1.1 第2课时 三角形的外角-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 1.1 第2课时 三角形的外角-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 510.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-05 00:00:00 | ||
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文档简介
第1章 三角形的证明
1.1 三角形内角和定理
第2课时 三角形的外角
【素养目标】
1. 理解三角形的外角的概念。 (重点)
2. 掌握三角形内角和定理的推论。 (难点)
3. 经历由特殊到一般的数学思维过程， 体会数学推理的严谨性。
【复习导入】
1. 什么是三角形的内角？ 其内角和等于多少？
2. 如图，在 中， , 则
.
叫作什么角？
【合作探究】
探究点一、三角形外角的概念
定义 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角， 称为 的外角。
问题1: 如图，延长 到 是不是 的一个外角？ 是不是 的一个外角？
问题2: 如图，与有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
问题3: 画出的所有外角，共有几个呢？
【归纳总结】
三角形的外角应具备的条件：
① 角的顶点是三角形的顶点；
② 角的一边是三角形的一边；
③ 另一边是三角形中一边的延长线
每一个三角形都有 6 个外角。
做一做：如图，是哪个三角形的外角？是哪个三角形的外角？ 是哪个三角形的外角？
探究点二、三角形外角的性质
思考1：如图， 的外角与其相邻的内角 有什么关系？
思考2: 如图， 的外角 与其不相邻的两个内角 又有什么关系？
你能借助平行线的知识证明此结论吗？
【证一证】
已知： 如图，求证： .
【知识要点】
三角形内角和定理推论1:
定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和。
几何语言： 在 中，
是 的一个外角，
.
【练一练】
1. 说出下列图形中 和 的度数：
例1 如图，在中，平分外角 , . 求证： .
思考3: (1) 如图①，试比较 、 的大小；
(2) 如图②，试比较 、 、 的大小。
【知识要点】
三角形内角和定理推论2:
推论 三角形的一个外角大于任何
一个和它不相邻的内角。
几何语言：
在 中，
是 的一个外角，
.
例2 如图， 是 内一点，连接 ， . 求证： .
【练一练】(一题多解)如图， ， ， ，求 的度数。
例3 如图， 是 的三个外角， 它们的和是多少？
你还有其他求法吗？
解法二：
解法三：
思考： 你能总结出三角形的外角和规律吗？
当堂反馈
1.如图，已知∠A＝33°，∠B＝75°，则∠BCD的度数为( )
A.147° B.108° C.105° D.以上答案都不对
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝70°，BD是角平分线，则∠BDA的度数是( )
A.100° B.105° C.110° D.120°
3.如图，∠1________∠2.(填“＞”“＜”或“＝”)
4.一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α 等于_____.
第4题图 第5题图
5.如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠E的度数为__________.
6.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别是21°和32°.现测量得∠BDC＝148°，你认为这个零件合格吗？为什么？
参考答案
复习导入
1. 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角， 三角形的内角的和是 .
2. .
探究点一、三角形外角的概念
问题 1:是的一个外角， 不是 的外角。
问题2: 与 为对顶角， ; 在三角形每个顶点处都有两个外角。
问题3: 每一个三角形都有 6 个外角。每一个顶点处对应的外角都有 2 个， 且这 2 个角为对顶角。
做一做： 是 的外角； 是 和 的外角；
是 和 的外角。
探究点二、三角形外角的性质
思考1:∠BCD 与∠ACB 互补。
思考2: , ,
.
【证一证】
证明：过点 作 ，则 (两直线平行，同位角相等),
∠2 =∠A (两直线平行，内错角相等).
.
【练一练】
1. (1) (2)
例1 证法一： (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), , . 平分 . .
.
证法二： (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), , . 平分 .
. . .
思考3:(1)解： , .
(2) 解： , , .
例2 证明： 如图，延长 ，交 于点 .
的一个外角 (外角定义)
(三角形的一个外角大于
任何一个和它不相邻的内角).
是 的一个外角 (外角定义),
(三角形的一个外角大于和
它不相邻的任何一个内角)
【练一练】
解法一：连接 并延长到点 .在 中， ,
在 中， .
,
.
解法二： 延长 交 于点 . 在 中， ,
在 中， .
解法三： 连接 并延长交 于 (解题过程同解法二).
例3 解： 由三角形外角性质， 得
又 ,
.
解法二： 如图，
①, ②, ③,
又 ,
① + ② + ③ 得 ,
.
解法三： 过 作 ，则易得 ,
.
思考： 三角形的外角和等于 .
当堂反馈
1. B. 2. B. 3. ＞ 4. 75°. 5. 25°.
6.解：不合格.理由如下：如图，延长CD与AB交于点F.
∵∠DFB＝∠C＋∠A＝32°＋90°＝122°，
∴∠BDC＝∠DFB＋∠B＝122°＋21°＝143°.
