1.1.2三角形的外角-课件(共40张PPT)--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

(共40张PPT)
北师大版数学八年级下册培优精做课件1.1.2三角形的外角第一章三角形的证明授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.
学习目标
1.了解并掌握三角形的外角的定义。
2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算。
定义 △ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC 的外角.
∠ACD 是△ABC 的一个外角.
C
B
A
探究点1：三角形外角的概念
D
外角
内角
问题1：如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的外角.
问题2：如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
探究点1：三角形外角的概念
A
B
C
问题3：画出△ABC 的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有 6 个外角．
每一个顶点处对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角.
探究点1：三角形外角的概念
1．下图中∠1是三角形的一个外角的是(　　)
D
返回
2．如图，△ABC的外角是________，________。
∠CBD
返回
∠ABE
3．[教材P6“随堂练习”第1题变式]如图，∠A＝100°，∠B＝20°，则∠ACD的度数是(　　)
A．120°
B．110°
C．100°
D．90°
A
返回
① 角的顶点是三角形的顶点；
② 角的一边是三角形的一边；
③ 另一边是三角形中一边的延长线.
三角形的外角应具备的条件：
每一个三角形都有 6 个外角．
【归纳总结】
1
2
3
6
5
4
A
B
C
探究点1：三角形外角的概念
F
A
B
C
D
E
做一做： 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？
∠BEC 是△AEC 的外角；
∠AEC 是△BEF 和△BEC
的外角；
∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角.
探究点1：三角形外角的概念
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
思考1：如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角∠ACB 有什么关系？
∠BCD 与∠ACB 互补.
探究点2：三角形外角的性质
思考2：如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两个内角 (∠A，∠B ) 又有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°，
∴∠A +∠B =∠BCD.
你能借助平行线的知识证明此结论吗？
探究点2：三角形外角的性质
D
证明：过点 C 作 CE∥AB，
A
B
C
1
2
则∠1 = ∠B
(两直线平行，同位角相等)，
∠2 = ∠A
(两直线平行，内错角相等).
∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B.
E
已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B.
【证一证】
探究点2：三角形外角的性质
定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形内角和定理推论1：
几何语言：
在△ABC 中，
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD =∠A + ∠B.
【知识要点】
A
B
C
D
探究点2：三角形外角的性质
4．[烟台中考]如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为(　　)
A．40°
B．35°
C．30°
D．20°
A
返回
5．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝50°，且AD是△ABC的角平分线，则∠ADC＝________°。
65
返回
【练一练】1. 说出下列图形中∠1 和∠2 的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80°
60°
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50°
32°
(2)
∠1 = 40°，∠2 = 140°
∠1 = 18°，∠2 = 130°
探究点2：三角形外角的性质
例1 如图，在△ABC 中，AD 平分外角∠EAC，∠B =∠C. 求证：AD∥BC.
A
C
D
B
E
分析：
证明 AD∥BC
平行线的判定
证明内错角相等
或同位角相等
或同旁内角互补
探究点2：三角形外角的性质
例1 如图，在△ABC 中，AD 平分外角∠EAC，∠B =∠C. 求证：AD∥BC.
A
C
D
B
E
证法一：∵∠EAC =∠B +∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B =∠C ，
∴∠C = ∠EAC .
∵ AD 平分∠EAC.
∴∠DAC = ∠EAC .
∴∠DAC = ∠C. ∴AD∥BC.
还有其他证明方法吗？
探究点2：三角形外角的性质
A
C
D
B
E
证法二：∵∠EAC =∠B +∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，
∠B =∠C ，
∴∠B = ∠EAC .
∵ AD 平分∠EAC .
∴∠DAE = ∠EAC .
∴∠DAE =∠B .
∴ AD∥BC .
探究点2：三角形外角的性质
6．(4分)如图，DE分别与△ABC的边AB，AC相交于点D，E，延长DE与BC的延长线相交于点F，∠B＝60°，∠ACB＝70°，∠AED＝40°，求∠BDF的度数。
解：∵∠B＝60°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°－∠B－∠ACB＝50°。
又∵∠AED＝40°，
∴∠BDF＝∠A＋∠AED＝90°。
返回
思考3：(1) 如图①，试比较∠2、∠1 的大小；
(2) 如图②，试比较∠3、∠2、 ∠1 的大小.
图①
图②
解：∵∠2=∠1+∠B，
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2 =∠1 + ∠B，
∠3 =∠2 + ∠D，
∴∠3＞∠2＞∠1.
