☆ 问题解决活动最短距离-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第三章 图形的平移与旋转
问题解决活动：最短距离
【素养目标】
1.能利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
2.在将实际问题抽象成几何模型的过程中，提高分析能力、解决问题的能力及渗透数学建模思想．
3.将现实生活数字化、数学生活化，培养学生的抽象能力和应用意识．
重点：体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
难点：如何利用轴对称、平移变换将最短路径问题转化为线段和最小问题．
【复习导入】
两定点 A，B 位于直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使 PA + PB 的值最小.
问题 居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班.已知该地下通道长度为 a m，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短
【合作探究】
探究点：最短距离
[理解问题]
请你用自己的语言将这个实际问题抽象为数学问题.与同伴进行交流 .
如图，点 A， B 在直线 l 的两侧，在直线 l 上存在线段 CD = a，当 CD 在什么位置时，AC + CD + DB 的值最小
思考：AC + CD + DB 哪些值不确定 什么情况下有最小值
思维转化：
AC + CD + DB 的最小值 → AC + a + DB 的最小值 →AC + DB 的最小值小.
问题1：两条线段的和最小，你想到了什么定理
问题2：怎么使线段 AC 和 DB 有公共端点呢
思维转化:
AC + DB 的最小值 → AC + CE 的最小值.
当 A， C，E 三点共线时，AC + CE 有最小值. 此时 AC + CD + DB 的值最小.
问题3：CD 应该设计在哪里？
[典例精析]
例1 两个居民小区 A 和 B 在河岸 l 的同侧，现欲在河岸边建一个长度为 s 米的绿化带 CD，使 C 到小区 A 的距离与 D 到小区 B 的距离之和最小，请在图中画出绿化带的位置.
当堂反馈
1.某地发展旅游业，下面是该地某村的一个旅游项目．如图①是示意图，游船从湖岸l1的码头D将游客送往亭子M停留观赏，然后将游客送往湖岸l2的码头C，最后再回到码头D．请在图②中画出游船的最短行驶路径，并确定两个码头的位置．
2.如图，有一所小学与中学分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，方便两所学校的交流．已知小学离较近街道的一边距离为200米，中学离较近街道的一边距离为300米，小学与中学的水平距离为500米，街道宽度为700米（街道两边平行）．请问天桥建在何处才能使由小学到中学的路线最短（天桥必须与街道垂直）？请在图中画出修建的位置，并计算出最短路线的距离．
参考答案
【复习导入】
作法：1. 作点 B 关于直线 l 的对称点 B' ，
2. 连接 AB'，交直线 l 于点 P，此时 PA + PB 的值最小，最小值为 AB' 的长.
【合作探究】
探究点：最短距离
思考： AC 和 DB 的值不确定，当 AC + DB 有最小值时，
AC + CD + DB 的值最小.
问题1：两点之间，线段最短.
问题2：如图，把线段 DB 向左平移 a m 到 CE，此时 DB = CE.
问题3：CD 应该设计在哪里？
如图，过点 B 作 BE∥l，使 BE = a m，
连接 AE，AE 与直线 l 的交点就是点 C，
在直线 l 上作 CD = a m，再连接 DB.
即可使得 AC＋CD＋DB 的值最小．
例1
解：如图，点 C，点 D 即为所求.
当堂反馈
1.解：作亭子M关于湖岸l1的对称点M′，作亭子M关于湖岸l2的对称点M″，连接M′M″，交湖岸l1，l2于码头D、码头C，
则D→M→C→D为游船的最短行驶路径．
2.解：如图，线段DF即为天桥的位置．过点C作CH⊥AE交AE的延长线于点H．在Rt△ECH中，∠H=90°，CH=500米，EH=200＋300=500米，
∴CE===500米．
∴最短路径的长=AD＋DF＋CF=AE＋EC=（700＋500）米．