∵实际量得的 ∠BDC＝148°≠143°，
∴这个零件不合格.
1.1 三角形内角和定理
第2课时 三角形的外角
【素养目标】
1. 理解三角形的外角的概念。 (重点)
2. 掌握三角形内角和定理的推论。 (难点)
3. 经历由特殊到一般的数学思维过程， 体会数学推理的严谨性。
【复习导入】
1. 什么是三角形的内角？ 其内角和等于多少？
2. 如图，在 中， , 则
.
叫作什么角？
【合作探究】
探究点一、三角形外角的概念
定义 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角， 称为 的外角。
问题1: 如图，延长 到 是不是 的一个外角？ 是不是 的一个外角？
问题2: 如图，与有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
问题3: 画出的所有外角，共有几个呢？
【归纳总结】
三角形的外角应具备的条件：
① 角的顶点是三角形的顶点；
② 角的一边是三角形的一边；
③ 另一边是三角形中一边的延长线
每一个三角形都有 6 个外角。
做一做：如图，是哪个三角形的外角？是哪个三角形的外角？ 是哪个三角形的外角？
探究点二、三角形外角的性质
思考1：如图， 的外角与其相邻的内角 有什么关系？
思考2: 如图， 的外角 与其不相邻的两个内角 又有什么关系？
你能借助平行线的知识证明此结论吗？
【证一证】
已知： 如图，求证： .
【知识要点】
三角形内角和定理推论1:
定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和。
几何语言： 在 中，
是 的一个外角，
.
【练一练】
1. 说出下列图形中 和 的度数：
例1 如图，在中，平分外角 , . 求证： .
思考3: (1) 如图①，试比较 、 的大小；
(2) 如图②，试比较 、 、 的大小。
【知识要点】
三角形内角和定理推论2:
推论 三角形的一个外角大于任何
一个和它不相邻的内角。
几何语言：
在 中，
是 的一个外角，
.
例2 如图， 是 内一点，连接 ， . 求证： .
【练一练】(一题多解)如图， ， ， ，求 的度数。
例3 如图， 是 的三个外角， 它们的和是多少？
你还有其他求法吗？
解法二：
解法三：
思考： 你能总结出三角形的外角和规律吗？
当堂反馈
1.如图，已知∠A＝33°，∠B＝75°，则∠BCD的度数为( )
A.147° B.108° C.105° D.以上答案都不对
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝70°，BD是角平分线，则∠BDA的度数是( )
A.100° B.105° C.110° D.120°
3.如图，∠1________∠2.(填“＞”“＜”或“＝”)
4.一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α 等于_____.
第4题图 第5题图
5.如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠E的度数为__________.
6.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别是21°和32°.现测量得∠BDC＝148°，你认为这个零件合格吗？为什么？
参考答案
复习导入
1. 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角， 三角形的内角的和是 .
2. .
探究点一、三角形外角的概念
问题 1:是的一个外角， 不是 的外角。
问题2: 与 为对顶角， ; 在三角形每个顶点处都有两个外角。
问题3: 每一个三角形都有 6 个外角。每一个顶点处对应的外角都有 2 个， 且这 2 个角为对顶角。
做一做： 是 的外角； 是 和 的外角；
是 和 的外角。
探究点二、三角形外角的性质
思考1:∠BCD 与∠ACB 互补。
思考2: , ,
.
【证一证】
证明：过点 作 ，则 (两直线平行，同位角相等),
∠2 =∠A (两直线平行，内错角相等).
.
【练一练】
1. (1) (2)
例1 证法一： (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), , . 平分 . .
.
证法二： (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), , . 平分 .
. . .
思考3:(1)解： , .
(2) 解： , , .
例2 证明： 如图，延长 ，交 于点 .
的一个外角 (外角定义)
(三角形的一个外角大于
任何一个和它不相邻的内角).
是 的一个外角 (外角定义),
(三角形的一个外角大于和
它不相邻的任何一个内角)
【练一练】
解法一：连接 并延长到点 .在 中， ,
在 中， .
,
.
解法二： 延长 交 于点 . 在 中， ,
在 中， .
解法三： 连接 并延长交 于 (解题过程同解法二).
例3 解： 由三角形外角性质， 得
又 ,
.
解法二： 如图，
①, ②, ③,
又 ,
① + ② + ③ 得 ,
.
解法三： 过 作 ，则易得 ,
.
思考： 三角形的外角和等于 .
当堂反馈
1. B. 2. B. 3. ＞ 4. 75°. 5. 25°.
6.解：不合格.理由如下：如图，延长CD与AB交于点F.
∵∠DFB＝∠C＋∠A＝32°＋90°＝122°，
∴∠BDC＝∠DFB＋∠B＝122°＋21°＝143°.
∵实际量得的 ∠BDC＝148°≠143°，
∴这个零件不合格.
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