1.3 第2课时 直角三角形全等的判定-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明
1.3 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
【素养目标】
1. 掌握“斜边、直角边”的判定方法.(重点)
2. 能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等.(难点)
3. 经历探索直角三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程，发展数学思维。
【复习导入】
问题1: 我们学过哪些判定三角形全等的方法？
问题2: 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？
【合作探究】
探究点、直角三角形全等的判定
问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即 ，
且 ，现在能判定吗？
【画一画】
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形。
已知：如图，线段 ，直角 .
求作： ，使 .
【验证结论】已知：如图，在与中，
求证：
【知识要点】
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
在 Rt 和Rt 中，
.
判断：满足下列条件的两个三角形是否全等？为什么？
1. 一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形。
2. 一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形。
3. 两直角边对应相等的两个直角三角形。
4. 有两边对应相等的两个直角三角形。
例1 已知：如图， , 求证： .
变式1：如图，，要证明，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由。
(1) _________________( )
(2) _________________( )
(3) _________________( )
(4) _________________( )
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的大小有什么关系？
【练一练】如图，已知，分别是两个钝角和的高，若 ， ，求证： .
当堂反馈
1.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是(　　)
A.HL B.ASA C.SAS D.SSS
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE.若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是______________.
3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE.若BD＝4 cm，CE＝3 cm，则DE＝______ cm.
4.如图，点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE.求证：△ABC是等腰三角形。
5. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时 △ABC 才能和△APQ 全等？
参考答案
探究点、直角三角形全等的判定
【画一画】
作法：1. 作射线 .
2. 过点作射线 的垂线 .
3. 在射线 上截取 .
4. 以点为圆心，线段的长为半径作弧，交射线于点 .
5. 连接 . 就是所要作的直角三角形。
【验证结论】
证明： 在 中， (勾股定理).
同理， .
, .
.
判断 1. 全等(AAS) 2. 全等 (ASA) 3. 全等 (SAS)
4. 情况 1：全等 (SAS) 情况 2：全等 (HL)
例1 证明： , 与都是直角。
在 Rt 和 Rt 中，
(HL). .
变式1: (1) ( HL ) (2) (HL)
(3) (AAS) (4) ∠DBA=∠CAB (AAS)
例2 解： 根据题意， 可知
.
(全等三角形的对应角相等).
(直角三角形的两锐角互余), .
【练一练】证明： 分别是两个钝角和的高，
且 ， ， ( ).
. , ( ).
. ，即 .
当堂反馈
1.A. 2.　AC=DE . 3. 7 cm.
4.证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴△BDF与△CDE均为直角三角形。
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL).
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形。
解：(1)当 P 运动到 AP＝BC 时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
∵ PQ＝AB，AP＝BC，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△QPA (HL). ∴ AP＝BC＝5 cm.
(2) 当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC.
在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
∵ PQ＝AB，AP＝AC，
∴ Rt△QAP≌Rt△BCA (HL)，
∴ AP＝AC＝10 cm.
∴ 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等.