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
A
B
C
D
(
(
1
2
3
A
B
C
D
(
(
(
1
2
E
探究点2：三角形外角的性质
推论 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三角形内角和定理推论2：
几何语言：
在△ABC 中，
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
A
B
C
D
【知识要点】
探究点2：三角形外角的性质
例2 如图，P 是△ABC 内一点，连接 PB，PC.
求证：∠BPC＞∠A.
证明：如图，延长 BP，交 AC 于点 D.
∵∠BPC 是△PDC 的一个外角(外角定义)，
∴∠BPC＞∠PDC (三角形的一个外角
大于任何一个和它不相邻的内角).
∵∠PDC 是△ABD 的一个外角 (外角定义)，
∴∠PDC＞∠A (三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴∠BPC＞∠A.
A
B
C
P
D
还有其他证明方法吗？
探究点2：三角形外角的性质
角度模型
∠A+∠B+∠C=∠D
探究点2：三角形外角的性质
7．在下列图形中，∠2＞∠1一定成立的是(　　)
C
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8．(4分)如图，D是△ABC的边AC的延长线上的一点，E是边BC上的一点，连接DE，求证：∠BED＞∠A。
证明：∵∠ECD是△ABC的外角，
∴∠ECD＞∠A。
又∵∠BED是△CDE的外角，
∴∠BED＞∠ECD，∴∠BED＞∠A。
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9．如图，在△ABC中，下列说法正确的是(　　)
A．∠ADB>∠ADE
B．∠ADB>∠1＋∠2＋∠3
C．∠ADB>∠1＋∠2
D．以上都不正确
C
返回
解：由三角形外角性质，得
∠BAE =∠2 +∠3，
∠CBF =∠1 +∠3，
∠ACD =∠1 +∠2.
又∠1 +∠2 +∠3 = 180°，
∴∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2(∠1 +∠2 +∠3) = 360°.
例3 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他求法吗？
探究点2：三角形外角的性质
解法二：如图，
∠BAE +∠1 = 180° ① ，
∠CBF +∠2 = 180° ②，
∠ACD +∠3 = 180° ③，
又∠1 +∠2 +∠3 = 180°，
① + ② + ③ 得
∠BAE +∠CBF +∠ACD + (∠1 +∠2 +∠3) = 540°，
∴∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° - 180° = 360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
探究点2：三角形外角的性质
解法三：过 A 作 AM∥BC，
则易得∠3＝∠4，
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝∠BAM，
∴∠1＋∠2＋∠3 ＝∠1＋∠4＋∠BAM = 360°.
M
结论：三角形的外角和等于 360°.
思考：你能总结出三角形的外角和规律吗？
D
E
F
探究点2：三角形外角的性质
10．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝35°，若按图中虚线将∠C剪去，则∠1＋∠2＝________°。
215
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11．(8分)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E。
(1)若∠E＝25°，∠BAC＝80°，则∠B的度数为________；
30°
(2)求证：∠BAC＝∠B＋2∠E。
证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE。
∵∠ECD＝∠B＋∠E，∠BAC＝∠ACE＋∠E，
∴∠BAC＝∠ECD＋∠E＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E。
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12．(12分)将透明三角尺(△DEF，∠EDF＝90°)放置在△ABC上(点D在△ABC内)，如图①，三角尺的两边DE，DF恰好经过点B和点C。我们来探究：
∠ABD与∠ACD之间是否存在某种数量关系。
(1)特例探索：当∠A＝36°时，∠ABD＋
∠ACD＝________°；
54
(2)类比探索：写出∠ABD，∠ACD与∠BAC之间的数量关系，并说明理由；
解：∠ABD＋∠ACD＝90°－∠BAC。理由如下：连接AD并延长，交BC于点M，则∠BAD＋∠ABD＝∠BDM，∠CAD＋∠ACD＝∠CDM，∴∠BAD＋∠ABD＋∠CAD＋∠ACD＝∠BAC＋∠ABD＋∠ACD＝∠BDM＋∠CDM。
∵∠BDM＋∠CDM＝∠EDF＝90°，
∴∠ABD＋∠ACD＝90°－∠BAC。
(3)变式探索：如图②，改变三角尺的位置，使点D在△ABC外，三角尺的两边DE，DF仍恰好经过点B和点C，写出∠ABD，∠ACD与∠A之间的数量关系，并说明理由。
解：∠ACD－∠ABD＝90°－∠A。理由如下：
设AB交DC于点O。∵∠BDO＋∠ABD＝∠AOD，∠A＋∠ACO＝∠AOD，∴∠ACO＋∠A＝∠BDO＋∠ABD，即∠ACD＋∠A＝90°＋∠ABD，∴∠ACD－∠ABD＝90°－∠A。
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三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
1. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于 360°
2. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角