1.2 第3课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 1.2 第3课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 384.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-05 00:00:00 | ||
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文档简介
第一章 三角形的证明
1.2 等腰三角形
第3课时 等边三角形的判定及含角的直角三角形的性质
【素养目标】
1. 学习并掌握等边三角形的判定方法， 能够运用等边三角形的性质和判定解决问题。(重点)
2. 理解并掌握含角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题。(难点)
3. 通过探究含角的直角三角形的性质的过程，加深对特殊直角三角形的认识，培养分析问题、解决问题的能力。
【情境导入】
如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 为小路端点) 和一棵小树 为小树位置 .测得的相关数据为：，， ，则 长多少 m
【合作探究】
探究点一、等边三角形的判定
探究：一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流。
【证一证】
定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形。
已知： 如图， .
求证： 是等边三角形。
定理：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。
已知：若 .
求证：是等边三角形。
证明完整吗？ 是不是还有另一种情形呢？
【验证】第二种情况：有一个底角是 .
已知： 如图，在 中， . 求证：是等边三角形。
【归纳总结】
等腰三角形 (含等边三 角形) 性质 判定
例1 如图，在等边三角形中， , 求证：是等边三角形。
想一想：本题还有其他证法吗？
变式：上题中，若将条件 改为 , 还是等边三角形吗？试说明理由。
已知：如图，在等边三角形 中， . 求证： 是等边三角形。
【回顾导入】
如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 为小路端点)和一棵小树 为小树位置 . 测得的相关数据为： , 则 长多少米？
探究点二、含30°的直角三角形的性质
操作：用两个含有 角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？
想一想：在直角三角形中， 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
【猜想验证】
已知：如图， 是直角三角形， .
求证： .
【定义总结】
定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 , 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言： 在 中，
.
. (在直角三角形中，
角所对的直角边等于斜边的一半)
拓展推论：
例2 求证：如果等腰三角形的底角为 ，那么腰上的高是腰长的一半。
已知：如图，在 中， , 是腰上的高，
求证： .
【练一练】2.如图，在 中，是高， . 则 的长为_____.
当堂反馈
1.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，AB＝6，则AC的长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB的长为 ( )
A.4 B.
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，则底边上的中线AD＝______.
4.下列三角形：①有两个内角是60°的三角形；②有两边相等且是轴对称的三角形；③有一个角是60°且是轴对称的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。其中是等边三角形的有___________.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC.若AD＝6，求CD的长。
书写通关
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC=_________.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠_______=30°.
∴∠ABD=∠A. ∴AD=________ = 6.
又∵∠DBC＝30°.
∴ CD =_____ BD =__________ .
6.如图，△ABC是等边三角形，D为AC上任一点，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.求证：△ADE是等边三角形。
参考答案
探究点一、等边三角形的判定
【证一证】
定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形。
证明： . , . .
是等边三角形。
定理：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。
证明： , .
. . 是等边三角形。
【验证】第二种情况：有一个底角是 .
证明： (已知), (等边对等角).
(三角形内角和定理). .
是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等边三角形).
【归纳总结】
等腰三角形 (含等边三 角形) 性质 判定
等边对等角 等角对等边
“三线合一”，即等腰三角形顶角平分线， 底边上的中线、高线互相重合 三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形三个内角都相等，且每个角都是 60° 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
例1 证明： 是等边三角形，
. , .
. 是等边三角形。
变式： 证明： 是等边三角形， .
, 是等腰三角形。
又 . 是等边三角形。
【回顾导入】
探究点二、含30°的直角三角形的性质
想一想： 猜想：在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半。
【猜想验证】
证明： 延长 至点 ，使 ，连接 .
, .
, (SAS).
(全等三角形的对应边相等).
在 中，
(三角形内角和定理).
.
.
是等边三角形(有一个角是 的等腰三角形是等边三角形).
例2 证明：在 中， ,
(等边对等角).
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
是腰 上的高， .
(在直角三角形中，如果有一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半). .
【练一练】2. 1.
当堂反馈
1. B
2. A
3. 6 .
4. ①③④ .
5. 书写通关 60 ° ∠DBC BD 3
6.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴AD=AE,∠BAD=∠CAE=60°.
