1.3 第1课时 直角三角形的性质与判定-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明
1.3 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
【素养目标】
1. 复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定。 (难点)
2. 学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.(重点)
3. 理解逆命题、互逆命题的概念，能准确写出命题的逆命题，判断其真假，通过实例体会互逆命题的应用，提升逻辑推理能力
4. 能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯。
【复习导入】
问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？
【合作探究】
探究点一、利用角判定直角三角形
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
已知： 是直角三角形， .
求证： .
问题2: 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
已知：在 中， .
求证：是直角三角形。
【知识要点】
定理 直角三角形的两个锐角互余。 ①
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 ②
上面两个定理的条件和结论有什么关系？
探究点二、利用三边数量关系判定直角三角形
我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理。
勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 即 .
勾股定理的证明：
如图，在 中，分别以Rt 的三边为边长作正方形 , CBFG. 连接 . 过点作的垂线，分别交 和于点 .
证法 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为_______ ;
也可以表示为 ___________ .
勾股定理反过来，怎么叙述呢？这个命题是真命题吗？为什么？
【典例精析】
例1 证明此命题：
已知：如图，在中， . 求证：是直角三角形。
【知识要点】
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 ③
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。④
上面两个定理的条件和结论有什么关系？
【练一练】
1.如图，在四边形中， , ，求四边形 的面积。
探究点三、互逆命题与互逆定理
【合作探究】
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流。
说出下列命题的条件和结论：
1.如果两个角是对顶角， 那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
2.如果 ，那么 ;
如果 ，那么 .
3.一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等。
观察上面三组命题， 你发现了什么？
【知识要点】
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件， 那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
【想一想】你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？ 它们都是真命题吗？
【练一练】
1. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1) 两条直线平行，内错角相等；
(2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
【归纳总结】
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理的逆定理。如：“定理①与定理②”，“定理③与定理④”都为互逆定理。
注意：(1) 命题有真有假，而定理都是真命题；
(2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理；
(3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系。
当堂反馈
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是(　　)
A.66° B.36° C.56° D.46°
2.已知a，b，c是△ABC的三条边长，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是 (　　)
A.a2=1, b2 =2, c2 = 3 B.a∶b∶c = 3∶4∶5
C.∠A+∠B=∠C D.∠A∶∠B∶∠C = 3∶4∶5
3.写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题：______________________.
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB.若∠1＝50°，则∠B＝_________.
5.如果一个三角形的三边长a，b，c满足(c－24)2＋｜2a－20｜＋(b－26)2＝0，那么这个三角形的形状是_________.
6.如图，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13，∠ACB＝90°，求阴影部分的面积。
参考答案
复习导入
问题：直角三角形的两个锐角互余。
在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
探究点一、利用角判定直角三角形
问题1：证明： 是直角三角形，
，又 , .
问题2: 证明： ，又 ,
. 是直角三角形
探究点二、利用三边数量关系判定直角三角形
勾股定理的证明：
, ,
(SAS)，又 ,
，同理 .
证法 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为 .
.
例1 证明：如图，作 ，使 ,
，则 (勾股定理).
, . .
(SSS).
(全等三角形的对应角相等). 因此，是直角三角形。
【练一练】1. 解： , .
是直角三角形且是直角。
.是直角三角形且是直角。
探究点三、互逆命题与互逆定理
【想一想】 逆命题： 如果两个有理数的平方相等， 那么这两个有理数相等。
举特例：命题： 真命题逆命题： 假命题
总结：一个命题是真命题；逆命题不一定是真命题。
【练一练】1. (1) 内错角相等，两条直线平行。 成立
(2) 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等。不成立
当堂反馈
1.　B　 2. D. 3.有两个角互余的三角形是直角三角形。 4.　40°.
5.　直角三角形　.
6.解：如图，连接AB.
∵∠ACB = 90°,∴AB ==5.
∵AD = 13, BD = 12,
∴AB2+BD2=132=AD2.
∴△ABD为直角三角形，且∠ABD＝90°.
∴S阴影＝AB BD－AC BC＝×5×12－×4×3＝24.