1.1 第1课时 三角形内角和定理-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明
1.1 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理
【素养目标】
1. 探索并证明三角形的内角和定理。(重、难点)
2. 学会解决与求角度有关的实际问题，体会转化的数学思想。
3. 复习全等三角形的性质和判定。
【复习导入】
我们已经知道三角形三个内角的和为 . 以前探索三角形三个内角的和是用什么方法，你还记得吗？
思考： 通过剪拼法拼成了一个什么角？如何用推理的方法去验证呢？
【合作探究】
探究点一、三角形内角和定理的证明
探究：通过活动的启发，我们在纸上任意画一个三角形， 将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角。从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
想一想，直线 与 的边 有什么关系？ 你学过哪些与 有关的结论？
已知：如图， . 求证： .
三角形内角和定理
三角形的内角和等于 .
几何语言：
在中，
.
【思考交流】
(1) 如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点 处，过点 作直线 ，使 ，他的想法可行吗？ 如果可行， 你能写出证明过程吗？
还有其他的证明方法吗？
已知： 如图， .求证： .
证法2:
证法3:
思考 以上多种方法的证明思路是什么？
除了构造平角得到 外，还有其他方式吗？
【典例精析】
例1 如图，在中， ， ，是的角平分线，求的度数。
【变式题】如图，是 的平分线， ， ，求 的度数。
探究点二、全等三角形的判定和性质
【尝试思考】我们已经证明了 SSS, ASA, SAS 的成立，怎么用这些定理证明 AAS 成立呢
已知： 在 和 中， ， , .
求证： .
问题1: AAS 和 ASA 有什么联系？
问题2: 和 有什么关系？ 和 呢？
【知识要点】
定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 ( AAS )
根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
例2 如图，已知 ，则不一定能使 的条件是
A.
B.
C.
D.
例3 如图所示的两个三角形全等， 则 的度数是 .
当堂反馈
1.在△ABC中，∠A＝72°，∠B＝49°，则∠C的度数为(　　)
A.49° B.59°　　 C.69° D.79°
2.如图为撕去了一个角后的三角形纸片，其中∠A＝30°，∠B＝70°，则撕去的角的度数是(　　)
A.100° B.80° C.70° D.90°
第2题图 第3题图　　 第5题图　　
3.如图，在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶7∶9，则△ABC是_______三角形.
4.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，则∠B的度数为_________.
5.如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数为________.
6.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数.
参考答案
复习导入
方法一：测量法
方法二： 剪拼法
探究点一、三角形内角和定理的证明
探究：证明：如图，延长 到 , 过点 作射线 ，使 ,
则 .
点 在同一条直线上，
.
.
【思考交流】证法2: 过点 作 ,
则 .
,
.
证法3: 过 作 . ,
. .
,
.
例1 解： 在 中， (三角形内角和定理).
, .
平分 ，
.
在 中，
(三角形内角和定理).
,
.
【变式题】解： ,
.
又 是 的平分线，
.
, .
在 中，
.
探究点二、全等三角形的判定和性质
【尝试思考】
证明： 在 中， ,
.
同理， .
又 ,
在 和 中，
(ASA).
问题1: 根据三角形内角和定理， 已知两个角可以推出另外一个角的大小， 因此证明 AAS 成立可以转化为 ASA 的证明。
问题2:
例2 B
例3 .
当堂反馈
1. B.
2. B.　　
3.　直角　
4.　67.5°.
5.　18° .
6. 解：在△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°.
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB.
∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝60°.
∵∠PBC＋∠PCB＋∠BPC＝180°，
∴∠BPC＝180°－60°＝120°.