∴△ADE是等边三角形。
1.2 等腰三角形
第3课时 等边三角形的判定及含角的直角三角形的性质
【素养目标】
1. 学习并掌握等边三角形的判定方法， 能够运用等边三角形的性质和判定解决问题。(重点)
2. 理解并掌握含角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题。(难点)
3. 通过探究含角的直角三角形的性质的过程，加深对特殊直角三角形的认识，培养分析问题、解决问题的能力。
【情境导入】
如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 为小路端点) 和一棵小树 为小树位置 .测得的相关数据为：，， ，则 长多少 m
【合作探究】
探究点一、等边三角形的判定
探究：一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流。
【证一证】
定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形。
已知： 如图， .
求证： 是等边三角形。
定理：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。
已知：若 .
求证：是等边三角形。
证明完整吗？ 是不是还有另一种情形呢？
【验证】第二种情况：有一个底角是 .
已知： 如图，在 中， . 求证：是等边三角形。
【归纳总结】
等腰三角形 (含等边三 角形) 性质 判定
例1 如图，在等边三角形中， , 求证：是等边三角形。
想一想：本题还有其他证法吗？
变式：上题中，若将条件 改为 , 还是等边三角形吗？试说明理由。
已知：如图，在等边三角形 中， . 求证： 是等边三角形。
【回顾导入】
如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 为小路端点)和一棵小树 为小树位置 . 测得的相关数据为： , 则 长多少米？
探究点二、含30°的直角三角形的性质
操作：用两个含有 角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？
想一想：在直角三角形中， 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
【猜想验证】
已知：如图， 是直角三角形， .
求证： .
【定义总结】
定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 , 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言： 在 中，
.
. (在直角三角形中，
角所对的直角边等于斜边的一半)
拓展推论：
例2 求证：如果等腰三角形的底角为 ，那么腰上的高是腰长的一半。
已知：如图，在 中， , 是腰上的高，
求证： .
【练一练】2.如图，在 中，是高， . 则 的长为_____.
当堂反馈
1.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，AB＝6，则AC的长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB的长为 ( )
A.4 B.
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，则底边上的中线AD＝______.
4.下列三角形：①有两个内角是60°的三角形；②有两边相等且是轴对称的三角形；③有一个角是60°且是轴对称的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。其中是等边三角形的有___________.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC.若AD＝6，求CD的长。
书写通关
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC=_________.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠_______=30°.
∴∠ABD=∠A. ∴AD=________ = 6.
又∵∠DBC＝30°.
∴ CD =_____ BD =__________ .
6.如图，△ABC是等边三角形，D为AC上任一点，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.求证：△ADE是等边三角形。
参考答案
探究点一、等边三角形的判定
【证一证】
定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形。
证明： . , . .
是等边三角形。
定理：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。
证明： , .
. . 是等边三角形。
【验证】第二种情况：有一个底角是 .
证明： (已知), (等边对等角).
(三角形内角和定理). .
是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等边三角形).
【归纳总结】
等腰三角形 (含等边三 角形) 性质 判定
等边对等角 等角对等边
“三线合一”，即等腰三角形顶角平分线， 底边上的中线、高线互相重合 三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形三个内角都相等，且每个角都是 60° 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
例1 证明： 是等边三角形，
. , .
. 是等边三角形。
变式： 证明： 是等边三角形， .
, 是等腰三角形。
又 . 是等边三角形。
【回顾导入】
探究点二、含30°的直角三角形的性质
想一想： 猜想：在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半。
【猜想验证】
证明： 延长 至点 ，使 ，连接 .
, .
, (SAS).
(全等三角形的对应边相等).
在 中，
(三角形内角和定理).
.
.
是等边三角形(有一个角是 的等腰三角形是等边三角形).
例2 证明：在 中， ,
(等边对等角).
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
是腰 上的高， .
(在直角三角形中，如果有一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半). .
【练一练】2. 1.
当堂反馈
1. B
2. A
3. 6 .
4. ①③④ .
5. 书写通关 60 ° ∠DBC BD 3
6.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴AD=AE,∠BAD=∠CAE=60°.
∴△ADE是等边三角形。
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