1.1.3多边形的内角和-课件(共33张PPT)--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

(共33张PPT)
北师大版数学八年级下册培优精做课件1.1.3多边形的内角和第一章三角形的证明授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1. 掌握多边形的内角和公式.(重点)
2. 通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，体会从特殊到一般的认识问题的方法.
3. 会从不同的角度探索多边形的内角和公式.(难点)
思考1：过 n 边形的每一个顶点有几条对角线？可以分割成多少个三角形？
A1
A2
A3
A4
A5
An
思考2：n 边形一共有多少条对角线？
有 ( n - 3 ) 条对角线
可以分割成 ( n - 2 ) 个三角形
问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？
问题1 三角形的内角和是多少度？
三角形内角和是 180°.
都是 360°.
问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
探究点：多边形的内角和
猜想：四边形 ABCD 的内角和是 360°.
问题4 你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？
如图，连接 AC，
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形 ABCD 的内角和为
180°×2 = 360°.
A
B
C
D
探究点：多边形的内角和
(2) 小明、小亮分别利用图1 和图2 求出了五边形五个内角的和. 你知道他们是怎样做的吗？你还有其他的方法吗？
问题5 (1) 这个广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴进行交流.
图1
内角和为 180°×3 = 540°.
探究点：多边形的内角和
把四边形分成五个三角形：△ABO，△BCO，△CDO，△DEO，△AEO.
所以五边形 ABCDE 的内角和为
180°×5 - (∠AOB + ∠BOC +∠COD +∠EOD +∠AOE)
= 900° - 360° = 540°.
如图，在四边形 ABCDE 内部任取一点 O，连接 AO，BO，CO，DO，EO.
图2
A
B
C
D
E
O
探究点：多边形的内角和
方法：如图，在 CD 边上任取一点 O，连接 BO，AO，EO，
所以该四边形被分成四个三角形，
所以四边形 ABCD 的内角和为
180°×4 - (∠BOC +∠AOB +∠AOE +∠EOD )
= 720° - 180°
= 540°.
A
B
C
D
E
O
总结：这方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，再用已学的三角形内角和定理求解
探究点：多边形的内角和
1. 对于八边形的对角线的描述，正确的是( )
甲：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线；
乙：过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八
边形分成5个三角形.
A
A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对
C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错
（第2题）
2. 苯分子的环状结构是由德国
化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，
发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在
同一平面，且所有碳碳键的键长都相等
B
A. B. C. D.
（如图①），组成了一个完美的六边形（正六边形），图②
是其平面示意图，则 的度数为( )
问题6 你能仿照求五边形内角和的方法，选一种方法
求六边形内角和吗
A
B
C
D
E
F
内角和为 180°×4 = 720°.
探究点：多边形的内角和
多边形的边数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和
3
4
5
6
…… …… …… ……
n
0
1
1×180°=180°
1
2
2×180°=360°
2
3
3×180°=540°
3
4
4×180°=720°
(n - 3)
(n - 2)
(n - 2)×180°
探究点：多边形的内角和
【证一证】如图，n 边形 A1A2···An 有 n 个顶点 A1，A2，A3，···，An. 由于与任一顶点 (如点 A1 ) 不相邻的顶点均有 (n－3) 个，
于是 n 边形 A1A2···An 被分成了 (n－2) 个三角形，
A1
A2
A3
A4
A5
An
因而从某一顶点出发有 (n－3) 条对角线，
因此， n 边形的内角和等于这 (n－2) 个三角形的内角和，即 (n－2)·180°.
探究点：多边形的内角和
【归纳总结】
n 边形的内角和等于 (n - 2) ·180°.
多边形的内角和公式：
( n 是大于或等于 3 的自然数)
探究点：多边形的内角和
3. [2025自贡] 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则
( )
B
（第3题）
A. B. C. D.
4. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的
内角和为 ，那么原多边形的边数为( )
D
A. 7 B. 7或8 C. 8或9 D. 7或8或9
【点拨】设切去一个角后的多边形为 边形，则
，解得 一个多边形切去一个
角后，它的边数可能增加1，可能减少1，也可能不变， 原
多边形的边数可能为7或8或9.
例1 如图，在四边形 ABCD 中，∠A +∠C＝180°.
