1.4 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明
1.4 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
【素养目标】
1. 掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。(重点)
2. 通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，体验逻辑推理的数学方法。(难点)
【复习导入】
如图，画一条线段 ，然后对折 ，使 ， 两点重合，设折痕与 的交点为 .
你发现了什么？
【合作探究】
探究点一、线段垂直平分线的性质
如图，点是线段垂直平分线上的一点，和相等吗？改变点的位置，结论还成立吗？
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
你能证明这一结论吗？
【证一证】已知：如图，直线 ，垂足为，是上的任意一点。求证： .
【知识要点】
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
例1 如图，在中， ， 垂直平分 ，垂足为 ，交 于 ，若 的周长为 35 cm，则 的长为 ( )
A.
B.
C.
D.
【练一练】
1.如图 ① 所示，直线 是线段的垂直平分线，点为直线上的一点，且 ，则线段 的长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如图②所示，在 中， ，边的垂直平分线交于点 ，交边于点 的周长等于 , 则的长是______.
探究点二、线段垂直平分线的判定
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
这个定理的逆命题是什么？它是真命题吗？ 你能证明吗？
想一想：如果 ，那么点是否在线段的垂直平分线上呢？
【知识要点】
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上。
应用格式：
,
点 在 的垂直平分线上。
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上。
例2 已知：如图，在中， ，是 内一点，且 . 求证：直线垂直平分线段 .
试一试：
已知：如图，点是的平分线上一点， ，垂足分别为 ，连接 . 求证：是的垂直平分线。
当堂反馈
1.已知PA＝6，当PB＝______ 时，点P在线段AB的垂直平分线上。
2.如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN上。若∠ACB＝80°，则∠A的度数为________.
第2题图 第3题图　　　
3.如图，已知DE⊥BC于E，BE＝CE，AB＋AC＝15，则△ABD的周长为(　　)
A.15 B.20 C.25 D.30
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE垂直平分AB于D.求证：BE＋DE＝AC.
参考答案
探究点一、线段垂直平分线的性质
【证一证】证明： , .
又 , (SAS).
(全等三角形的对应边相等).
例1 C. 练一练： 1. B. 2. .
探究点二、线段垂直平分线的判定
想一想： ① 当点在线段上时，
， 点 为线段 的中点，
显然此时点 在线段 的垂直平分线上；
② 当点 在线段 外时，如右图所示。
是等腰三角形。
过顶点作 ，垂足为点 .
底边 上的高 也是底边 上的中线。
即 ，且 .
直线是线段的垂直平分线，
此时点也在线段的垂直平分线上。
例2 证明： , 点 在线段 的垂直平分线上
(到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上).
同理，点在线段的垂直平分线上。
直线是线段的垂直平分线 (两点确定一条直线).
证法2 证明： 延长 交 于点 .
,
(SSS).
.
, .
,
( ).
. 直线 垂直平分线段 .
试一试： 证明： 平分 ,
(角平分线上的点到角的两边的距离相等).
是的垂直平分线。
当堂反馈
1. 　6　2.　50°. 3. A　
4.证明：∵ BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBE.
∵DE⊥AB,∴∠EDB=90°=∠C.
在△DEB和△CEB中，
∴△DEB≌△CEB(AAS). ∴ DE=CE.
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE. ∴BE+DE=AE+CE=AC.