【2026春八下数学情境课堂上课课件】19.1.2 二次根式的性质 (共25张PPT)

(共25张PPT)
人教八上数学情境课堂教学课件
第2课时 二次根式的性质
第19章 二次根式
19.1 二次根式及其性质
1.探究二次根式的性质，并理解其意义.
2.学会运用二次根式的性质进行化简计算.
还记得我们上节课学习的二次根式的定义及其有意义的条件吗？
回顾
我们知道二次根式 中a≥0，那么二次根式 还有哪些性质呢？
定义： 一般地，我们把形如形如 (a≥0)的式子叫作二次根式.
二次根式有意义的条件：被开方数为非负数.
即在二次根式 中，当a≥0时， 有意义；当a＜0时， 无意义.
思考1 二次根式 的值有什么特征？
我们知道，当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；
当a＝0时， 表示0的算术平方根，因此 . 这就是说，
≥0(a≥0).
归纳总结
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式 的双重非负性
二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根.
因此，对于任意一个二次根式 ，可知：
(1)a为被开方数，为保证其有意义，a≥0；
(2) 表示一个数或式的算术平方根， ≥0.
分析：
例1 若 ，求a－b＋c的值.
解：由题意可知a－7＝0，b－9＝0，c－17＝0，
解得a＝7，b＝9，c＝17.
所以a－b＋c＝7－9＋17＝15.
初中阶段非负
数形式：平方、绝对值、二次根式
多个非负数的和为0，可得每个非负数均为0
a－7＝0,
b－9＝0,
c－17＝0.
如图，为墙上镶嵌的一块正方形石雕，面积为a，求此块石雕的边长，并利用所求得的边长表示出该石雕的面积，你从中发现了什么？
解：由题意得，正方形石雕的边长为 .
利用边长表示此正方形石雕的面积为 .
又∵正方形石雕的面积为a，
∴
这个式子对所有的二次根式都成立吗？
探究1 根据算术平方根的意义填空.
算术平方根
平方运算
a(a≥0)
3
0.5
0
观察这两者之间有什么关系？
02 ＝ 0
你发现了什么？
当a≥0时， ＝a.
二次根式的性质1：
一般地，
＝a (a≥0) .
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
归纳总结
例2 计算：
解：(1) ；
(2) .
(2)中 表示2× ，用到了乘积的乘方：(ab)2＝a2b2.
(1) ； (2) .
探究2 根据算术平方根的意义填空.
算术平方根
平方运算
2
0.1
0
a(a≥0)
a2
观察这两者之间有什么关系？
当a≥0时， ＝a.
2
4
0.01
0.1
0
0
观察这两者之间又有什么关系？
算术平方根
平方运算
a(a＜0)
﹣2
﹣0.1
0
a2
0.1
2
4
0
0
当a为任意实数时， 都有意义. 如果上式中的a为负实数，那么上式还成立吗？为什么？
不成立，当a＜0时， ＝－a.
证明：∵a＜0，∴－a＞0，则 .
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
归纳总结
a (a≥0)
－a (a＜0)
一般地，
二次根式的性质2：
(2) .
(1) ；
解：(1) ；
(2) .
例3 化简：
变式 化简下列式子.
解：
思考3
如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
意义
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任意实数
a
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
1.(2024安徽)下列计算正确的是 ( )
A.a3＋a3＝a6 B.a6÷a3＝a2
C.(－a)2＝a2 D. ＝a
C
2.如果 ，那么a的取值范围是( )
A.a＜2 B.a≤2
C.a＞2 D. a≥2
B
3.如果一个三角形的三边长分别为3，a，7，那么 化简后的结果为________.
2a－13
4.化简
解：
，而3.14＜π， 要注意a的正负性.
5.实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a－b＜0，
∴原式＝|a|－|b|＋|a－b|
＝－a－b－(a－b)
＝－2a.
a
b
分析：
利用数轴和二次根式的性质 进行化简，关键是要根据a、b的大小讨论绝对值内式子的符号.
∴
6.已知2＜x＜3，化简 .
解：∵2＜x＜3，
∴x－3＜0，x－2＞0，
化简形如 的式子时，一般分为两步：
(1)将其化为 的形式；
(2)根据a的取值范围确定去掉绝对值符号后的符号.
7.阅读下面的文字后，回答问题：
对题目“化简并求值： ，其中a＝5 ”甲、乙两人的解答不同.
甲的解答是：原式＝
甲的解答是：原式＝
(1)你认为_____的解答是错误的；
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：____________________；
(3)模仿上题作答： ，其中a＝2 .
甲
当a＜0时，
解：(3)∵a＝2，∴a－1＞0， 1－4a＜0，
性质1
双重非负性
二次根式 中，a≥0且 ≥0
a (a≥0)
－a (a＜0)
二次根式
的性质
性质2
＝ a (a≥0)
Thanks!
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