1.1 第4课时 多边形的外角和-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明
1.1 三角形内角和定理
第4课时 多边形的外角和
【素养目标】
1. 探索多边形的外角和公式， 进一步发展简单推理的意识及能力。 (重点)
2. 会用多边形的外角和公式解决相关问题。 (难点)
【情境导入】
如图，小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑。
(1) 小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角。
(2) 他每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和是多少度？说说你的理由，并与同伴进行交流。
【合作探究】
探究点、多边形的外角和
【知识要点】
多边形内角的一边与另一边的反向延长
线所组成的角，叫作这个多边形的外角。如
图所示。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 它们的和叫作这个多边形的外角和。
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角。
问题1: 任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
问题2: 五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
问题3: 这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
【想一想】如果广场的形状是六边形、八边形， 那么结果会怎样？
思考：边形的外角和又是多少呢？
定理 多边形的外角和都等于_______.
问题4: 回想正多边形的性质，你知道正边形的每个内角是多少度吗？ 每个外角呢？
例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7 : 2, 求这个多边形的边数。
【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大 ，求这个多边形的每个内角的度数及边数。
【练一练】
如图所示，小华从点 出发，沿直线前进 10 米后左转 ，再沿直线前进 10 米，又向左转 ，照这样走下去，他第一次回到出发地点 时， 走的路程一共是________米。
当堂反馈
1.若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
2.内角和与外角和相等的图形是(　　)
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
3.如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角。若∠1＝32°，∠3＝60°，则∠2的度数是_______.
第3题图 第4题图
4.经过多边形一个顶点共有5条对角线，若这个多边形是正多边形，则它的每一个外角是________度。
5.如图，五边形ABCDE中，∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数是_____.
6.已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角的度数为_______.
7.李师傅要为某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的 多12°，请你帮李师傅求出这个正多边形的一个内角的度数和它的边数。
参考答案
探究点、多边形的外角和
问题1: 互补 问题2:
问题3: 五边形的外角和= 5个平角和-五边形内角和
.结论：五边形的外角和等于 .
【想一想】
思考： 边形的外角和个平角和边形的内角和
. 定理 多边形的外角和都等于 .
问题4: 每个内角的度数是 ，每个外角的度数是 .
例1 解： 设这个多边形是边形，则它的内角和等于 ，外角和等于 .根据题意，得 ，解得 .所以，这个多边形是八边形。
例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是 7 : 2, 求这个多边形的边数。
解法一： 设这个多边形的内角为 ，外角为 ,
根据题意得 , .即每个内角是 ，
每个外角是 .答： 这个多边形的边数是 9 .
解法二： 设这个多边形的边数为 ，根据题意得
解得 .答： 这个多边形的边数是 9 .
【变式题】解： 设该正多边形的内角是 ，外角是 ,
则得到一个方程组 解得
而任何多边形的外角和是 ，则该正多边形的边数为 .
故这个多边形的每个内角的度数是 ，边数是 3 .
【练一练】 150 米。
当堂反馈
1. C. 2. B. 3.　88°　.
4.　45度. 5.　300°. 6.　60°.
7.解：设这个正多边形的一个内角的度数是 x°，则x＋ x＋12＝180，
解得x＝140.
∴ 这个正多边形的一个内角的度数是140°，
一个外角的度数是180°－140°＝40°.
∴ 这个正多边形的边数是 ＝ 9.