1.2 第1课时 等腰三角形的性质-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明
1.2 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
【素养目标】
1. 探索并证明等腰三角形的性质：
(1) 等腰三角形的两个底角相等 (“等边对等角”)；
(2) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(“三线合一”). (重点)
2. 运用等腰三角形的性质进行证明和计算。(难点)
3. 掌握等边三角形的性质，并能够利用性质解题。
4. 经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性。
【情境导入】
图中有你熟悉的图形吗？它们有什么共同特点？
问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
问题2: 你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗？
【合作探究】
探究点一、等腰三角形的性质
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形， 且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形。 由此， 你得到了解题什么的启发？
【证一证】已知： 如图，在 中， . 求证： .
还有其他的证法吗？
想一想： 由 ，图中线段 还具有怎样的性质？ 为什么？ 由此你能得到什么结论？
【知识要点】
定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
几何语言： 如图，在 中，
(已知),
(等边对等角).
推论： 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合。
【练一练】
1. 已知，如图， ， ，则的度数为( )
A. 60°
B.
C.
D.
例1 已知点 、 在 的边 上， .
(1) 如图①，若 ，求证： ；
(2) 如图②，若 ， 为的中点，求证： AF⊥BC.
探究点二、等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？怎样证明这一定理呢？
【证一证】
已知： 如图，在 中， .
求证： .
【知识要点】
定理 等边三角形的三个内角都相等，
并且每个角都等于 .
例2 如图，等边三角形 中，是边上的中线， ，求的度数。
当堂反馈
1.在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠C的度数是(　　)
A.70° B.55° C.50° D.40°
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是( 　)
A.AD=BD B. BD=CD C.∠1=∠2 D.∠B=∠C
第2题图　　 第4题图
3.已知等边三角形ABC的一边长为10，则它的周长为 (　 　)
A.10 B.20 C.30 D.40
4.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为 (　 )
A.25° B.60° C.85° D.95°
5.(1)一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，则该等腰三角形的顶角度数为______；
(2)等腰三角形的一个角是40°，则它的底角度数为________.
6.如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝3，AC＝5.
(1) △ABC的周长为_______；
(2) △ABC的面积为_______.
7.如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，求∠BDE的度数。
参考答案
复习导入
问题1：定理： 等腰三角形的两个底角相等。
推论： 等腰三角形顶角的平分线， 底边上的中线， 底边上的高互相重合(三线合一).
问题2: 略
探究点一、等腰三角形的性质
议一议：方法一：作底边上的中线
证明： 如图，取 的中点 ，连接 . ,
(SSS). (全等三角形的对应角相等).
方法二： 作顶角的平分线
证明： 作顶角的平分线 ，则
, (SAS).
(全等三角形的对应角相等).
想一想： 由 ，可得 ,
.又 ,
，即 .故是等腰底边上的中线、顶角的平分线、底边 上的高线。
【练一练】
1. C.
例1 证明： (1) 如图①，过 作 于 .
, .
. .
(2) ， 为的中点，
. . ,
探究点二、等边三角形的性质
想一想：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 .
【证一证】
证明： 在 中， , .
同理 .又 (三角形的内角和等于),
.
例2 解： 是等边三角形， .
是 边上的中线， .
,
.
当堂反馈
1.A. 2.A. 　3.C. 4. D. 5.(1)　36°； (2)　40°或70°　.
6.(1)　16　; (2)　12　.
7.解：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴∠ACB=60°,∠BDC=90°.
∵CD=CE,∴∠E=∠CDE.
∵∠BCD=∠E+∠CDE=2∠CDE=60°,
∴∠CDE=30°.∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=120°.