∠B 与∠D 有怎样的关系？
解：
∵∠A +∠B +∠C +∠D
= (4－2)×360°，
∴∠B +∠D
= 360° - (∠A +∠C )
= 360° - 180° = 180°.
A
B
C
D
如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
探究点：多边形的内角和
1. 一个多边形的内角和不可能是 ( )
A.1800° B.540° C.720° D.810°
D
2. 一个多边形从一个顶点可引对角线 3 条，这个多边形内角和等于 ( )
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
C
【练一练】
探究点：多边形的内角和
想一想：正 n 边形的一个内角是 度.
【想一想】正三角形、正四边形 、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度
60°
108°
90°
120°
135°
探究点：多边形的内角和
例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为 n，则
(n－2) ·180＝360＋720，
解得 n＝8.
∵ 这个多边形的每个内角都相等，
(8－2)×180°＝1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8＝135°.
探究点：多边形的内角和
例3 如图，在正五边形 ABCDE 中，
连接 BE，求∠BED 的度数．
所以∠BED = ∠AED -∠AEB = 108° - 36° = 72°.
A
B
C
D
E
解：由题意得
AB = AE，
所以∠AEB = (180° - ∠A) = 36°.
探究点：多边形的内角和
【练一练】
3. 如果正多边形的一个内角是 120° ，那么这是正____边形.
4. 正九边形的每个内角都是 °.
六
140
探究点：多边形的内角和
【思考·交流】
剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形？它的内角和是多少度？与同伴进行交流.
三边形, 180°
四边形, 360°
五边形, 540°
探究点：多边形的内角和
【练一练】5. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
解：∵1800÷180 ＝ 10，
∴原多边形边数为10＋2 ＝ 12.
∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变，也可能加 1，
∴新多边形的边数可能是 11，12，13.
∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
【总结】n 边形剪掉一个角后，剩下的部分可以是(n - 1)边形或 n 边形或 (n + 1) 边形.
探究点：多边形的内角和
能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数.
解：如图，
∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ ∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝ 五边形的内角和 ＝ 540°.
8
9
探究点：多边形的内角和
多边形的内角
n边形的内角和
(n - 2)×180°
(n≥3的整数)
n边形的内角和
每个内角＝
1. 从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分
割成5个三角形，则这个多边形的边数是(　A　)
A. 7 B. 8 C. 5 D. 6
2. 八边形的内角和是(　D　)
A. 360° B. 540°
C. 900° D. 1080°
A
D
3. 一个多边形的内角和等于540°，则这个多边形
的边数为(　C　)
A. 7 B. 6
C. 5 D. 4
4. 下列角度不可能是多边形内角和的是(　B　)
A. 180° B. 270°
C. 360° D. 900°
C
B
5. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠A＝
∠C＝100°，则∠D＝ °.
70　
6. 如图，六边形ABCDEF的各个内角都相等，且
∠DAB＝60°.
(1)求∠E的度数；
解：(1)∵六边形ABCDEF的各内角相等，
∴一个内角的大小为 ＝120°.
∴∠E＝120°.
(2)判断AB与DE的位置关系，并说明理由.
解：(2)AB∥DE. 理由如下：
∵∠FAB＝120°，∠DAB＝60°，
∴∠FAD＝60°.
∵∠ADE＋∠FAD＋∠F＋∠E＝360°，∠F＝
∠E＝120°，
∴∠ADE＝360°－∠FAD－∠F－∠E＝60°.
∴∠ADE＝∠DAB.
∴AB∥DE.
解：(2)AB∥DE. 理由如下：
∵∠FAB＝120°，∠DAB＝60°，
∴∠FAD＝60°.
∵∠ADE＋∠FAD＋∠F＋∠E＝360°，
∠F＝∠E＝120°，
∴∠ADE＝360°－∠FAD－∠F－∠E＝60°.
∴∠ADE＝∠DAB.
∴AB∥DE.
5.一个棱柱有10个面，则这个棱柱的底面图形的内角和为
_______.
（第6题）
6. 如图，将四边形纸片
沿折叠，点，分别落在点，
处.若 ，则 ( )
B
A. B. C. D.
（第7题）
7. 近几年，人们把亲近自
然的露营作为新的出游方式，而倡导精致
露营的帐篷酒店也是备受追捧.如图是一个
帐篷酒店入口的结构示意图，若 ，
， ，
，则 的
度数为______.