给矩形 涂色,要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有_____.
13. 若 在 上单调递增，则 的取值范围是_____.
14. 已知直线 与 轴、 轴分别交于点 ,点 在曲线 上,点 在 上，点 满足 ，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答时应写出文字说明, 证明或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
已知 的展开式中,其前三项的二项式系数的和等于 56 .
(1)求展开式中所有二项式系数的和；
(2)求展开式中的常数项.
16.(本小题满分 15 分)
甲, 乙两队参加世博会知识竞赛, 每队 3 人, 每人回答一个问题, 答对者为本队赢得一分,答错得零分. 假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 , ，且各人答对与否相互之间没有影响，用 表示甲队的总得分.
(1)求随机变量 的分布列；
(2)设 表示事件 “甲队得 2 分，乙队得 1 分”，求 (C).
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)当 时，求 的极值;
(2)讨论 的单调性.
18.(本小题满分 17 分)
(1)证明:当 时， ；
(2)已知数列 的通项公式为 ，证明: .
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求证:当 时， ；
(2)若 有两个不同的极值点 且 ；
(i) 求 的取值范围;
(ii) 求证: .
2026 年春季学期高二下学期学习质量检测数学试题参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C B B A D C
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 BCD ABD ACD
5.解: 令函数 ,由题 ,
则 ,函数 在 上单调递增,
则 ,即 ,因此 .
故选: .
6.解: 设 ,因为 是定义在 的偶函数, 所以 是定义在 的偶函数,
且 ,
因为当 时, ,可得 ,
所以 在 为单调递减函数,
所以 在 为单调递增函数,
又 ,所以 ,则 ,
所以当 或 时, ,当 或 时, , 等价于 ,
所以 或 ，即 或 ，
解得 或 ,
即 的解集为 .
故选: .
7.解: 设 表示 “第一天去甲影院”, 表示 “第二天去甲影院”,
则 表示 “第一天去乙影院”, 表示 “第二天去乙影院”,
小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为 0.3 和 0.7 ,
如果她第一天去甲影院, 那么第二天去甲影院的概率为 0.6 ,
如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为 0.5 ,
,
对于 ,故 错误;
对于 ,故 错误;
对于 ,故 错误;
对于 ,故 正确;
故选: .
8.解: 因为 有且仅有三个零点,
则方程 有且仅有三个根,
令 则 ,
由 ,得 ; 由 ,得 ;
则 在 单调递增,在 上单调递减,则 ,
因为 时, 时, ,且 时, ,
所以 的函数图象如图:
令 ,
则原方程转化为 ,
因为 不是 的根,
所以 有两个根,
其中一个根位于 ,另一根位于 或另一根是 ,
但方程 的两根的乘积为 -1,
所以 一个根位于 ,另一根位于 ,
则 ,得 ,故 的取值范围是 . 故选: .
10.解: 随机事件 满足 ,
,故 正确;
相互独立,故 正确;
,故 错误;
,故 正确.
故选: .
11.解: 对于选项 ,由题意结合 的泰勒展开式 ,令 ,
可得 .
根据交错级数的性质,其和小于任意奇数项的部分和,故 ,故选项 正确;
对于选项 ，因为 .
由题意结合 的泰勒展开式 ,令 ,
可得 ,故选项 错误;
对于选项 ,由题意结合 的泰勒展开式 ,
则 .
当 时, 为增函数,
则其最小值为 ，所以其值域为 ，故选项 正确；
对于选项 ,因为函数 ,且 的图象恒过定点 ,
所以令 ,则 ,所以 ,
又 ,故 ,
而 ,
所以 ,故选项 正确. 故选: .
三、填空题
12.解: 求不同的涂色方法有两类办法:
①若 ， 同色，则用 4 种颜色涂 4 个区域有 种；
②若 同色，则用 3 种颜色涂 4 个区域有 种，
则不同的涂色方法共有 (种).
故答案为: 48 .
13.解: 由题意得 ,
因为 在 上单调递增,
则 在 上恒成立,即 在 上恒成立,
函数 在 上单调递增,所以当 时,函数 取得最小值 ,
所以 ,即 的取值范围是 .
故答案为: .
14.解: 由题意直线 与 轴、 轴分别交于点 点 在曲线 上,点 在 上,
可得当直线 平移到与曲线 相切于点 ,
此时切点 是曲线上的点到直线 的距离最小的点,
由 ,得 ,
因为直线 的斜率为 1,所以令 ,整理得 ,
解得 (舍去) 或 ,又 ,故此时切点 ,
且此时 到直线 的距离为 ,
又点 满足 ,故此时 到直线的距离为 ,
取 的中点为 时, 的长取得最小值 ,如图所示:
由直线 ，可得 ，
所以 ,所以 ,
又 ,
故 最小时, 的最小值,且最小值为 .
故答案为: .
四、解答题
15.解: (1) 已知 的展开式中,其前三项的二项式系数的和等于 56,
则 ,
则 ,
又 ,
则 ,
则展开式中所有二项式系数的和为 ;
(2)二项式 展开式的通项公式为 - 令 ,即 ,
即展开式中的常数项为 .
16.解: (1) 由题意可知, 的所有可能的值为0,1,2,3,
,
故 的分布列为:
0 1 2 3
2 7 2 9 4 9
(2)“甲队得两分” 与 “乙队得 1 分” 相互独立，
由 (1) 得,“甲队得 2 分” 的概率 ,
“乙队得 1 分” 的概率为
“甲队得 2 分,乙队得 1 分” 的概率 .
17.解: (1) 当 时,函数 的定义域为 ,
得 ,
由 ,得 或 ; 由 ,得 ,
则 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 的极大值为 ,极小值为 .
(2) 的定义域为 ，
得 ,
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 ,
在 上单调递减,在 上单调递增;
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 或 ,
在 上单调递减,在 上单调递增;
当 时, 恒成立, 在 上单调递增;
当 时，由 ，得 ；由 ，得 或 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增.
18.解: (1) 证明: 设 ,
对 求导得 ,
令 ,即 ,解得 ,
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
所以 在 处取得极小值,也是最小值, ,
因此,当 时, ,即 ,
设 ,
对 求导得 ,
令 ,即 ,解得 ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减,
所以 在 处取得极大值,也是最大值,
,
因此,当 时, ,即 ,
综上,当 时, ;
(2)证明:由(1)知，当 时， ，
令 ,则 ,即 ,
所以 ,即 ,即 ,
因为 ,
所以 ,即 ,
所以 ,
因此, ,
19.证明: (1) 时, ,
则 ,故 在 单调递减,
故 ,故 时, ;
解: (2) ,
由于 有两个不同的极值点 且 ,
故 是 的两个不相等的正实数根,
故
故 ;
(ii) 由于 ,所以 ,故 ,
由于 ,故 ,
令 ,
故 ,
当 时, ,故 在 单调递增,
故 ,
由于 ,故 ,
因此 ,
故 .
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